Существует ли предел?

[Slow]

Пусть для последовательности выполняется либо $a_n=\frac{a_{n-1}+1}{2}$, либо $a_n=\sin(a_{n-1})$. Может ли эта последовательности иметь предел в интервале $(0, 1)$? Эта задача попалась на экзамене пару дней назад, поэтому пишу на память и возможно криво сформулировал. К сожалению, пришел к решению только сейчас, но остались сомнения в корректности, в связи с этим выставляю его на всеобщее обозрение:
Будем рассматривать только те последовательности, в которых обоим равенствам соответствует бесконечное количество членов последовательности (иначе предел равен 1 или 0). Пусть такой предел существует, обозначим его $x$, рассмотрим неравенства $x+\varepsilon<\frac{x+\varepsilon+1}{2}$ и $x+\varepsilon<\frac{x-\varepsilon+1}{2}$, оба неравенства выполняются при $\varepsilon<\frac{1-x}{3}$, то есть существует $\varepsilon$-окрестность $x$ такая, что вне ее лежит бесконечное число членов $a_n$, что противоречит определению предела.
Сомнения у меня из-за того, что в ходе решения не нужно исследовать как ведут себя члены $a_n=\sin(a_{n-1})$.

[mihaild]

Всё правильно - от $\sin$ требуется только то, что нельзя им ограничиться. Интуитивно - все члены последовательности, начиная с некоторого, должны лежать в малой окрестности предела, но образ достаточно малой окрестности с центром где-то на $(0, 1)$ и относительно $\sin(x)$, и относительно $\frac{x + 1}{2}$ с этой окрестностью не пересекаются.

Можно еще взять набор индексов $X$ таких что $n \in X \rightarrow a_{n + 1} = f(a_n)$, где $f$ - одна из двух разрешенных функций. Пусть $x$ - предел нашей последовательности, тогда $x = \lim\limits_{n \in X} a_n = \lim\limits_{n \in X} a_{n + 1} = \lim\limits_{n \in X} f(a_n) = f(\lim\limits_{n \in X} a_n) = f(x)$ (используем непрерывность $f$). Т.е. предел должен быть неподвижной точкой для хотя бы одной из наших функций.

[Евгений Машеров]

Я бы сказал "может, но не обязана".
Если для всех членов (эээ... "начиная с некоторого") выполняется первое условие, то предел 1. Если для всех второе, то предел 0. А вот если то одно, то другое - то при каждой смене нас выносит из одной "области притяжения" в другую. И чтобы утверждать, что предела нет, надо что-то вроде "для каждого N существуют $P>N$ и $Q>N$ такие, что $a_P=\frac{a_{P-1}+1}{2}$ и $a_Q=\sin(a_{Q-1})$

[mihaild]

Евгений Машеров в сообщении #1393589 писал(а):

Если для всех членов (эээ... "начиная с некоторого") выполняется первое условие, то предел 1/2.

$1$ же. $\frac{1/2 + 1}{2} = \frac{3}{4}$.

[Евгений Машеров]

Спасибо. Поправил.

[TOTAL]

Slow в сообщении #1393458 писал(а):

Пусть для последовательности выполняется либо $a_n=\frac{a_{n-1}+1}{2}$, либо $a_n=\sin(a_{n-1})$.

Если эти два "либо" образуют периодическую последовательность, то стремится ли последовательность $a_n$ к периодической?

[Slow]

mihaild в сообщении #1393507 писал(а):

$x = \lim\limits_{n \in X} a_n = \lim\limits_{n \in X} a_{n + 1} = \lim\limits_{n \in X} f(a_n) = f(\lim\limits_{n \in X} a_n) = f(x)$ (используем непрерывность $f$).

Спасибо, видимо совсем простая задача была, обидно что не решил сразу

Евгений Машеров в сообщении #1393589 писал(а):

Если для всех членов (эээ... "начиная с некоторого") выполняется первое условие, то предел 1. Если для всех второе, то предел 0. А вот если то одно, то другое - то при каждой смене нас выносит из одной "области притяжения" в другую. И чтобы утверждать, что предела нет, надо что-то вроде "для каждого N существуют $P>N$ и $Q>N$ такие, что $a_P=\frac{a_{P-1}+1}{2}$ и $a_Q=\sin(a_{Q-1})$

Хм, ну у меня кажется тоже самое написано

TOTAL в сообщении #1393611 писал(а):

Если эти два "либо" образуют периодическую последовательность, то стремится ли последовательность $a_n$ к периодической?

Вы предлагаете рассмотреть две подпоследовательности, члены которых удовлетворяют первому и второму равенству соответственно? У меня получается что периодичность одной из них влечет за собой периодичность другой. Если честно кажется что я как-то неверно вас понял.

[Евгений Машеров]

У Вас написано

Slow в сообщении #1393458 писал(а):

либо $a_n=\frac{a_{n-1}+1}{2}$, либо $a_n=\sin(a_{n-1})$

То есть возможен вариант, что после нескольких чередований начиная с некоторого номера выполняется только одно из правил. Тогда предел есть. 0 или 1. А вот если такого номера, после которого чередования заканчиваются, нет - то и предела нет. Беспредел...

[Slow]

Евгений Машеров в сообщении #1393784 писал(а):

То есть возможен вариант, что после нескольких чередований начиная с некоторого номера выполняется только одно из правил. Тогда предел есть. 0 или 1.

Slow в сообщении #1393458 писал(а):

Будем рассматривать только те последовательности, в которых обоим равенствам соответствует бесконечное количество членов последовательности (иначе предел равен 1 или 0).

[mihaild]

TOTAL в сообщении #1393611 писал(а):

Если эти два "либо" образуют периодическую последовательность, то стремится ли последовательность $a_n$ к периодической?

Я так понимаю, что предлагается следующий вопрос. Пусть последовательность $f_n$ периодическая, $f_n(x) \in \{\frac{x + 1}{2}, \sin x\}$. Пусть $a_{n + 1} = f_n(a_n)$. Существует ли периодическая последовательность $b_n$ такая что $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n - b_n) = 0$?

Ответ - да, существует. Пусть $k$ - длина периода $f_n$, тогда возьмем $g = f_k \circ f_{k - 1} \ldots \circ f_{1}$. Если не все $f_i$ совпадают, то $g$ - сжимающее (у синуса производная не превосходит $1$, у $\frac{x + 1}{2}$ отделена от $1$). Тогда у $g$ есть единственная неподвижная точка $a$. Последовательность $a_1, a_{k + 1}, \ldots$ сходится к $a$, а т.к. функции непрерывные - то $a_{nk + i}$ сходится к $f_i(f_{i - 1}(\ldots(f_1(a))))$.

[Slow]

mihaild в сообщении #1393795 писал(а):

Я так понимаю, что предлагается следующий вопрос. Пусть последовательность $f_n$ периодическая, $f_n(x) \in \{\frac{x + 1}{2}, \sin x\}$. Пусть $a_{n + 1} = f_n(a_n)$. Существует ли периодическая последовательность $b_n$ такая что $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n - b_n) = 0$?

mihaild в сообщении #1393795 писал(а):

Я так понимаю, что предлагается следующий вопрос. Пусть последовательность $f_n$ периодическая, $f_n(x) \in \{\frac{x + 1}{2}, \sin x\}$. Пусть $a_{n + 1} = f_n(a_n)$. Существует ли периодическая последовательность $b_n$ такая что $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n - b_n) = 0$?

Спасибо, вот так понятнее (хотя думаю еще помедитирую над вашим сообщением), но ведь тогда получается что расходимость доказывается для подмножества всех возможных последовательностей $a_n$, а среди оставшихся последовательностей может оказаться сходящаяся.

[mihaild]

Slow в сообщении #1393802 писал(а):

но ведь тогда получается что расходимость доказывается для подмножества всех возможных последовательностей $a_n$, а среди оставшихся последовательностей может оказаться сходящаяся

Не понял. Если у нас есть последовательность $a_n$, такая что $a_{n + 1}$ получается из $a_n$ применением одной из этих двух функций, то $a_n$ либо расходится, либо сходится к $0$, либо сходится к $1$. О каком подмножестве речь?

[Slow]

mihaild
Условие

Slow в сообщении #1393458 писал(а):

Пусть для последовательности выполняется либо $a_n=\frac{a_{n-1}+1}{2}$, либо $a_n=\sin(a_{n-1})$.

задает некое множество последовательностей $A$ и нужно проверить существует ли в этом множестве подходящая последовательность. При этом последовательности, удовлетворяющие

mihaild в сообщении #1393795 писал(а):

Пусть последовательность $f_n$ периодическая, $f_n(x) \in \{\frac{x + 1}{2}, \sin x\}$. Пусть $a_{n + 1} = f_n(a_n)$.

образуют подмножество множества $A$, для элементов которого, если я правильно понял, доказывается отсутствие предела в $(0,1)$, но ведь остаются еще последовательности с не периодическими $f_n$

[Someone]

Slow в сообщении #1393822 писал(а):

существует ли в этом множестве подходящая последовательность.

Подходящая для чего?

Slow в сообщении #1393822 писал(а):

но ведь остаются еще последовательности с не периодическими $f_n$

И что с ними не так? По-моему, Вам уже изложили полное решение. Очень толстыми намёками. Перечитайте внимательно тему.
Но Вы вдруг задали вопрос о периодических последовательностях. Вам на него ответили. Почему Вы вдруг решили, что непериодические последовательности чем-то хуже периодических? Ну да, рассуждать надо немного иначе, но всё просто.

[mihaild]

Не совсем так.
Slow привел доказательство, что последовательности определенного вида не могут сходиться ни к чему кроме $0$ или $1$ и спросил, правильное ли оно. Я ответил, что правильное.
TOTAL задал другой и не вполне четкий вопрос про некоторое подмножество последовательностей такого вида. А вот дальше начался разброд и шатание.

Slow в сообщении #1393822 писал(а):

для элементов которого, если я правильно понял, доказывается отсутствие предела в $(0,1)$, но ведь остаются еще последовательности с не периодическими $f_n$

Нет, отсутствие предела доказывается для всех. А для этого подмножества выполнено и другое свойство (вообще говоря, не связанное с наличием предела) - последовательности, им задаваемые, стремятся к периодической.