2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение12.04.2019, 19:56 


03/03/12
1380
kotenok gav, у Вас утверждение: $x^2<0$. Оно должно быть абсолютно ложным во всей области определения. Ищите его область определения. Она должна быть полной (непрерывной, без разрывов). А, у Вас точка $x=0$ выкидывается, т.к. $0=0$. Получается разрыв. Там ещё разные моменты надо учитывать. Но речь пока не об этом. Надо разобраться с контрпримерами.

scwec, спасибо за контрпримеры. Думаю, что моя ошибка именно в том, что лишь почти
TR63 в сообщении #1387272 писал(а):
Почти это предположение я вывела

У меня получалась только необходимость, но не достаточность. Значит одной необходимости недостаточно.

scwec, есть ли контрпример, когда в области $z^2<a_2+c$ только один корень и он равен $x=z$, при отсутствии отрицательных корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение12.04.2019, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург

(Оффтоп)

TR63 в сообщении #1387333 писал(а):
Значит одной необходимости недостаточно.

Именно. Но одной недостаточности вполне необходимо. TR63, Вы на пути к открытию какой-то новой полу логики. Она завораживает. До сих пор не могу прийти в себя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение12.04.2019, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
TR63 в сообщении #1387333 писал(а):
у Вас утверждение: $x^2<0$. Оно должно быть абсолютно ложным во всей области определения. Ищите его область определения. Она должна быть полной (непрерывной, без разрывов). А, у Вас точка $x=0$ выкидывается, т.к. $0=0$.
Чаво???

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение13.04.2019, 11:45 
Аватара пользователя


23/07/07
164
При $z=0,\pm1,\pm2$ - одно действительное решение, из которых целочисленных решений нет$$x=\frac{4}{3}-2\sqrt{\frac{10}{9}}\ch\left(\frac{1}{3}\operatorname{arch}\left(\frac{\frac{268}{27}-z^2}{2\sqrt{\left(\frac{10}{9}\right)^3}}\right)\right)$$
При $z=\pm3$ - три действительных решения ($k=0,1,2$), из которых целочисленное $x=3$ только одно при $k=1$$$x=\frac{4}{3}+2\sqrt{\frac{10}{9}}\sin\left(\frac{1}{3}
\left(2\pi k+\arcsin\left(\frac{5}{12}\sqrt{\frac{9}{10}}\right)\right)\right)$$
При $\left|z\right|\geq4$ - одно действительное решение, где вопрос о наличии целочисленного решения можно решить перебором$$x=\frac{4}{3}+2\sqrt{\frac{10}{9}}\ch\left(\frac{1}{3}\operatorname{arch}\left(\frac{z^2-\frac{268}{27}}{2\sqrt{\left(\frac{10}{9}\right)^3}}\right)\right)$$
Лень было перебирать варианты, но при $z<10^3$ целочисленных решений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение13.04.2019, 14:19 


03/03/12
1380
Someone в сообщении #1387355 писал(а):
Чаво???

Someone, согласна, что написала бред. Но $x^2<7$ следует из утверждения $x^2<0<7$. А, это утверждение частично ложное.
Гипотетические доказательства из ложных утверждений я использую только при поверхностном рассмотрении задачи (особо на них не полагаясь). В верности результата я больше уверена, когда использую метод разделения на не пересекающиеся классы с дальнейшей экстраполяцией. Кстати, в исходной задаче достаточно информации для такой технологии. Но там есть моменты, которые ранее не встречались.
Далее обсуждать, используемые мной методы, не собираюсь и другим использовать их не советую.
Singular, я, возможно не очень точно поняла Ваш ответ.
Singular в сообщении #1387436 писал(а):
при $z<10^3$ целочисленных решений нет

Верно ли, что это ответ на вопрос
TR63 в сообщении #1387333 писал(а):
есть ли контрпример, когда в области $z^2<a_2+c$ только один корень и он равен $x=z$, при отсутствии отрицательных корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение13.04.2019, 14:35 
Аватара пользователя


23/07/07
164
TR63 в сообщении #1387463 писал(а):
Singular, я, возможно не очень точно поняла Ваш ответ.
Singular в сообщении #1387436 писал(а):
при $z<10^3$ целочисленных решений нет
Да, прошу прощения, написал некорректо. Я имел в виду при $4\leq z<10^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение13.04.2019, 14:37 


03/03/12
1380
Singular, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение13.04.2019, 16:29 
Аватара пользователя


23/07/07
164
Предположим, что $x=x_0$ - известное целочисленное решение уравнения
$$x^3-4x^2+2x+12-z^2=0.$$ Пусть $x=x_0+n$ - какое-нибудь другое решение того же уравнения при условии, что $n$ - целое число. Тогда
$$\left(x_0+n\right)^3-4\left(x_0+n\right)^2+2\left(x_0+n\right)+12-z^2=0;$$$$n^3+\left(3x_0-4\right)n^2+\left(3x_0^2-8x_0+2\right)n=0.$$Случай $n=0$ нас не интересует, в итоге$$n^2+\left(3x_0-4\right)n^2+\left(3x_0^2-8x_0+2\right)=0;$$$$n=\frac{1}{2}\left(4-3x_0\right)\pm\frac{1}{2}\sqrt{-3x_0^2+8x_0+8}$$Число $n$ - действительное, следовательно подкоренное выражение должно быть положительным, т.е.$$\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{10}\leq x_0\leq\frac{4}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{10}.$$Этому интервалу соответствует только одно единственное целочисленное решение $\left(x_0,z\right)=\left(3,\pm3\right)$, следовательно $n=-\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$, что противоречит тому, что $n$ - целое число. Вывод: существует только единственное решение в целых числах $\left(x,z\right)=\left(3,\pm3\right)$ исходного уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение13.04.2019, 16:47 


03/03/12
1380
Singular, большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение13.04.2019, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Singular в сообщении #1387489 писал(а):
Пусть $x=x_0+n$ - какое-нибудь другое решение того же уравнения...

В другом решении будет другое $z$, а они у Вас благополучно уничтожились при почленном вычитании. Так бы всё было складно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение13.04.2019, 17:40 
Аватара пользователя


23/07/07
164
Хмм... ваша правда. Согласен :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение13.04.2019, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Доказательство уже имеем по ссылке g______d. Если хочется элементарными методами, добавлю что $z$ – число вида $3k$, $x$ – число вида $9n+3$, что следует из соображений сравнимости. По необходимости можно обосновать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение14.04.2019, 02:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Andrey A в сообщении #1387519 писал(а):
Доказательство уже имеем по ссылке g______d.


Ну, доказательство по ссылке -- это сильно сказано. Скорее, это ссылка на справочник по эллиптическим кривым, который ссылается на системы компьютерной алгебры (например, Sage). В частности, там есть команда "найти целые точки". Наверное, она не всегда быстро работает. Но можно туда подставлять другие уравнения и смотреть, не знаю, насколько содержательно, но уж точно более содержательно, чем занятия ТС, игнорирующие сотни лет прогресса в изучении эллиптических кривых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение14.04.2019, 08:49 


03/03/12
1380
g______d в сообщении #1387612 писал(а):
занятия ТС, игнорирующие сотни лет прогресса в изучении эллиптических кривых.


Лично, я не игнорирую сотни лет прогресса. Я исследую не произвольное уравнение или неравенство, а уравнения, неравенства, обладающие некоторыми свойствами. Возможно, Вы и правы, что это не содержательное занятие, но мне интересно. Спасибо, что помогли. Жаль, что у меня нет доступа к Вашей ссылке. Тогда б не пришлось никого беспокоить. Пока что контрпримеров к моим задачам (в "Олимпиадном разделе") не было. Контрпримеры, которые привёл scwec, получились из-за моей логической ошибки при выборе нужных свойств. Поэтому, как их выбрать в общем виде, не знаю. Теперь, вот, нужен настоящий контрпример для исходной задачи, если он таки существует. Этот вопрос возник всвязи с частичным решением (т.е. не во всех областях) решением Andrey A. (Там не всё гладко; но может ли это повлиять на результат; может она (деталь) не существенна.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение третьей степени
Сообщение14.04.2019, 10:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
g______d в сообщении #1387612 писал(а):
... доказательство по ссылке -- это сильно сказано.

Вроде того как Вольфрам выкладывает иногда некоторое решение in integers, не вдаваясь в подробности? Типа дают – бери, бьют – беги. Интересно. Тогда кое-что еще.

Воспользуемся формой, предложенной svv: $(x-3)(x^2-x-1)=(z-3)(z+3)$ и подставим $z=3k,\ x=9n+3$. Получаем $n(81n^2+45n+5)=k^2-1.$
Выражение в скобках можно переписать так: $(9n+2)(9n+3)-1=\dfrac{(18n+5)^2-5}{4}$. Числа вида $p^2-5q^2$ в нечетных степенях канонического разложения имеют пятерку и простые вида $10t \pm 1$. Или такой странноватый Пелль: $k^2-(9n+5)(3n)^2=5n+1$. Требуется доказать, что единственное решение $n=0,k=1.$ Вряд ли оно поможет, в сущности новая задача в эллиптических кривых.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group