А не получится из константности и голоморфности в области вывести, что она во всем

голоморфна?
В конечном счете так и получится (раз функция оказывается константой). Но вот показать это не проще, чем решить исходную задачу. Тут можно действовать тупо-конкретно и показать, что

. А можно из топологических соображений вывести, если знать, что не константная голоморфная функция - открытое отображение.
Кстати стоит конечно оговорить, что существенно именно то, что это область (т. е. открытое и связное множество).