Вопрос про ДУ с частными производными

[Munin]

Pphantom в сообщении #1400226 писал(а):

Цитата достаточно специфическая, так что источник найти несложно...

Охосподи, что это?.. Неоценённый гений? Или просто бизнесмен?

[Pphantom]

Munin в сообщении #1400233 писал(а):

Охосподи, что это?.. Неоценённый гений? Или просто бизнесмен?

Процитирую информацию из самого первого, по-видимому, источника (форматирование не сохранить, это DOC-файл, но смысл и так понятен):

Цитата:

Государственное автономное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
Кемеровской области
«Кузбасский техникум архитектуры, геодезии и строительства»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методические указания для самостоятельной работы
по дисциплине математика
для студентов заочной формы обучения
специальностей:
08.02.01 строительство и эксплуатация зданий и сооружений
08.02.05 строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов

Кемерово, 2014
ББК 74.57
С 86
О.Е. Медведева
Дифференциальные уравнения
[Текст]: Методические указания для самостоятельной работы
по дисциплине математика специальностей:
08.02.01 строительство и эксплуатация зданий и сооружений
08.02.05 строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов / авт. сост. О.Е. Медведева - Кемерово, 2014. – 79с.

РАССМОТРЕНО
Цикловой методической комиссией общеобразовательных дисциплин отделений: Строительство и эксплуатация зданий и сооружений» и «Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов»
Протокол №_____ от _________
Председатель _________ О.Е. Медведева

УТВЕРЖДЕНО:
Заместитель директора
по учебной работе __________ Н.В. Мишенина
« »_________

РЕКОМЕНДОВАНО Экспертным Советом ГАОУ СПО КО «Кузбасский техникум архитектуры, геодезии и строительства» в качестве дополнительного учебного пособия.
Протокол №____от __________
Председатель Экспертного Совета_________ Н.П. Негадаева

Пособие издаётся в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Математика» по рабочему учебному плану специальностей 08.02.01 строительство и эксплуатация зданий и сооружений и 08.02.05 строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов.
Пособие охватывает раздел «Дифференциальные уравнения», изучаемый студентами техникума на первом курсе.
В пособии содержатся варианты контрольных работ. Методические указания направлены на формирование профессиональных и общих компетенций, таких как:
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ПК 1.1. Участвовать в геодезических работах в процессе изыскания автомобильных дорог и аэродромов.
ПК 1.3. Участвовать в проектировании конструктивных элементов автомобильных дорог и аэродромов.
ПК 1.4. Участвовать в проектировании транспортных сооружений и их элементов на автомобильных дорогах и аэродромах.
ПК 2.1. Участвовать в организации работ в организациях по производству дорожно-строительных материалов.
ПК 3.3. Участвовать в расчетах технико-экономических показателей строительства автомобильных дорог и аэродромов.
ПК 4.5. Участвовать в расчетах технико-экономических показателей ремонта автомобильных дорог и аэродромов.

Методические указания предназначены для студентов техникума обучающихся по специальности 08.02.01 строительство и эксплуатация зданий и сооружений и 08.02.05 строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов.

-- 19.06.2019, 22:37 --

Кстати, Skipper, при цитировании сообщений оставляйте в заголовке информацию о том, кого и что вы цитируете. Проще всего сделать это, выделив нужный участок сообщения и нажав в правом нижнем углу этого сообщения кнопку "Вставка".

[Icarus]

Pphantom в сообщении #1400237 писал(а):

Процитирую информацию из самого первого, по-видимому, источника

Не, это на уже обруганном здесь "матпрофи" сначала появилось, а они просто Ctrl+C/Ctrl+V...

[arseniiv]

Skipper
У вас кажется есть путаница между существованием функции и выразимостью её в виде выражения, построенного по заранее заданным правилам (типа выразимости в элементарных функциях, выразимости в квадратурах и т. п.) И выразимость в элементарных функциях — это причуда. Тот же косинус ничем не отличается от какой-нибудь гамма-функции. От того что его проходят в школе и называют элементарным, он не становится значительно более лёгким в манипуляциях.

Потому надо уточнить ваш вопрос: вам точно интересно, когда у уравнений (с решениями-функциями — и тут в принципе не очень важно, дифуры это, ДУЧП, интегральные или что-то ещё пострашнее) есть решения, или когда есть решения какого-то особого вида?

Но вообще конечно разобраться надо сначала и в основах того, о чём спрашиваете: $y = 1e^x$ a priori ничем не выделена среди других решений того уравнения $y' = y$. И почему например было не принять $C$ в $Ce^x$ нулём? Ноль лучше единицы, это вам все скажут. (Хотя я бы примером хорошего такого уравнения по этой части дал $y'' + y = 0$, уж между косинусом и синусом выбирать не так просто как между экспонентой и минус экспонентой — или уравнение типа $y''' = 0$ — какой многочлен 3-й степени самый правильный?)

[Skipper]

Немного истории. По терминологиям, и у математиков наблюдается некая "перегрузка" понятий,
которая вводит в трудности, и неоднозначное понимание.

Это в принципе может спросить человек, который или начинающий, или многое забыл и т.е.

Первая производная, если $y$ - функция от $x$, это

$y'(x) = \frac{dy}{dx}

Пока всё хорошо. Вторая производная - берётся от первой, поэтому очевидно, что она равна

$y''(x) = d ( \frac{dy}{dx} ) / dx = \frac{d(dy)}{dx \cdot dx} $

Пока тоже всё хорошо.
Но скоро, так сказать "СЛОМАЕТСЯ" операторная логика. Если сама по себе "сущность" $d$ -
означает, как некое "малое приращение", то его можно рассматривать как простой множитель,
с названием $d$ , и просто как стремящийся к нулю.
В той же статье, так и пишется, Дифференциалы $dy $ и $dx $ – это
полноправные множители и активные участники боевых действий.
Т.е. их можно переносить, из части в часть , и так далее.

Таким образом, раскрыв скобки в числителе, действительно получаем,

$y''(x) = \frac{d(dy)}{dx \cdot dx} = \frac{ddy}{dx \cdot dx} = \frac{d^2y}{dx \cdot dx} = \frac{d^2y}{(dx)^2} $ .

Но и до сих пор, всё верно и понятно. И некоторые сознательно оставляют скобки в знаменателе!

Но с какой стати, дальше, пытаются в книгах , убрать эти скобки, некоторых студентов ВУЗов,
это просто вводит в ступор. Я как программист, знаю, что такое операторы , их приоритет и т.д.
Получается, это верно -

$y''(x) = \frac{d^2y}{(dx)^2} $ .

Но далее, это неверно -->

$y''(x) = \frac{d^2y}{dx^2} $ .

я считаю, так писать нельзя, т.е. некорректная запись.
Почему мы избавились от одной сущности $d$ в знаменателе ?
Разработчики компиляторов меня точно поймут :)

[arseniiv]

Skipper в сообщении #1400244 писал(а):

Я как программист, знаю, что такое операторы , их приоритет и т.д.

Ну и зря вы так думаете. Приоритет бывает разный. Вот в математике как раз принято чтобы $d$ связывался сильнее со своим аргументом, чем возведение в квадрат. Потому $dx^2 \equiv (dx)^2$, а в $d(x^2)$ опускать скобки нельзя.

И в разных местах могут быть разные соглашения о приоритете, в том числе как в той же математике, так и во многих языках программирования префиксно пишущиеся штуки одного аргумента могут связывать и сильно, и слабо: $\sin x^2\equiv\sin(x^2)$, для примера с другой стороны в языке C *x + 1 — это (*x) + 1, а не *(x + 1). Но вообще среди формальных языков (не только программирования) куда больше вариантов синтаксиса, чем в математике. Так что делать утверждения как у вас, имея представление о CS, просто-напросто язык не повернётся.

-- Чт июн 20, 2019 01:18:20 --

Кроме того ваша тема была изначально не о том, а про дифференцирование можно открыть отдельную. Иначе толку будет мало — её могут вообще закрыть как бесперспективную кашу.

[Skipper]

Вот ещё перегрузка понятий. В книгах по диффурам, как дифференциальные уравнения
показывают? Вот так например,

$y' + y + yx = 0$

при этом подразумевается, что мол, $y$ - это функция (вместо этого, $y(x)$ не пишут ), а вот $x$ - это просто "переменная".
Можно было бы функции, для простоты понимания обозначать большими буквами, а переменные маленькими, или функции всегда обозначать так чтобы за символом шла скобка. Но если здесь $y$ рассматривается, как функция от $x$, значит вместо буквы $y$ можно подставить некую конструкцию содаржащую только иксы, но по той же логике, и вместо $x$, можно подставить конструкцию содаржащую только игреки, т.е. воспринимать эту букву $x$ - тоже как функцию.
Верно? (хотя как было выше сказано, обратные функции могут существовать, и могут не существовать.
Для уравнения $y + 1 = x - x + 1$ -- существует функция $y(x) $, но не существует обратной функции $x(y)$ . Хотя переменная $x$ - здесь используется ).
Будем считать, что в наших уравнениях, всегда существует и обратная функция.

Но если так можно писать, т

$y' + y + yx = 0$

то чем хуже такое (???) -

$y' + y + x' + yx = 0$

это по правилам работы с выражениями, можно записать и так -

$\frac{dy}{dx} + y + \frac{dx}{dy} + yx = 0$

Скажите пожалуйста, это дифференциальное уравнение или нет?
Если нет, то почему, и какое? (под определение дифференциального вроде, не подпадает).
Может быть, функциональное уравнение, или функционально-дифференциальное, и т.д.

-- Ср июн 19, 2019 22:27:39 --

arseniiv в сообщении #1400248 писал(а):

Кроме того ваша тема была изначально не о том, а про дифференцирование можно открыть отдельную.

Да просто переименовать можно. Вопрос по диффурам, привёл к вопросу по терминологиям,
значит, это часть того, чтобы ответить вопрос и на исходное, и это получается, не оффтоп .

[Pphantom]

Skipper в сообщении #1400250 писал(а):

$\frac{dy}{dx} + y + \frac{dx}{dy} + yx = 0$

Скажите пожалуйста, это дифференциальное уравнение или нет?
Если нет, то почему, и какое? (под определение дифференциального вроде, не подпадает).
Может быть, функциональное уравнение, или функционально-дифференциальное, и т.д.

А что, конструкция $y' + y + 1/y' + y x =0$ (в более-менее стандартных обозначениях) дифференциальным уравнением уже не является?

[Skipper]

Ясно. Я просто прочитал определения дифференциальных уравнений, и не нашёл там во множестве разрешенных для диффур, выражений, $x' , x''$, и т.д. Если всё всегда выражается через $y', y''$ и т.д, то запретили видимо, в плане удобства.

Когда редко занимаешься математикой, то подобные запреты становятся неочевидными :)

-- Ср июн 19, 2019 23:09:37 --

arseniiv в сообщении #1400248 писал(а):

Ну и зря вы так думаете. Приоритет бывает разный. Вот в математике как раз принято чтобы $d$ связывался сильнее со своим аргументом, чем возведение в квадрат. Потому $dx^2 \equiv (dx)^2$, а в $d(x^2)$ опускать скобки нельзя.

Верно. А знаете ? Подумалось, что намного удобнее для восприятия было бы это $d$ -
писать как степенную малую букву вверху слева, т.е. с той лишь только разницей от степени, если степень пишется малой буквой справа, $ a^b $
то $d$ - то же самое только слева (будет вместо b в приведённом примере! ). Тогда она хотя бы не воспринимается как какой то обычный множитель, на что у нас со школы привычка, что у него приоритет наоборот, меньше чем у степени.
Причём это уже в подсознании, привычка. Я уверен , если переписать учебники 11 класса, и 1-х курсов ВУЗов, с таким $d$ - у всех школьников и студентов, пойдёт намного проще понимание, и успеваемость.

[arseniiv]

Skipper в сообщении #1400250 писал(а):

Верно?

Обычно перед формулами пишут, какие имена что означают. Удивительные дела.

Кстати в том же программировании за именем функции не обязательно идёт скобка и оно не обязательно типографски отличается от имени переменной.

Skipper в сообщении #1400250 писал(а):

Скажите пожалуйста, это дифференциальное уравнение или нет?
Если нет, то почему, и какое? (под определение дифференциального вроде, не подпадает).
Может быть, функциональное уравнение, или функционально-дифференциальное, и т.д.

Дифференциальное уравнение может рассматриваться как уравнение кривой. Тогда $x, y$ это координаты точек кривой, $(x, y) = (f(t), g(t))$, а $dx, dy$ тогда просто дифференциалы: $dx = f'\,dt$ и их можно делить друг на друга, потому что они кратны одному и тому же $dt$. Или дифур задаёт векторное поле. Вообще обо всех глубинах теоретического понимания есть в нормальных учебниках по дифурам. Не в справочниках, ограничивающихся парочкой методов решения.

Skipper в сообщении #1400250 писал(а):

под определение дифференциального вроде, не подпадает

Уверены ли вы, что точно его знаете? (Выписывать не надо, просто удостоверьтесь как следует.)

Skipper в сообщении #1400250 писал(а):

Вопрос по диффурам, привёл к вопросу по терминологиям,
значит, это часть того, чтобы ответить вопрос и на исходное

Не обязательно.

Skipper в сообщении #1400257 писал(а):

А знаете ? Подумалось, что намного удобнее для восприятия было бы это $d$ -
писать как степенную малую букву вверху слева, т.е. с той лишь только разницей от степени, если степень пишется малой буквой справа, $ a^b $
то $d$ - то же самое только слева (будет вместо b в приведённом примере! ).

Ну вот штрих уже придумали, в случаях разночтений — с приписной буквой нижним индексом, по чему производная. Кроме того есть $\partial$ для частных производных, а для функций одного аргумента частная та же обычная. Хотя на вас немного косо посмотрят. Ну и что.

Skipper в сообщении #1400257 писал(а):

Тогда она хотя бы не воспринимается как какой то обычный множитель, на что у нас со школы привычка, что у него приоритет наоборот, меньше чем у степени.

Не знаю, у меня никаких страшных привычек не сформировалось и не было. Кроме того часто действительно пишут букву $d$, например, прямым шрифтом. Но вообще это всё не обязательно и мозг человека не настолько твёрдое тело. Привыкнуть к употреблению $d$ наверно не сложнее чем научиться читать текст, перевёрнутый вверх ногами.

Skipper в сообщении #1400257 писал(а):

Я уверен , если переписать учебники 11 класса, и 1-х курсов ВУЗов, с таким $d$ - у всех школьников и студентов, пойдёт намного проще понимание, и успеваемость.

Может быть просто стоит там делать приписку для любителей о том, насколько сильно связывает $d$. Раз единичные разночтения столько шуму поднимают.

[Dan B-Yallay]

(Граммар-нацистская придирка)

arseniiv в сообщении #1400266 писал(а):

Тогда $x, y$ это координаты точек кривой, $(x, y) = (f(t), g(t))$, а $dx, dy$ тогда просто дифференциалы: $dx = f\,dt$

$dx = f' dt$

[arseniiv]

Да, спасибо, поправлю. Очень даже уместная придирка, не какая-то выделительная запятая.

[Skipper]

Pphantom в сообщении #1400253 писал(а):

А что, конструкция $y' + y + 1/y' + y x =0$ (в более-менее стандартных обозначениях) дифференциальным уравнением уже не является?

Ну если так всё хорошо, то представим что у нас есть три переменные, $x, y, z$ - которые связаны между собой, зависимостью, описываемой следующим дифференциальным уравнением с ЧП -

$$\frac{\partial z}{\partial x} + 2 \frac{\partial z}{\partial y} + 2 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} + 3 \frac{\partial ^2x}{\partial z^2} + xyz + x + 1 = 0 $

По аналогии, чувствую что это тоже дифференциальное уравнение. (хотя в стандартную запись оно не попадает).
Предположим, что для него существуют функции $x(y,z)$ , также, $y(x,z)$ , также, $z(y,x)$ . Хотя обратные не всегда существуют, но в данном случае, предположим они существуют.

Константа $C$, тоже будет, но она только увеличивает множество этих функций, удовлетворяемых этому дифференциальному уравнению.
$x(y,z, C_1)$ -- было бы более правильно написать.
Как нахождение функции для $x$.

Аналогично, существуют множество функций, $y(x,z, C_2)$ и $z(y,x, C_3)$ .

У каждого из этих множеств функций, свои возможные, $C_1 , C_2, C_3$.
Но существует единая такая тройка этих, $C_1 , C_2, C_3$, что три функции становятся
взаимно-обратными, $x(y,z)$ , также, $y(x,z)$ , также, $z(y,x)$.

Это дифференциальное уравнение выше, я так написал, к примеру, не важно, его рассматривать или какое то другое.


уравнение в процессе решения "освободилось от всех $\partial$", и как вариант получили уже обычное уравнение, связывающее эти три переменные, $x, y, z$ - допустим,

$x + 10 = y + 2z + 10$ ,


Важно то, что решив его, мы установили три взаимные функции, как к примеру,

$x(y,z)$ это функция, $x = y + 2z$ , то далее функции $y(x,z)$ это функция $y = x - 2z $ ,
а функция, $z(x,y)$ это функция $ z= (x - y) / 2 $ .

Вот что я и имел в виду, в первом сообщении данной темы.
("Предположим, задали некое дифференциальное уравнение с частными производными, которое связывает эти три функции. ")

Если мы подобную зависимость нашли - хорошо.
то к примеру для $y = 10, z = 20$, будет $x = 50$, только так, и никаких других неопределенностей.
Если нет, т.е. проинтегрировать уравнение нельзя и т.д.

то в таком случае, специальными, (численными) методами, можно ли найти
$x$ -- для определенных $y$ , $z$ ?
то к примеру для $y = 10, z = 20$. Всегда ли можно найти $x$ хотя бы приближенно?

-- Чт июн 20, 2019 00:31:28 --

Skipper в сообщении #1400277 писал(а):

У каждого из этих множеств функций, свои возможные, $C_1 , C_2, C_3$.
Но существует единая такая тройка этих, $C_1 , C_2, C_3$, что три функции становятся
взаимно-обратными, $x(y,z)$ , также, $y(x,z)$ , также, $z(y,x)$.

Ну и я не спорю, возможно, для того чтобы эта тройка была, может понадобиться не одно, а даже целая система из нескольких дифур, с ЧП.
Просто интересно - если эти функции невозможно найти аналитически, то можно ли всегда в таком случае их существования (единые две обратные функции и т.д. ) - найти их какими то численными или другими способами.

[Pavia]

Skipper
Вам нужно прочитать учебник и найти там ответы. У вас чисто проблемы с определениями.

1. Что такое функция.
2. Аналитические функции.
3. Взятие интеграла в элементарных функциях(радикалах).
4. Определение ДУ в частных производных.
5. Связь ДУ с производной.
6. Численное решение ДУЧП метод Эллера(по определению) и методы Рунге-Кутты
С 5 пунктом Вы уже разобрались.

Фихтенгольц Г.М.-Основы математического анализа. Том 1 (1968)
Фихтенгольц Г.М.-Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1(1969)

Так как у вас вопрос про неявный вид переменных то это лучше описано в "курс дифференциального ...", а остальные вопросы более детально разобраны в первой.

4-5 лучше всего изучить по лекциям, В.Н. Худенко:
https://www.kantiana.ru/mathematics/umk/
analis12.pdf
analis13.pdf
analis42.pdf
analis43.pdf

[Skipper]

Цитата:

проблемы с определениями.

Спасибо, разбираюсь. Но моя терминология, я не думал, что так уж окажется непонятной.
Есть уравнение, благодаря которому мы может найти (или не найти) - 3 функции, которые имеют связь между собой.
Возможно ли такое для дифф. уравнения, или же обязательно нужны доп. условия (или - доп. уравнения. получим тогда систему уравнений).

Цитата:

уравнение в процессе решения "освободилось от всех $\partial$", и как вариант получили уже обычное уравнение,