ТФКП, решение теоретических задач

[Monmorancy]

Помогите решить следующую задачу: функция голоморфна в некоторой области, к тому же, ее модуль константа, необходимо доказать, что она Константа

Мне кажется, нужно использовать теорему Лиувилля, так как у нас уже есть ограниченность, можно попробовать доказать, что она целая, например от противного, но что-то не могу никакое противоречие найти

[demolishka]

Monmorancy в сообщении #1400203 писал(а):

теорему Лиувилля

Теорема Лиувилля работает для функций заданных на всем $\mathbb{C}$. А у Вас - только какая-то область.

[Monmorancy]

А не получится из константности и голоморфности в области вывести, что она во всем $\mathbb{C}$ голоморфна?

[demolishka]

Monmorancy в сообщении #1400211 писал(а):

А не получится из константности и голоморфности в области вывести, что она во всем $\mathbb{C}$ голоморфна?

В конечном счете так и получится (раз функция оказывается константой). Но вот показать это не проще, чем решить исходную задачу. Тут можно действовать тупо-конкретно и показать, что $f' \equiv 0$. А можно из топологических соображений вывести, если знать, что не константная голоморфная функция - открытое отображение.

Кстати стоит конечно оговорить, что существенно именно то, что это область (т. е. открытое и связное множество).

[Monmorancy]

Ну, можно как-то просто разложить функцию на действительную и мнимую часть, показать, что сумма их квадратов константа, условия коши-римана задействовать, дальше не совсем понимаю

[demolishka]

Monmorancy в сообщении #1400221 писал(а):

просто разложить функцию на действительную и мнимую часть, показать, что сумма их квадратов константа, условия коши-римана задействовать, дальше не совсем понимаю

Ну вот выпишите это до того момента как у Вас возникают затруднения.

[Monmorancy]

$u^2+v^2=c^2$

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial{u}}{\partial{x}}=\frac{\partial{v}}{\partial{y}} \\ \frac{\partial{u}}{\partial{y}}=-\frac{\partial{v}}{\partial{x}} \\ \end{array} \right. $$

Нужно первое уравнение продифференцировать?

[demolishka]

Monmorancy в сообщении #1400230 писал(а):

Нужно первое уравнение продифференцировать?

Другого способа подогнать к использованию условий Коши-Римана нету. Так что расписывайте...

[Monmorancy]

$2u(u_x'+u_y')+2v(v_x'+v_y')=0 $
Если я ничего не напутал)

[demolishka]

Должно получиться два уравнения: одно из дифференцирования по x, другое - по y. Вы зачем-то их сумму написали. Дальше попробуйте сами довести до конца.

[Monmorancy]

$2uu_x'+2vv_x'=0 $

$2uu_y'+2vv_y'=0 $

Далее понятно, спасибо

-- 19.06.2019, 23:14 --

Еще с задачкой не подскажете?
Найти все целые голоморфные функции, что их модуль $|f|$ зависит от $x$, а аргумент $arg f$ зависит от $y$ (пример такой функции - $e^z$). Тут идей что-то совсем нет, как их перебирать или представлять

[demolishka]

Monmorancy в сообщении #1400240 писал(а):

Тут идей что-то совсем нет, как их перебирать или представлять

Если $\varphi(x)$ это модуль, а $\psi(y)$ аргумент функции, то как выглядят функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$. Что для них значит выполнение условий Коши-Римана?

[Monmorancy]

Не совсем понимаю, Вы хотите, чтобы я переписал $u(x,y)$ и $v(x,y)$ в виде зависимости от угла и модуля?
$u(\varphi(x), \psi(y))$ и $v(\varphi(x), \psi(y)) $

[demolishka]

По условию для $z=x+iy$ имеем $f(x,y)=\varphi(x) \cdot e^{i \psi(y)}=u(x,y) + iv(x,y)$. Далее

demolishka в сообщении #1400249 писал(а):

как выглядят функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$. Что для них значит выполнение условий Коши-Римана?

[Monmorancy]

Понял, получил
$u(x)=\varphi(x)\cos\psi(y)$ и $v(x)=\varphi(x)\sin(\psi(y))$
И условия Коши-Римана имеют вид
$\varphi'(x)=\cos(\psi(y))$ и $\varphi'(x)=\sin(\psi(y))$
Идея вроде понятна, спасибо