Школьная задача о движении по наклонной плоскости

[wrest]

(Igrickiy(senior))

Igrickiy(senior) в сообщении #1394182 писал(а):

Я их оставлю. Для меня набор слов "движется горизонтально" имеет совершенно определённый и понятный смысл.

Ну как хотите :) Я хотел указать на то, что слова "вдоль наклонной плоскости" также имеют совершенно определенный и понятный смысл, противоречащий словам "движется горизонтально".

[ihq.pl]

Igrickiy(senior) в сообщении #1394182 писал(а):

Да, согласен. Это один из ключевых моментов в задаче

надо ж. А я считал, что ключевым здесь является вопрос о расхождении энергий

[Igrickiy(senior)]

ihq.pl в сообщении #1394194 писал(а):

надо ж.

Ага! Надо ж.

ihq.pl в сообщении #1394194 писал(а):

А я считал, что ключевым здесь является вопрос о расхождении энергий

А что мешает продолжать считать именно так и дальше?
Это чему-то мешает или противоречит?
Модераторы очень мудро перенесли задачу в раздел "Дискуссионные темы".
Можем (разумно) дискутировать.

[ihq.pl]

Igrickiy(senior)
хорошо. Тогда зачем нужна наклонная плоскость? Постом выше я привел пример без доски, где возникает та же самая проблема. Вы знаете, как поступать в этом случае? Спрашиваю из чистого интереса. Потому что сам не знаю.

[Igrickiy(senior)]

ihq.pl в сообщении #1394200 писал(а):

Тогда зачем нужна наклонная плоскость?

Наклонная плоскость нужна для того, чтобы тело скатывалось по ней. Не падало вертикально, а скатывалось с плавным переходом на горизонтальную поверхность.

ihq.pl в сообщении #1394200 писал(а):

Постом выше я привел пример без доски, где возникает та же самая проблема.

Вы об этом?

ihq.pl в сообщении #1394162 писал(а):

Возьмём более простой пример. Пусть тело массы $m$ свободно падает с высоты $H$. Ось $z$ направлена вверх. Потенциальную энергию определим как $U(z) = mgz$. Рассмотрим теперь систему координат $z_1 = z + vt$, где $v$ - та самая скорость, направленная вниз. Тогда $U=U(z_1-vt)$. Понятно, что значения $U$ не изменятся в начальной и конечной точках. Зато поменяются значения $T$, и тогда $E=U+T$ не сохраняется. Можно, конечно, списать всё на явную зависимость от $t$. Но можно определить другой потенциал, например, $U_1(z_1)= mg(z_1-H)$. Имеем право. И тогда всё сохраняется.

Я не заметил там никакой проблемы. Можно пояснить, в чём Вы её видите?

[ihq.pl]

Igrickiy(senior) в сообщении #1394223 писал(а):

Я не заметил там никакой проблемы. Можно пояснить, в чём Вы её видите?

Точка падает вертикально из точки $p_1=(0,0,H)$ в точку $p_2=(0,0,0)$
1) Считаем энергию в этих точках в неподвижной относительно Земли ИСО $xyz$: $E(p_1) = E(p_2) = mgH$, где $E = T + U$.
2) Считаем энергию в этих же точках в подвижной ИСО $x_1y_1z_1$: $E(p_1) = 2mgH, E(p_2) = 0$, или, если подробней, то

$$T(p_1) = mgH, T(p_2) = 0, U(p_1) = mgH, U(p_2) = 0.$$

В случае 2) энергия не сохраняется. Почему?
Считайте, что я ваш бесплатный ученик

[Igrickiy(senior)]

ihq.pl в сообщении #1394230 писал(а):

Считайте, что я ваш бесплатный ученик

В том смысле, что за это я Вам ничего не плачу?
Щедро!
Спасибо.

[ihq.pl]

Igrickiy(senior) в сообщении #1394237 писал(а):

я Вам ничего не плачу

наоборот, я ничего не плачу. Ученик же я. И почему же энергия не сохраняется в 2), какой ответ?

[Igrickiy(senior)]

ihq.pl в сообщении #1394238 писал(а):

наоборот, я ничего не плачу. Ученик же я.

Замечу при свидетелях (надеюсь!), что не я это сказал!

ihq.pl в сообщении #1394238 писал(а):

И почему же энергия не сохраняется в 2), какой ответ?

Непременно отвечу!
Даже обязательно!!!

[ihq.pl]

Igrickiy(senior) в сообщении #1394242 писал(а):

Непременно отвечу!

Не знаю, как остальным, а мне любопытно будет послушать. В смысле, необязательно ваш ответ. Вообще, ответ. На реакциях связи здесь увы уже не вырулить.

[Igrickiy(senior)]

ihq.pl
В привычной ИСО, которая неподвижна относительно Земли, а ось системы координат $OZ$ направлена вертикально вверх, тело при $t=0$ находилось в точке с координатой $z = H$ и имело скорость $V = 0$.
Полная механическая энергия системы

$E_1 = m g H + 0$

После начала падения тело за время $=\sqrt{\frac{2 H}{g}}$ переместится в точку с координатой $z = 0$, будет иметь скорость $V= \sqrt{2 g H}$ и полную механическую энергию

$E_2 = 0 + \frac{m V^2}{2} = m g H$

Непривычная ИСО движется вертикально вниз со скоростью $V = \sqrt{2 g H}$. В момент начала движения груза начала координат обеих систем совпадают.
Это условие ничему не противоречит и просто удобно для уменьшения писанины.
Тогда в этой системе скорость в самом начале есть $V = - \sqrt{2 g H}$, а координата такая же - $z = H$.
Соответственно полная механическая энергия равна

$E_1 = 2 m g H$.

В момент достижения уровня Земли скорость в непривычной ИСО будет равна 0, координата в привычной ИСО $z = 0$, а начало непривычной системы за время падения опустится на $2 H$ . Это означает, что в непривычной системе координат полная механическая энергия будет

$E = 0 + 2 m g H$.

Никаких противоречий.

Вся "фишка" в том, что написано выделенным шрифтом.

Никаких дополнительных сил нет и ни о какой неучтенной работе и речи нет. В случае с наклонной плоскостью нужно очень аккуратно учесть работу реакции наклонной плоскости в непривычной ИСО.

[ihq.pl]

Igrickiy(senior)После перехода к новой со аргумент потенциальной энергии стал $z_1 - vt$. Почему вы не учли это?

[Igrickiy(senior)]

ihq.pl в сообщении #1394268 писал(а):

После перехода к новой со аргумент потенциальной энергии стал $z_1 - vt$. Почему вы не учли это?

Можно подробности?
Я говорю вот о чём:
объясните популярно, что нужно было сделать. "Вот у Вас написано....., а на самом деле должно быть,,,,,, !"
Я действительно не уловлю, о чём идёт речь.

[ihq.pl]

$U = U(z)$. Но в новой со $z = z_1 -vt$. Почему в новой со пот. Энергия у вас $U(z_1)$, а не $U(z_1- vt)$?

-- 21.05.2019, 00:30 --

Переход к новой координате в U - ведь именно это сделал Alex-Yu. . Поэтому появилась явная зависимости от $t$. То же самое я предлагаю сделать здесь.

-- 21.05.2019, 00:54 --

Я не говорю, что это неверно. Но переход к новой координате тогда надо делать не только в $U$, а в полной энергии $E = E(x,\dot{x})$. Попробуйте, всё должно получиться, энергия будет сохраняться. А потом сделайте то же самое в своей задаче.

[Igrickiy(senior)]

ihq.pl
Я не знаю, отвечу ли я Вам на вопрос, но напишу ещё раз о том, как я рассуждаю.
1. Есть две абсолютно физически равноправные ИСО - неподвижная и связанная с Землей - первая система и равномерно движущаяся вниз с определённой постоянной скоростью $U$ - вторая система.
2. В обеих ИСО рассматривается (в предложенном Вами простом случае) свободное падение тела из состояния покоя в течение некоторого определённого времени, одинакового в обеих системах.
3. Требуется определить и сравнить изменение полной механической энергии тела за это время в обеих ИСО.

Обозначения.

В обеих ИСО вводим систему координат с осью $OZ$ и $oz$, направленной вертикально вверх. Для избежания использования многих индексов будем обозначать все соответственные переменные в первой ИСО прописными буквами, а во второй строчными.
Начальные координаты тела - $Z_1$ и $z_1$.
Начальные скорости тела - $V_1$ и $v_1$
Конечные координаты тела - $Z_2$ и $z_2$
Отсюда непосредственным вычислением находим $\Delta E = 0$

Конечные скорости тела - $V_2$ и $v_2$
Время единое для обеих систем. Начальный момент принимаем за 0 - начало отсчёта, время падения обозначим $t$.
Принимаем, что потенциальная энергия тела в каждой ИСО равна нулю в начале координат каждой системы.
Начальная полная механическая энергия тела в первой ИСО есть:
$E_1 = m g Z_1 + \frac{m V_1^2}{2}$
Конечная полная механическая энергия тела в первой ИСО есть:
$E_2 = m g Z_2 + \frac{m V_2^2}{2}$
Изменение :
$\Delta E = E_2 - E_1 = m g (Z_2 - Z_1) + \frac {m}{2} (V_2^2 - V_1^2)$
Совершенно аналогично для второй ИСО:
$\Delta e = e_2 - e_1 = m g (z_2 - z_1) + \frac {m}{2} (v_2^2 - v_1^2)$
Покажем, что $\Delta E = \Delta e$.
По условию $V_1 = 0$.
Тогда через время $t$ : $V_2 = 0 - g t = - g t$ и $Z_2 = Z_1 - \frac{g t^2}{2}$

Во второй системе отсчёта по определению $v_1 = - U$.
Тогда $v_2 = - U - gt$ и $z_2 = z_1 - Ut - \frac{g t^2}{2}$
Отсюда прямой подстановкой находим:
$\Delta e = 0$.
Вот и всё.

-- 21.05.2019, 00:32 --

ihq.pl в сообщении #1394274 писал(а):

Поэтому появилась явная зависимости от $t$.

Потенциальная энергия в данной задаче является только функцией координат в обеих ИСО. Подстановки здесь роли не играют.

ihq.pl в сообщении #1394274 писал(а):

Попробуйте, всё должно получиться, энергия будет сохраняться. А потом сделайте то же самое в своей задаче.

Если я не допускаю досадных описок или ошибок по невнимательности или усталости, у меня всегда и всё получается.
И ещё.
Я всегда делаю ТОЛЬКО то, что считаю правильным и нужным.
И задача это не моя.
Это просто Задача, которая может быть интересна.