2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение11.04.2019, 12:01 


03/03/12
1269
Надо решить в целых числах уравнение:

$x^3-4x^2+2x+12-z^2=0$

Мои попытки решения:

1). Переменная $(x)$ при целом $(z)$ не может принимать не положительные значения.
2). Подбором нашлось одно решение: $(x;z)=(3;\pm3)$.

Вывод: других решений либо нет, либо их можно искать перебором.

Меня интересует только один вопрос: существует ли хотя бы ещё одно конкретное решение.
Если оно существует, то его можно найти перебором. Но я полу логически думаю, что оно не существует и перебор не поможет (тогда интересна граница перебора).
Пожалуйста, помогите разобраться с возникшим вопросом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение11.04.2019, 12:31 


21/11/12
1040
Санкт-Петербург
Достаточно теоремы Виета. $x_1=3.$ Значит $3+x_2+x_3=4$, а иксы у Вас целые положительные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение11.04.2019, 12:57 


03/03/12
1269
Andrey A, ещё возможен случай, когда один целый положительный и два комплексных (с отрицательной действительной частью; я этот вариант не рассматривала; использовала другие рассуждения; если другой корень не найдётся, то изложу, какие именно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение11.04.2019, 13:05 


21/11/12
1040
Санкт-Петербург
Два целых корня и один комплексный не могут в сумме дать $4$. Их либо один, либо три. Один уже есть. Но возможны три целых с одним отрицательным, об этом я не подумал. Пробуйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение11.04.2019, 13:33 


03/03/12
1269
Andrey A в сообщении #1387054 писал(а):
Два целых корня и один комплексный не могут в сумме дать $4$.


Не поняла, к чему это. (Уравнение третьей степени с действительными коэффициентами может иметь только чётное число комплексных корней (они сопряжённые)).

Andrey A в сообщении #1387054 писал(а):
Но возможны три целых с одним отрицательным


Для данного уравнения этот случай не подходит. Я об этом уже писала:
TR63 в сообщении #1387045 писал(а):
1). Переменная $(x)$ при целом $(z)$ не может принимать не положительные значения.

Обоснование.
При $z^2\le12$ проверяем, например, на Вольфраме. Если иначе, то сумма отрицательных не равна нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение11.04.2019, 13:53 


21/11/12
1040
Санкт-Петербург
Из $3+x_2+x_3=4$ получаем $x_2+x_3=1$, тогда $2=3(x_2+x_3)+x_2x_3$. Отсюда $x_2x_3=-1$, целых больше нет.
TR63 в сообщении #1387060 писал(а):
Для данного уравнения этот случай не подходит. Я об этом уже писала:

Это Вы писали про целые корни, а потом взялись почему-то за комплексные, которые конечно есть, но не нужны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение11.04.2019, 14:55 


03/03/12
1269
Andrey A в сообщении #1387061 писал(а):
целых больше нет.

Это будет так, если нет корней, кроме $x=3$, $z=\pm3$. Но именно это и надо доказать или опровергнуть. Пока Ваше обоснование отсутствия других корней не очень понятно, т.к., по-моему, Вы опираетесь на факт, который не доказан. Но, если Вы считаете, что полностью доказали отсутствие других корней, то я не возражаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение11.04.2019, 15:30 


21/11/12
1040
Санкт-Петербург
Вот и хорошо. Я опираюсь на теорему Виета (если что). Ясно ведь, что тем дело не закончится, поэтому еще раз попросту: трёх целых положительных иксов быть не может, поскольку уравнение $3+x_2+x_3=4$ неразрешимо в натуральных числах. Два целых и один нецелый исключены по той же причине или по другой — это как Вам угодно.
Остается единственный вариант $x=3.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение11.04.2019, 16:05 


03/03/12
1269
Andrey A в сообщении #1387073 писал(а):
трёх целых положительных иксов быть не может

Andrey A в сообщении #1387073 писал(а):
Два целых и один нецелый исключены


Эти случаи, как раз, понятны были и до Вашего объяснения.

TR63 в сообщении #1387051 писал(а):
ещё возможен случай, когда один целый положительный и два комплексных (с отрицательной действительной частью;

По теореме Виета получаем: $x_1-2\alpha=4$. Здесь не обязательно $x_1=3$, т.к. четвёрку можно получить различными способами. (Здесь $(-\alpha)$ действительная часть комплексного корня.)
Andrey A, почему Вы игнорируете этот случай?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение11.04.2019, 16:47 
Заслуженный участник


18/01/15
1966
Почитал тему. Что-то странное написано. С уравнением пытаются обращаться как с уравнением от одной переменной (иначе при чем теорема Виета ?), тогда как оно от двух.

Я в предмете не разбираюсь, но могу сказать вот что. На плоской кривой с рациональными коэффициентами есть лишь конечное число целых точек (теорема Зигеля), при условии, что она не является рациональной кривой в смысле алгебраической геометрии. См.Спринджук, Классические диофантовы уравнения от двух неизвестных, и Ленг, Диофантова геометрия. Но явные оценки там ужасны.

Еще стоит упомянуть метод Рунге, про который коллега nnosipov даже написал статью: Н.Н.Осипов, Метод Рунге для уравнений 4-й степени: элементарный подход, Мат. просвещение, 19 (2015), 178-198. Но к данному уравнению, увы, он не применим.

В общем, дерзайте. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение11.04.2019, 17:06 
Заслуженный участник


23/07/08
8162
Харьков
Раз надо решить в целых числах, не поможет ли записать уравнение в таком виде?:
$(x-3)(x^2-x-1)=(z-3)(z+3)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение11.04.2019, 17:14 


03/03/12
1269
vpb в сообщении #1387086 писал(а):
. С уравнением пытаются обращаться как с уравнением от одной переменной (иначе при чем теорема Виета ?

При любых целых $(z)$ сумма возможных корней неизменна и равна четырём. Для рассмотренных вариантов перебираем возможные комбинации. Остаётся один вариант $x=3$. И остаётся ещё один неучтённый, по-моему, вариант:
TR63 в сообщении #1387051 писал(а):
ещё возможен случай, когда один целый положительный и два комплексных (с отрицательной действительной частью


-- 11.04.2019, 18:21 --

svv
svv в сообщении #1387091 писал(а):
Раз надо решить в целых числах

TR63 в сообщении #1387045 писал(а):
Меня интересует только один вопрос: существует ли хотя бы ещё одно конкретное решение.

Это нужно для возможного обобщения этой задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение11.04.2019, 17:25 
Заслуженный участник


18/01/15
1966
TR63
Понял. Вижу, что Вы с с самого начала понимаете правильно, а собеседник ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение11.04.2019, 17:39 


21/11/12
1040
Санкт-Петербург
TR63 ну так оно и есть один целый положительный и два комплексных $x$, но ведь отрицательные решения отбрасываются, когда они Вас не устраивают (а это всегда), так отбросьте комплексные и давайте уже закругляться.
vpb в сообщении #1387086 писал(а):
С уравнением пытаются обращаться как с уравнением от одной переменной

Интересно. А почему мы не можем на секундочку представить что $z$ нам известен, это запрещено?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение11.04.2019, 17:54 


03/03/12
1269
Andrey A в сообщении #1387100 писал(а):
отрицательные решения отбрасываются, когда они Вас не устраивают

Не так. Не потому, что они меня не устраивают, а потому, что сумма отрицательных слагаемых в левой части уравнения не равна нулю при $z^2>12$. При $z^2\le12$ отрицательных решений нет.
На каком основании надо отбросить комплексные решения? Чему они противоречат?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group