2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 15:06 
Аватара пользователя


12/10/16
205
Almaty, Kazakhstan
Для наглядности покажу на примерах. Возьмём любую последовательность $a(n)=x^n$ ; и будем вычитать $(x+1)^n-x^n$ , и далее $((x+1)^n-x^n)-(x^n-(x-1)^n)$ пока не получим нули:
для $x^2$ : 1, ,4, ,9, ,16, ,25....
3, ,5, ,7, ,9.....
2, ,2, ,2....
0, ,0...

для $x^3$ : 1, ,8, ,27, ,64, ,125....
7, ,19, ,37, ,61....
12, ,18, ,24.....
6, ,6....
0,...
Всегда ли для всех $n$ мы получим в конце ноль, а предпоследним будет $n!$ ?
Кажется тривиальным, но не знаю с чем это связать (как объяснить).
Ежели произвести обратное вычисление для $x^3$ :
1, ,8, ,27, ,64, ,125...
0, ,1, ,9, ,36, ,100, ,225....
то получим разницу чисел вида $\left(\sum_{k=1}^{\infty}k\right)^n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 16:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21649
Уфа
Можно и в лоб. Покажите по индукции, что $n$-я разность даст константный ноль. Дальше остаётся разобраться с историей значения $(n-1)$-й разности.

Посмотрите для интереса, что разностный оператор делает с факториальными степенями $$x^{\underline{n}} \equiv \prod_{i=1}^n (x-i+1).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 16:08 
Аватара пользователя


26/09/16
76
Снегири
Заодно можно попробовать вспомнить про производную степенной функции. Ну мало ли, вдруг натолкнёт на нужные мысли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 16:10 
Заслуженный участник


16/02/13
2944
Владивосток
Ну, начните с малого. Возьмём многочлен $P_n(x)$ и построим последовательность первых разностей $P_n(x+1)-P_n(x)$. Что вы можете сказать про эту функцию?

(Оффтоп)

Soul Friend в сообщении #1272224 писал(а):
, ,
Вам, видимо, платят деньги за каждую запятую? Может, попробовать по четыре ставить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 16:48 
Аватара пользователя


01/12/17
86
Мельбурн
arseniiv в сообщении #1272248 писал(а):
Покажите по индукции, что $n$-я разность даст константный ноль.


Вряд ли получится по индукции, т.к разность $(n+1)$-х степеней трудно связать с разностью $n$-х:
$$
(x+1)^{n+1}-x^{n+1} = ((x+1)^n-x^n)x + (x+1)^n 
$$
где $(x+1)^n$ оказывается не у дела.

Пробовал использовать бином:
$$
(x+1)^{n}-x^{n} = \sum_{k=1}^{n}{\binom{n}{k}x^{n-k}}
$$
В второй строке получается уже двойное суммирование, в третьей — тройное, однако «чистый» факториал никак не заметен. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21649
Уфа
pcyanide в сообщении #1272267 писал(а):
Вряд ли получится по индукции, т.к разность $(n+1)$-х степеней трудно связать с разностью $n$
iifat выше написал про произвольные многочлены, вот на них индукция должна быть. Я не дописал более-менее очевидное, каюсь. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 17:05 
Аватара пользователя


01/12/17
86
Мельбурн
По-моему идея с производными полиномами заслуживает рассмотрения, во-первых потому что дифференцируя многократно $x^n$ получим факториал, а во-вторых $(x+1)^n-x^n$ можно рассматривать как $\frac{\Delta P(x)}{\Delta x}$ на единичном интервале. Жаль у меня нет сейчас времени.

-- 06.12.2017, 00:14 --

Может, поможет теорема о среднем: $(x+1)^n-x^n=ny^{n-1}$, где $x\le y \le x+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 17:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21649
Уфа
Да тут всё тупо делается, какая теорема о среднем?! Не путайте себя и ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение05.12.2017, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5631
Москва
Поздравляю! Вы открыли исчисление конечных разностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение06.12.2017, 03:35 
Аватара пользователя


01/12/17
86
Мельбурн
arseniiv в сообщении #1272279 писал(а):
Да тут всё тупо делается, какая теорема о среднем?! Не путайте себя и ТС.


Если все тупо, то где решение? Или я что-то пропустил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разность чисел в степени в последовательностях до нуля
Сообщение06.12.2017, 06:12 
Модератор


20/03/14
7823
 i  pcyanide
Я все хочу напомнить Вам ознакомиться с Правилами форума. Чтобы Вы и сами не размещали в ПРР готовые решения, и других к этому не призывали.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group