П. К. Рашевский О ДОГМАТЕ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА

[простое число]

Котофеич писал(а):

:evil: Не расказывайте глупостей про кота Бегемота. Он никогда не играл в Шахматы, это Булгаков про него придумал. А если бы он и играл, то никакой Воланд его бы не остановил, потому что Воланда уж точно никогда не было. То что вы называете невклидовой математикой, давно существует. Называется теория топосов, так что дискуссии
на эту тему неуместны.

Неевклидовой математикой (неевклидовой арифметикой) следует назвать то знание-объект, для которого не выполняются аксиомы теории чисел, выраженные в "Началах" Евклида, и действуют аксиомы противоположного содержания. Например, знание о числе, сопровождающееся аксимой о конечности числа простых чисел.
...Впрочем, в "добулгаковском пространстве кота Бегемота" (как в "топосе всех топосов"), действительно, "все уже есть".

[Котофеич]

Я так понимаю, что Вам просто поговорить охота, на темы не имеющие отношение
к математике

[OZH]

Если взять простую окружность и начать ставить на ней натуральные числа так, как это делается при стереографической (?) проекции для сферы Римана, то они будут стягиваться к "северному полюсу", и прибавление единички действительно мало что будет менять на самой окружности.

[Котофеич]

Уточните на нормальном математическом языке, что у Вас означает мало менять
Рашевский прямо говорит что нужно сформулировать новый принцип индукции. Что Вы
хотите предложить

[OZH]

Я ничего не предлагаю. Я просто фантазирую. У меня такой образ возник. Могу более простой образ взять.

Возьмём последовательность \{1/n\}_{n=1}^{\infty}, которая стремится к нулю. Вы прибавляете единичку (переходите к новому члену последовательности), но реально вы "проходите" очень малое расстояние. (Вы хотите, чтобы я всё это перевёл на так любимый Вами язык \varepsilon-\delta?!)

Возможно, всё это не имеет отношения к Вашей теме...

[Котофеич]

Я уже спрашивал как Вы собираетесь принцип индукции сформулировать в такой
модели

[OZH]

Не знаю.

[Котофеич]

OZH писал(а):

:roll: Не знаю.

Для решения задачи Рашевского применяется вероятностная логика. Я даю общее
определение. Необходимые детали я конкретизирую в процессе обсуждения.

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЛОГИКА
разновидность многозначной логики, в которой высказываниям (суждениям) наряду с истиной и ложью приписываются промежуточные значения, представляющие собой различные степени вероятности истинности высказываний, степени правдоподобия или подтверждения. Истинным высказываниям приписывается истинностное значение (вероятность) 1; ложным высказываниям - значение 0; гипотетическим же высказываниям в качестве значения приписывается любое действительное число из интервала (0,1). Над истинностными значениями (вероятностями) гипотез определяются логические операции: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание. Получившаяся система допускает различные аксиоматизации.
В последнее время вероятностная логика находит применение при проектировании
вычислительных систем
http://www.ixbt.com/news/all/index.shtml?05/76/51

[Yuri Gendelman]

OZH писал(а):

Возьмём последовательность \{1/n\}_{n=1}^{\infty}, которая стремится к нулю. Вы прибавляете единичку (переходите к новому члену последовательности), но реально вы "проходите" очень малое расстояние.

Ну и что? Ведь сумма ряда $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ тем не менее бесконечна. Так что бесконечно малыми шагами можно пройти бесконечно большой путь. (Хотя и не всегда: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$).

[Котофеич]

Требование Рашевского типа того, что для больших n присчитывание единицы
их почти не меняет, формулируется следующим образом p(n+1=n)>1-δ(n), где
δ(n) это некоторая функция (показатель Рашевского), которая принимает значения из множества обычных действительных чисел и в некотором смысле стремться к нулю когда
n неограниченно возрастает с вероятностью единица. Точные определения я дам позже.

[PSP]

То расширение математики, о котором говорит Рашевский, фактически требует обобщения аксиомы выбора, и ,далее, аксиомы непрерывности Дедекинда..На этом пути можно придти к геометрии с фундаментальной длиной, как ни странно..Но матаппарат получается посложнее обычного...

[Котофеич]

Ну и как по Вашему должна выглядеть аксиома выбора

[PSP]

Котофеич писал(а):

:evil: Ну и как по Вашему должна выглядеть аксиома выбора

Стандартная аксиома выбора говорит, что во всяком множестве можно выбрать один элемент=> это фактически полное упорядочивание множества.
Обобщение:во всяком множестве можно выбрать как минимум, только ДВА элемента...=> это уже фактически НЕ полное упорядочивание множества.

[PSP]

Котофеич писал(а):

:evil: Требование Рашевского типа того, что для больших n присчитывание единицы
их почти не меняет, формулируется следующим образом p(n+1=n)>1-δ(n), где
δ(n) это некоторая функция (показатель Рашевского), которая принимает значения из множества обычных действительных чисел и в некотором смысле стремться к нулю когда
n неограниченно возрастает с вероятностью единица. Точные определения я дам позже.

Вообще говоря, идея Рашевского ,правда, в слабой форме, осуществлена в аппарате нестандартного анализа и в релятивисткой арифметике Равачёва..

[Котофеич]

Где это в нестандартном анализе,в какой либо форме, выполнено условие n+1=n
или не выполнен принцип индукции для натурального ряда