Диофантово уравнение третьей степени

[Andrey A]

Они ничему не противоречат. Они существуют для любого $z$, но не являются целыми числами.

[TR63]

Andrey A в сообщении #1387108 писал(а):

но не являются целыми числами.

Уравнение решаем не в Гауссовых целых. Если одна двойка в знаменателе действительной части комплексного корня, то это не повод отбрасывать случай комплексных корней. Нужен более конкретный повод, чтобы отбросить случай комплексных корней.
Хотя для полу логических рассуждений информации уже, возможно, достаточно. Правда, у меня были совсем другие полу логические рассуждения.

[ampo]

Вы пытаетесь найти точки точки кручения эллиптической кривой, пмсм:

"...Все точки кручения найти сравнительно несложно. Например, в случае целых коэффициентов a и b все точки кручения (исключая бесконечно удалённую) сами имеют целые координаты, причём y-координата либо равна нулю, либо квадрат y делит..." дискриминант этой кривой.

См. на хабре текст "Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера", там несложно.
Если надо подробно - по ссылкам в Вики (статья: Эллиптическая кривая).

[Andrey A]

Я тут действительно не прав. Сумма сопряженных корней $x_2+x_3$ вовсе не обязана быть положительным числом, значит ничто не мешает быть $x_1>4$.
svv, спасибо за критику. Можно вопрос поставить так: при каких $x$ многочлен $x^3-4x^2+2x+12$ оказывается целым квадратом, но это пока мало что дает.

[TR63]

TR63 в сообщении #1387045 писал(а):

Меня интересует только один вопрос: существует ли хотя бы ещё одно конкретное решение.
Если оно существует, то его можно найти перебором. Но я полу логически думаю, что оно не существует и перебор не поможет (тогда интересна граница перебора).
Пожалуйста, помогите разобраться с возникшим вопросом

Andrey A, меня устроит даже только примерная граница перебора, где других решений точно не существует. Я думала, для Вас это семечки, потому и спрашиваю.

[Fedorov]

Целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена $z^2$, а, значит, и делителем 12.
Среди делителей 12 подходит лишь 3.

[Andrey A]

TR63 в сообщении #1387148 писал(а):

меня устроит даже только примерная граница перебора

Для $x<10^5$ целых квадратов нет кроме $x=3$, но это ничего не значит.

[TR63]

Andrey A, большое спасибо.

Andrey A в сообщении #1387155 писал(а):

но это ничего не значит.

Конечно. Просто, интересно.

[svv]

(Оффтоп)

Andrey A в сообщении #1387143 писал(а):

svv, спасибо за критику.

Простите, это Вы меня спутали с другим участником.

[Andrey A]

(Оффтоп)

А, ну да, простите. vpb, спасибо за критику. Лишнее спасибо еще никому не помешало )

[vpb]

(Оффтоп)

Andrey A
Пожалуйста. Рад помочь. Это типа как слепое пятно, когда под носом чего-то в упор не видишь. У всех бывает.

[g______d]

http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/20096/d/1

Вроде других целых точек нет (кривая по ссылке отличается сдвигом $x$ на единицу).

[TR63]

g______d, спасибо.

Итак, вероятность отсутствия других решений высокая. Тогда покажу, как эту задачу можно обобщить.

Гипотеза.

Рассмотрим уравнения третьей степени в целых числах

$x^3+a_1x^2+a_2x+c-z^2=0$,

при $a_1<0$, $a_2>0$, $c>0$,

про которые известно, что они не имеют не положительных целых корней $(x)$. Тогда, если при $z^2<c+a_2$ имеется хотя бы один положительный целый корень $(x)$, то при $z^2> c+a$ корней не будет.

Почти это предположение я вывела из абсолютно ложного во всей области определения утверждения (вывод очень простой).
Известно, что из ложного утверждения можно вывести, как ложное так и правдивое утверждение. Но я предполагаю, что утверждения, следующие из абсолютно ложных (т.е. не частично ложных) непрерывны. Т.е. они полностью либо ложны, либо правдивы во всей области определения. Что имеет место на самом деле, проверяется практикой в одной точке. Этого гипотетически достаточно, т.к. по гипотезе утверждения непрерывны. (Это не полная версия используемой гипотезы.)
При использовании этого метода осечек у меня ещё не было. Интересно, найдётся ли контрпример к новой гипотезе.

[kotenok gav]

TR63 в сообщении #1387272 писал(а):

Но я предполагаю, что утверждения, следующие из абсолютно ложных (т.е. не частично ложных) непрерывны. Т.е. они полностью либо ложны, либо правдивы во всей области определения.

Нет.

-- 13 апр 2019, 00:54 --

К примеру, из "если x - натуральное, то $x^2<0$" следует "если x - натуральное, то $x^2<7$.

[scwec]

TR63 в сообщении #1387272 писал(а):

Интересно, найдётся ли контрпример к новой гипотезе.

За контрпримерами далеко ходить не надо.
Это, например, уравнение $x^3-4x^2+2x+5-z^2=0$, у которого все целые корни $(x,z)=(1,\pm{2}), (2,\pm{1}), (10,\pm{25})$
При $z^2<7$ положительнные корни $x=1,2$, при $z^2>7$ положительный корень $x=10$
Ещё одно уравнение $x^3-4x^2+2x+17-z^2=0$ и все его целые корни $(x,z)=(1,\pm{4}), (4,\pm{5}), (8,\pm{17})$.
При $z^2<19$ положительный корень $x=1$, при $z^2>19$ положительные корни $x=4,8$.
Или вот это $x^3-4x^2+2x+50-z^2=0$ и все его целые корни $(1,\pm{7}), (25,\pm{115})$.
При $z^2<52$ положительный корень $x=1$, при $z^2>52$ положительный корень $x=25$.
И т.д.