Пусть для последовательности выполняется либо
, либо
. Может ли эта последовательности иметь предел в интервале
? Эта задача попалась на экзамене пару дней назад, поэтому пишу на память и возможно криво сформулировал. К сожалению, пришел к решению только сейчас, но остались сомнения в корректности, в связи с этим выставляю его на всеобщее обозрение:
Будем рассматривать только те последовательности, в которых обоим равенствам соответствует бесконечное количество членов последовательности (иначе предел равен 1 или 0). Пусть такой предел существует, обозначим его
, рассмотрим неравенства
и
, оба неравенства выполняются при
, то есть существует
-окрестность
такая, что вне ее лежит бесконечное число членов
, что противоречит определению предела.
Сомнения у меня из-за того, что в ходе решения не нужно исследовать как ведут себя члены
.