2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Существует ли предел?
Сообщение16.05.2019, 21:18 


28/05/12
214
Пусть для последовательности выполняется либо $a_n=\frac{a_{n-1}+1}{2}$, либо $a_n=\sin(a_{n-1})$. Может ли эта последовательности иметь предел в интервале $(0, 1)$? Эта задача попалась на экзамене пару дней назад, поэтому пишу на память и возможно криво сформулировал. К сожалению, пришел к решению только сейчас, но остались сомнения в корректности, в связи с этим выставляю его на всеобщее обозрение:
Будем рассматривать только те последовательности, в которых обоим равенствам соответствует бесконечное количество членов последовательности (иначе предел равен 1 или 0). Пусть такой предел существует, обозначим его $x$, рассмотрим неравенства $x+\varepsilon<\frac{x+\varepsilon+1}{2}$ и $x+\varepsilon<\frac{x-\varepsilon+1}{2}$, оба неравенства выполняются при $\varepsilon<\frac{1-x}{3}$, то есть существует $\varepsilon$-окрестность $x$ такая, что вне ее лежит бесконечное число членов $a_n$, что противоречит определению предела.
Сомнения у меня из-за того, что в ходе решения не нужно исследовать как ведут себя члены $a_n=\sin(a_{n-1})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли предел?
Сообщение16.05.2019, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Всё правильно - от $\sin$ требуется только то, что нельзя им ограничиться. Интуитивно - все члены последовательности, начиная с некоторого, должны лежать в малой окрестности предела, но образ достаточно малой окрестности с центром где-то на $(0, 1)$ и относительно $\sin(x)$, и относительно $\frac{x + 1}{2}$ с этой окрестностью не пересекаются.

Можно еще взять набор индексов $X$ таких что $n \in X \rightarrow a_{n + 1} = f(a_n)$, где $f$ - одна из двух разрешенных функций. Пусть $x$ - предел нашей последовательности, тогда $x = \lim\limits_{n \in X} a_n = \lim\limits_{n \in X} a_{n + 1} = \lim\limits_{n \in X} f(a_n) = f(\lim\limits_{n \in X} a_n) = f(x)$ (используем непрерывность $f$). Т.е. предел должен быть неподвижной точкой для хотя бы одной из наших функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли предел?
Сообщение17.05.2019, 10:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Я бы сказал "может, но не обязана".
Если для всех членов (эээ... "начиная с некоторого") выполняется первое условие, то предел 1. Если для всех второе, то предел 0. А вот если то одно, то другое - то при каждой смене нас выносит из одной "области притяжения" в другую. И чтобы утверждать, что предела нет, надо что-то вроде "для каждого N существуют $P>N$ и $Q>N$ такие, что $a_P=\frac{a_{P-1}+1}{2}$ и $a_Q=\sin(a_{Q-1})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли предел?
Сообщение17.05.2019, 13:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Евгений Машеров в сообщении #1393589 писал(а):
Если для всех членов (эээ... "начиная с некоторого") выполняется первое условие, то предел 1/2.
$1$ же. $\frac{1/2 + 1}{2} = \frac{3}{4}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли предел?
Сообщение17.05.2019, 13:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Спасибо. Поправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли предел?
Сообщение17.05.2019, 13:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Slow в сообщении #1393458 писал(а):
Пусть для последовательности выполняется либо $a_n=\frac{a_{n-1}+1}{2}$, либо $a_n=\sin(a_{n-1})$.
Если эти два "либо" образуют периодическую последовательность, то стремится ли последовательность $a_n$ к периодической?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли предел?
Сообщение18.05.2019, 00:21 


28/05/12
214
mihaild в сообщении #1393507 писал(а):
$x = \lim\limits_{n \in X} a_n = \lim\limits_{n \in X} a_{n + 1} = \lim\limits_{n \in X} f(a_n) = f(\lim\limits_{n \in X} a_n) = f(x)$ (используем непрерывность $f$).

Спасибо, видимо совсем простая задача была, обидно что не решил сразу :-(

Евгений Машеров в сообщении #1393589 писал(а):
Если для всех членов (эээ... "начиная с некоторого") выполняется первое условие, то предел 1. Если для всех второе, то предел 0. А вот если то одно, то другое - то при каждой смене нас выносит из одной "области притяжения" в другую. И чтобы утверждать, что предела нет, надо что-то вроде "для каждого N существуют $P>N$ и $Q>N$ такие, что $a_P=\frac{a_{P-1}+1}{2}$ и $a_Q=\sin(a_{Q-1})$

Хм, ну у меня кажется тоже самое написано :-)

TOTAL в сообщении #1393611 писал(а):
Если эти два "либо" образуют периодическую последовательность, то стремится ли последовательность $a_n$ к периодической?

Вы предлагаете рассмотреть две подпоследовательности, члены которых удовлетворяют первому и второму равенству соответственно? У меня получается что периодичность одной из них влечет за собой периодичность другой. Если честно кажется что я как-то неверно вас понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли предел?
Сообщение18.05.2019, 10:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
У Вас написано
Slow в сообщении #1393458 писал(а):
либо $a_n=\frac{a_{n-1}+1}{2}$, либо $a_n=\sin(a_{n-1})$

То есть возможен вариант, что после нескольких чередований начиная с некоторого номера выполняется только одно из правил. Тогда предел есть. 0 или 1. А вот если такого номера, после которого чередования заканчиваются, нет - то и предела нет. Беспредел...

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли предел?
Сообщение18.05.2019, 11:32 


28/05/12
214
Евгений Машеров в сообщении #1393784 писал(а):
То есть возможен вариант, что после нескольких чередований начиная с некоторого номера выполняется только одно из правил. Тогда предел есть. 0 или 1.

Slow в сообщении #1393458 писал(а):
Будем рассматривать только те последовательности, в которых обоим равенствам соответствует бесконечное количество членов последовательности (иначе предел равен 1 или 0).

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли предел?
Сообщение18.05.2019, 13:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
TOTAL в сообщении #1393611 писал(а):
Если эти два "либо" образуют периодическую последовательность, то стремится ли последовательность $a_n$ к периодической?
Я так понимаю, что предлагается следующий вопрос. Пусть последовательность $f_n$ периодическая, $f_n(x) \in \{\frac{x + 1}{2}, \sin x\}$. Пусть $a_{n + 1} = f_n(a_n)$. Существует ли периодическая последовательность $b_n$ такая что $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n - b_n) = 0$?

Ответ - да, существует. Пусть $k$ - длина периода $f_n$, тогда возьмем $g = f_k \circ f_{k - 1} \ldots \circ f_{1}$. Если не все $f_i$ совпадают, то $g$ - сжимающее (у синуса производная не превосходит $1$, у $\frac{x + 1}{2}$ отделена от $1$). Тогда у $g$ есть единственная неподвижная точка $a$. Последовательность $a_1, a_{k + 1}, \ldots$ сходится к $a$, а т.к. функции непрерывные - то $a_{nk + i}$ сходится к $f_i(f_{i - 1}(\ldots(f_1(a))))$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли предел?
Сообщение18.05.2019, 14:31 


28/05/12
214
mihaild в сообщении #1393795 писал(а):
Я так понимаю, что предлагается следующий вопрос. Пусть последовательность $f_n$ периодическая, $f_n(x) \in \{\frac{x + 1}{2}, \sin x\}$. Пусть $a_{n + 1} = f_n(a_n)$. Существует ли периодическая последовательность $b_n$ такая что $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n - b_n) = 0$?

mihaild в сообщении #1393795 писал(а):
Я так понимаю, что предлагается следующий вопрос. Пусть последовательность $f_n$ периодическая, $f_n(x) \in \{\frac{x + 1}{2}, \sin x\}$. Пусть $a_{n + 1} = f_n(a_n)$. Существует ли периодическая последовательность $b_n$ такая что $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n - b_n) = 0$?


Спасибо, вот так понятнее (хотя думаю еще помедитирую над вашим сообщением), но ведь тогда получается что расходимость доказывается для подмножества всех возможных последовательностей $a_n$, а среди оставшихся последовательностей может оказаться сходящаяся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли предел?
Сообщение18.05.2019, 16:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Slow в сообщении #1393802 писал(а):
но ведь тогда получается что расходимость доказывается для подмножества всех возможных последовательностей $a_n$, а среди оставшихся последовательностей может оказаться сходящаяся
Не понял. Если у нас есть последовательность $a_n$, такая что $a_{n + 1}$ получается из $a_n$ применением одной из этих двух функций, то $a_n$ либо расходится, либо сходится к $0$, либо сходится к $1$. О каком подмножестве речь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли предел?
Сообщение18.05.2019, 17:19 


28/05/12
214
mihaild
Условие
Slow в сообщении #1393458 писал(а):
Пусть для последовательности выполняется либо $a_n=\frac{a_{n-1}+1}{2}$, либо $a_n=\sin(a_{n-1})$.

задает некое множество последовательностей $A$ и нужно проверить существует ли в этом множестве подходящая последовательность. При этом последовательности, удовлетворяющие
mihaild в сообщении #1393795 писал(а):
Пусть последовательность $f_n$ периодическая, $f_n(x) \in \{\frac{x + 1}{2}, \sin x\}$. Пусть $a_{n + 1} = f_n(a_n)$.

образуют подмножество множества $A$, для элементов которого, если я правильно понял, доказывается отсутствие предела в $(0,1)$, но ведь остаются еще последовательности с не периодическими $f_n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли предел?
Сообщение18.05.2019, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Slow в сообщении #1393822 писал(а):
существует ли в этом множестве подходящая последовательность.
Подходящая для чего?

Slow в сообщении #1393822 писал(а):
но ведь остаются еще последовательности с не периодическими $f_n$
И что с ними не так? По-моему, Вам уже изложили полное решение. Очень толстыми намёками. Перечитайте внимательно тему.
Но Вы вдруг задали вопрос о периодических последовательностях. Вам на него ответили. Почему Вы вдруг решили, что непериодические последовательности чем-то хуже периодических? Ну да, рассуждать надо немного иначе, но всё просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли предел?
Сообщение18.05.2019, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Не совсем так.
Slow привел доказательство, что последовательности определенного вида не могут сходиться ни к чему кроме $0$ или $1$ и спросил, правильное ли оно. Я ответил, что правильное.
TOTAL задал другой и не вполне четкий вопрос про некоторое подмножество последовательностей такого вида. А вот дальше начался разброд и шатание.

Slow в сообщении #1393822 писал(а):
для элементов которого, если я правильно понял, доказывается отсутствие предела в $(0,1)$, но ведь остаются еще последовательности с не периодическими $f_n$
Нет, отсутствие предела доказывается для всех. А для этого подмножества выполнено и другое свойство (вообще говоря, не связанное с наличием предела) - последовательности, им задаваемые, стремятся к периодической.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group