Оператор плотности тока тепла

[S.Grisha]

realeugene, рассмотрим гамильтониан электрона в магнитном поле, которое перпендикулярно образцу $\hat{H}=\frac{1}{2m}\left(\mathbf{p}+\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2, \mathbf{A}=(\hat{x}B,0), \mathbf{p}=(\hat{p}_x, \hat{p}_y).$ Один край удерживается горячим, другой холодным. Учтём, что на маленьком расстоянии от края образца, например на $[0, x_0]$ температуру можно считать постоянной, то есть локальное равновесие. После вычисления оператора тока, выражение для полного среднего тока на краю имеет вид (после совершения термодинамического предела получим интервал $(-\infty, x_0]$):

$$J_y=C \sum\limits_n \int\limits_{-\infty}^{x_0}f(E_n(x))\frac{dE_n(x)}{dx} \, dx=C \sum\limits_n \int\limits_{-\infty}^{x_0}d \ln \left( 1+\exp(\beta(\mu-E_n(x))) \right) $$

$$= C\sum\limits_n \ln \left( 1+\exp(\beta(\mu-E_n)) \right) \ne 0,$$

где $f(E_n(x))$ - равновесная функция распределения Ферми.

Так происходит из-за того, что энергия зависит от $x$ на краю образца, даже при $x<0$ формальное решение существует и $E(x) \to \infty$. В толще образца $\frac{dE_n(x)}{dx}=0$.

-- 05.05.2019, 21:47 --

warlock66613 в сообщении #1391226 писал(а):

Гамильтониан поменяется, а значит и оператор потока энергии.

Да, интересно, что именно поменяется в этом операторе. А какую модель с взаимодействием целесообразно использовать?

[realeugene]

S.Grisha в сообщении #1391227 писал(а):

После вычисления оператора тока,

Не вижу промежуточных вычислений, но верю, что так всё и есть: в магнитном поле электроны летают кругами, что должно приводить к макроскопическому току вдоль краёв, где они отражаются от барьера. Хорошо, пусть макроскопический ток по периметру есть. Но вещество в этом контуре однородное, то есть вся энергия, которая переносится этими электронами в одну сторону, уносится обратно в другую сторону.

[warlock66613]

S.Grisha в сообщении #1391227 писал(а):

А какую модель с взаимодействием целесообразно использовать?

Я даже не знаю какую задачу вы решаете. А если бы и знал, вряд ли бы смог помочь.

[S.Grisha]

warlock66613, рассматриваю образец в перпендикулярном магнитном поле, где один конец держат горячим, другой - холодным. Образец на эксперименте реализован как 2d электронный газ.

realeugene в сообщении #1391233 писал(а):

Но вещество в этом контуре однородное, то есть вся энергия, которая переносится этими электронами в одну сторону, уносится обратно в другую сторону.

То есть из этого следует, что поток тепла нулевой? Но ведь локально он же не может быть нулевым?

-- 05.05.2019, 22:51 --

S.Grisha в сообщении #1391227 писал(а):

$\hat{H}=\frac{1}{2m}\left(\mathbf{p}+\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2, \mathbf{A}=(\hat{x}B,0), \mathbf{p}=(\hat{p}_x, \hat{p}_y).$

Тут должно быть $\mathbf{A}=(0,\hat{x}B)$

[realeugene]

S.Grisha в сообщении #1391238 писал(а):

То есть из этого следует, что поток тепла нулевой?

Есть ещё теплопроводность. Но вообще считать как-то нужно аккуратно. Тепловой поток в металлическом диске от центра к краям в перпендикулярном магнитном поле возрастает, если прорезать радиальные прорези. Эффект упоминается в Lars Onsager, "Reciprocal Relations in Irreversible Processes", p 21: https://journals.aps.org/pr/pdf/10.1103/PhysRev.37.405