Вопрос про ДУ с частными производными

[Mikhail_K]

Skipper в сообщении #1400366 писал(а):

или же обязательно нужны доп. условия

Нужны. Они нужны даже для обыкновенных диф.уравнений. Даже в Вашей, в кавычках, "хорошей статье" рассказывается про задачу Коши.
Но там очень смещены акценты. Кажется, что задача Коши - это так, что якобы главное - решить "само дифференциальное уравнение", а задача Коши после этого решается на последнем этапе.
На самом деле всё наоборот - решать (в т.ч. численно) приходится именно те или иные задачи для дифференциальных уравнений. Причём задачи бывают разные уже для обыкновенных диф.уравнений. Например, кроме задач Коши бывают ещё краевые задачи. Для УЧП их ещё больше разновидностей.

Skipper в сообщении #1400366 писал(а):

3 функции, которые имеют связь между собой

Наверное, Вы плохо понимаете тот факт, что существование даже обратной функции для функции одной переменной - скорее исключение, чем правило. Для функций многих переменных - тем более.

Skipper в сообщении #1400366 писал(а):

Но моя терминология, я не думал, что так уж окажется непонятной.

Проблема не в том, что она непонятна, а в том, что она некорректна.

Skipper в сообщении #1400277 писал(а):

Константа $C$, тоже будет, но она только увеличивает множество этих функций, удовлетворяемых этому дифференциальному уравнению.
$x(y,z, C_1)$ -- было бы более правильно написать.
Как нахождение функции для $x$.

Аналогично, существуют множество функций, $y(x,z, C_2)$ и $z(y,x, C_3)$ .

У каждого из этих множеств функций, свои возможные, $C_1 , C_2, C_3$.

Здесь аналогия с обыкновенными дифференциальными уравнениями не работает. Когда вы переходите к уравнениям с частными производными, про константы $C$ нужно забыть. Равно как и про понятие "общего решения", в которое на самом последнем этапе подставляются "те константы, которые нужно". С УЧП всё сложнее.

-- 20.06.2019, 17:35 --

Что касается интеграла от $\sin x\cos x$ - я имел в виду вот что.
Интеграл этот можно брать по-разному: с помощью замены переменной $y=\sin x$, или с помощью замены переменной $y=\cos x$, или заметив что $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$.
В первом способе интеграл получится равным $y(x)=\frac{1}{2}\sin^2x+C$, во втором способе равным $y(x)=-\frac{1}{2}\cos^2x+C$, в третьем способе равным $y(x)=-\frac{1}{4}\cos 2x+C$.
Таким образом, если "везде, где появляется константа $C$, брать её равной $1$", как Вы предложили, то при первом способе решения получится $y(0)=1$, во втором способе $y(0)=0.5$, в третьем способе $y(0)=0.75$.
Странно, да? Ведь все три способа правильные.

Разберитесь, в чём тут дело, и Вы поймёте, что требование "везде, где появляется константа $C$, брать её равной $1$" - бессмыслица. Даже при решении обыкновенных диф.уравнений. Не говоря уже про УЧП, где вообще нет никаких "констант $C$".

[arseniiv]

Pavia в сообщении #1400309 писал(а):

2. Аналитические функции.

Не понадобятся. Аналитические — это не те, которые можно задать какой-то формулой, а те, которые бесконечно дифференцируемы и совпадают со своим рядом Тейлора.

Skipper в сообщении #1400366 писал(а):

Есть уравнение, благодаря которому мы может найти (или не найти) - 3 функции, которые имеют связь между собой.

Лучше тогда говорить о решении-кривой (см. выше), а не о трёх функциях (кривую в трёхмерном пространстве можно задать тремя функциями, но другими, и не единственным способом).

[Skipper]

Mikhail_K в сообщении #1400370 писал(а):

Даже в Вашей, в кавычках, "хорошей статье" рассказывается про задачу Коши.

arseniiv в сообщении #1400375 писал(а):

Лучше тогда говорить о решении-кривой (см. выше), а не о трёх функциях

Хорошо. Буду о решении-кривой. Вообще, в диффурах я всё таки разбираюсь получше многих своих ровесников-бывших-студентов (с которыми вместе окончили университет 15 лет назад).

Вот к примеру, такая задача (подобная была, как рассказывали, на олимпиаде по мат.анализу (хотя тут и чисто матанализа 1-го курса не хватает чтобы решать, надо ещё диффуры понимать, а это уже у нас был 2-й курс универа), только с какими то другими числами в условии, и т.к. я их уже не помню, то подставил свои) -

---------------------------------

В момент времени $0$, велосипедист находится на расстоянии $2$ км от некоторой точки $A$, и удаляется от нее с изменяющейся скоростью.
Скорость удаления равна $v(s) = 100/s$ , где $s$ - расстояние от точки. Т.е. в нулевой момент времени, когда велосипедист находится в $2$ км от точки $A$,
его скорость удаления будет $100/s = 100/2 = 50$ км/ч. Но когда он проедет два км, и будет находиться от точки $A$, уже в $4$ км, то
его скорость удаления будет $100/s = 100/4 = 25$ км/ч.
И так далее, чем дальше удалился, тем медленнее движется.
Вопрос - на каком расстоянии от точки $A$, велосипедист будет ровно через $1$ час, и какую будет иметь при этом скорость ?

---------------------------------

РЕШЕНИЕ, как я это понимаю - (это можно решить только с помощью дифференциальных уравнений) -
У нас есть функция,

$v(s) = 100/s $

где $s$ - расстояние до точки $A$, от которой удаляется велосипедист.
Так как вопрос задачи - узнать скорость в зависимости от времени, то искомая функция будет $s(t)$ - где $t$ - время в часах.
Также из курса математического анализа известно, что в задачах на движение, функции $ s(t) $ и $v(t)$ связаны между собой так, что

$s'(t) = v(t) $

где $ s(t)$ - функция пройденного расстояния, и производная её равна $v(t)$ - это функция скорости движения. Имеем, из условия задачи, $v = 100/s$ , Далее, $v$ - это производная от $s$, потому запишем,
$s' = 100 / s$ , и из этого следует

$s' \cdot s = 100 $

где $s$ - это функция от $t$, а нам она и нужна, т.к. вопрос задачи -
на каком расстоянии от точки $A$, велосипедист будет ровно через $1$ час.
Имеем, обычное дифференциальное уравнение, (я вот так считаю, человек поймет зачем диффуры только если
научится хоть какие то практические задачи к ним сводить и решать!! )

$ s(t) \frac{ds}{dt} = 100 $

Решая дифференциально уравнение (как именно решается, здесь уже не будем вдаваться в подробности), находим функцию $s(t)$ --

$s(t) = $ $\sqrt{C +200 t}$

где $C$ - некая константа, зависящая от начальных условий. Начальные условия такие что в нулевой момент времени, т.е. при $t$ $= 0, s = 2 $
(расстояние до точки $A$) , отсюда $ C= 4$. Окончательно, наша функция будет иметь вид --

$s(t) = $ $\sqrt{4 +200 t}$

через $1$ час, велосипедист удалится от точки $A$ на расстояние $\sqrt{204}$ что примерно равно $14,282...$ км,
а скорость будет в тот момент иметь по условию задачи $100/14,282$ что примерно равно $7,0018...$ км/ч.

---------------------------------

Правильно я решил задачу? Если да, то ещё могу на олимпиаду по матанализу и диффурам поехать
Чтобы всё не забыть как многие выпускники ВУЗов, я пытаюсь держать себя "в тренде", и регулярно, этим всем интересуюсь, и даже решаю что то.

Правильно я понял, как практическую задачу свести к дифф.уравнению, и затем решить её? Значит побольше знаю, чем мои ровесники через 15 лет после окончания универа - уже даже табличные интегралы не помнят! А вот про ДУ с ЧП - вообще я ничего не помню, и для меня это страшная тема!

Я рассмотрел ДУ, котрое применимо для решения практических даже, задач, и т.к. оно решаемо (не надо даже рассматривать неберущиеся интегралы и т.д.) - мы можем для любого $s$ найти $t$ - и наоборот.

Пишут, что даже если уравнение нельзя так вот явно выразить в элементарных функциях, то всё равно его можно "решить в квадратурах" и что то тому подобное!

Но меня интересует именно вычислимость с диффурами 2-х переменных! (изначально вопрос темы) был такой - если же у нас будет не ОДУ, из 1 переменной, как я рассмотрел, а ДУ с ЧП из 2-х переменных (пусть со всякими нужными краевыми условиями, и т.д. )

и почему надо, тогда говорить о решении-кривой , а не о трёх функциях (кривую в трёхмерном пространстве можно задать тремя функциями ?

и о ДУ (уравнение от 2-х переменных) с ЧП . Если оно нерешаемо , значит если нельзя найти функцию, то всегда ли такие задачи на ДУ с ЧП от функции 2-х переменных - можно решить численными методами ?

[Munin]

Skipper в сообщении #1400437 писал(а):

Имеем, обычное дифференциальное уравнение

Таких не бывает. Бывают обыкновенные дифференциальные уравнения. Это термин.

Skipper в сообщении #1400437 писал(а):

А вот про ДУ с ЧП - вообще я ничего не помню, и для меня это страшная тема!

Ну тогда надо азбучные вещи о ДУЧП всё-таки прочитать.

Skipper в сообщении #1400437 писал(а):

и почему надо, тогда говорить о решении-кривой , а не о трёх функциях (кривую в трёхмерном пространстве можно задать тремя функциями ?

Вообще-то решение ДУЧП с 2 независимыми переменными - это не кривая в трёхмерном пространстве, а поверхность в трёхмерном пространстве. Задаваемая одной функцией.

Skipper в сообщении #1400437 писал(а):

Если оно нерешаемо , значит если нельзя найти функцию

В математике нет "нерешаемо". В математике есть целый набор разных условий, от "не имеет решений в квадратурах" до "неинтегрируемо". Они все разные.

[Skipper]

Munin в сообщении #1400445 писал(а):

В математике нет "нерешаемо". В математике есть целый набор разных условий, от "не имеет решений в квадратурах" до "неинтегрируемо".

Спасибо.
Но если подобная задача будет сводится к ДУ с ЧП, с 2-мя переменными, и уравнение будет и 1) неинтегрируемо, и 2) не будет иметь "решений в квадратурах" -- то может быть также, и такое, что и со всеми "краевыми условиями", и т.д. нам даже никакие численные методы не помогут, и мы исходную функцию не узнаем $z(x,y)$, и при заданных $x = 10, y = 20$ например, не найдём $z$ - даже никакими численными методами?

Т.е. чему равно $z$ - вся математика бессильна, и , ничего не может сказать ?
Вопросы вычислимости "в принципе" - это тоже интересная тема.
Не знать функцию вообще, но что то для неё вычислить, это как??

Цитата:

Вообще-то решение ДУЧП с 2 независимыми переменными - это не кривая в трёхмерном пространстве, а поверхность в трёхмерном пространстве.

Да, это так.

[Munin]

Skipper в сообщении #1400447 писал(а):

Т.е. чему равно $z$ - вся математика бессильна, и , ничего не может сказать ?

Если уравнение неинтегрируемо - то да. Это по сути означает что-то вроде "внутренне противоречиво". Функции просто не существует.

Skipper в сообщении #1400447 писал(а):

и 1) неинтегрируемо, и 2) не будет иметь "решений в квадратурах"

Из 1 следует 2. Кроме того, я назвал только крайние варианты, а между ними много промежуточных, которых я, к сожалению, не знаю и не могу назвать.

[Skipper]

А если "интегрируемо", но "не имеет решений в квадратурах" (именно такой крайний вариант) ?
Есть ДУ с ЧП, 2-х переменных.. Тогда возможно, что
чему равно $z$ - вся математика бессильна, и , ничего не может сказать ?

Т.е. никакие вычметоды не помогут?

И вообще по теории вычислимости. Как доказать, если интегрируемо, то -- 1) что, имеет ли решение в квадратурах?

[Dan B-Yallay]

Skipper в сообщении #1400447 писал(а):

Но если подобная задача будет сводится к ДУ с ЧП, с 2-мя переменными, и уравнение будет и 1) неинтегрируемо, и 2) не будет иметь "решений в квадратурах" -- то может быть также, и такое, что и со всеми "краевыми условиями", и т.д. нам даже никакие численные методы не помогут, и мы исходную функцию не узнаем $z(x,y)$, и при заданных $x = 10, y = 20$ например, не найдём $z$ - даже никакими численными методами?

Lewy's example

[Munin]

Munin в сообщении #1400445 писал(а):

Ну тогда надо азбучные вещи о ДУЧП всё-таки прочитать.

[Pphantom]

(Оффтоп)

Skipper в сообщении #1400437 писал(а):

Правильно я решил задачу? Если да, то ещё могу на олимпиаду по матанализу и диффурам поехать

Это считается олимпиадной задачей? Вообще-то это простейшая задача для первого семестра первого курса (для тех, кто подобное в школе не решал).

Skipper, это вы так шутить пытаетесь или всерьез не понимаете, до какой степени это примитивно?

[Skipper]

Я попытался свести недоказанные проблемы математики, к ДУ, чтобы проще разобраться.
Допустим, есть проблема математики , для неё нет доказательства и неизвестно, истинна она или ложна.
Но как известно, существуют истинные, но недоказуемые (в принципе) , математические утверждения.
То что оно истинно, человечество таким образом, никогда не узнает. Например - для этого (чтобы доказать что оно истинно), надо совершить бесконечное количество каких-то проверок.

И вот допустим, свели такую задачу к ДУсЧП от 2-х переменных, оно интегрируемо, но нет решений в квадратурах.
Но нужная нам функция, вообще говоря, сущестувет. Если вычислим значение $z(x,y)$ , для $x = 10$, и $y = 20$, и $z$ - будет меньше определенного значения, то проблема (гипотеза) математики доказана, что истинна, если нет - тогда она ложна.

Ну а если математика, ничего не может сказать чему равно $z$ - вот это и эквивалент истинного но недоказуемого утверждения? В более простой, понятной форме.

-- Пт июн 21, 2019 00:32:28 --

(Оффтоп)

Цитата:

Это считается олимпиадной задачей?

Да, это было олимпиадной задачей, только конкретные числа я не помню, потому подставил свои. Ну а какого ВУЗа, это я уже не помню. Просто рассказывали. Да, и 1-го курса. Кстати, задача по диффурам, а на 1-м курсе часто ДУ ещё не учат.

[Dan B-Yallay]

Skipper в сообщении #1400458 писал(а):

Я попытался свести недоказанные проблемы математики, к ДУ, чтобы проще разобраться.

-- Чт июн 20, 2019 16:37:24 --

Skipper в сообщении #1400458 писал(а):

Но как известно, существуют истинные, но недоказуемые (в принципе) , математические утверждения.

Кому это известно? Фамилии, имена. И ещё пример такого утверждения пожалуйста, если нетрудно, приведите

Skipper в сообщении #1400458 писал(а):

То что оно истинно, человечество таким образом, никогда не узнает.

Откуда тогда известно предыдущее?

[Skipper]

(Оффтоп)

Цитата:

до какой степени это примитивно

Для кого примитивно? Дайте задачу 11-класснику (а там анализ уже тоже есть), и спросите, примитивно или нет.
Могу поискать (если найду), какие задачи дают по ВМ (высшей математике), у моей двоюродной сестры, на 2 курсе универа, правда уже, не помню в каком ВУЗе учится, давно не виделись. Экономический какой то факультет...

это простейшая задача для .. тех, кого вводили в курс дифференциальных уравнений! С какой стати, тогда весь 1-й курс есть матанализ, а диффуры только на 2-м курсе университетов начинают? Может стоит, эти два предмета вообще совмещать.. Объединить в один. А вот ТФКП - наоборот, вынести из курса стандартного матанализа, в отдельный предмет и преподавать только на 3 курсе университетов.

-- Пт июн 21, 2019 00:57:36 --

Dan B-Yallay в сообщении #1400459 писал(а):

Кому это известно? Фамилии, имена. И ещё пример такого утверждения пожалуйста, если нетрудно, приведите

Так теорема Гёделя же об этом была? Гильберт думал, что всё можно доказать что истинно, а оказалось, что это не так..

[Dan B-Yallay]

Skipper в сообщении #1400461 писал(а):

Так теорема Гёделя же об этом была?

Теорема Гёделя о том, что в теориях, в которых выразима арифметика, существуют недоказуемые утверждения. Но Bы говорили что-то еще об их истинности. Понимаете ли Bы, что именно это означает?

[Skipper]

Цитата:

Но как известно, существуют истинные, но недоказуемые (в принципе) , математические утверждения.

Dan B-Yallay в сообщении #1400459 писал(а):

И ещё пример такого утверждения пожалуйста, если нетрудно, приведите

Хорошо, вот я задаю пример - "бесконечное ли число простых чисел-близнецов ?"
Таких которые отличаются не более чем на 2 ?
Или гипотеза Гольдбаха (сильная) .

Вы уверены, что если это истинные утверждения (хотя человечество этого и не знает, но об этих утверждениях вполне определенно можно сказать - они истинны или ложны! ), то вообще в принципе существуют их доказательства, в "конечной форме" изложенные (которые могли бы вообще быть изложены в будущем)?

Проверить все простые числа до бесконечности, чтобы доказать такие утверждения - не вариант, и если доказательства в конечной форме, в принципе не существует - то человечество никогда не узнает настоящей правды о том, истинны эти утверждения или ложны!

Но вообще они могут быть истинными, но не доказуемыми в принципе, и никаким образом?
Это главный вопрос .