Кривая Пеано существует или нет?

[wrest]

О кривой Пеано знаю из Википедии.

Имеется последовательность кривых, для которых есть алгоритм построения очередного члена последовательности.
Утверждается, что "в пределе" кривая пройдет через каждую точку квадрата.

Я не очень понимаю почему такой предел отождествляют с кривой.

Поясню свой вопрос. Например есть числовая последовательность $a_n=1/n$ и есстественно $\lim \limits_{n \to \infty}a_n=0$
Но при этом любое $a_i \ne 0$, и последовательность не содержит свою точную нижнюю грань, не достигает предела. Предел равен нулю, но никакой член этой последовательности не равен нулю, члена последовательности, равного нулю, не существует.

В случае с кривой Пеано (которая в Википедии определяется как предел последовательности кривых) получается, что никакая конкретная $i-$я кривая из последовательности не проходит через все точки квадрата, т.е. такой кривой не существует.

Почему тогда говорят так, как будто кривая, проходящая через все точки квадрата, существует?

[Mikhail_K]

wrest в сообщении #1369554 писал(а):

Утверждается, что "в пределе" кривая пройдет через каждую точку квадрата.

Ну, это нестрогое утверждение, на популярном уровне.

Более строгое построение кривой Пеано изложено на той же странице Википедии, в разделе "Примеры".
Заметьте, что последовательность кривых там вообще не строится, она существует только для наглядности.
(А строится последовательность отображений разбиения отрезка на разбиение квадрата, и дальше слово "предел" не просто декларируется, а объясняется, что оно означает конкретно в данном случае.)

Ну или см. один из учебников, на которые ссылается Википедия.

[Xaositect]

Ну не учите же новых вещей по википедии, там внизу ссылки есть.
Статья Пеано, хоть и на французском, читается очень хорошо и там никакого предела нет.

А предел, упомянутый в статье, надо понимать так: кривые заданы непрерывными функциями $[0,1] \to [0,1]^2$. Для описанной последовательности кривых функции будут кусочно-постоянными, причем следующие от предыдущих отличается, как легко видеть, не более чем на $1/3^n$. Отсюда по критерию Коши последовательность будет равномерно сходящейся, следовательно, существуют непрерывные предельные функции, они задают некоторую непрерывную кривую.

[Mikhail_K]

Например, важно понимать, почему бессмысленно говорить о "пределе" последовательности кривых вот такого вида:

А в случае с кривой Пеано в определённом смысле можно.
Для этого и есть строгое построение.

[wrest]

Mikhail_K в сообщении #1369559 писал(а):

Более строгое построение кривой Пеано изложено на той же странице Википедии, в разделе "Примеры".

Раздел "Примеры" заканчивается так:

Цитата:

Кривые, задающие порядок обхода квадратов, являются последовательными приближениями к кривой Пеано. Кривая Пеано является пределом этих кривых.

В англ. в разделе "Construction" тоже самое:

Цитата:

The Peano curve itself is the limit of the curves through the sequences of square centers, as $i$ goes to infinity.

[Mikhail_K]

wrest в сообщении #1369567 писал(а):

Раздел "Примеры" заканчивается так:

Ну вот нужно смотреть не последнее предложение раздела "Примеры" (или точнее - не только и не столько его), а содержание этого раздела.

[wrest]

Mikhail_K в сообщении #1369559 писал(а):

Ну или см. один из учебников, на которые ссылается Википедия.

Посмотрел
Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М., 1977.
Там по ключевым словам "кривая Пеано" есть только одно место:
Страницы 197-199. Приводится пример построения отображения отрезка на треугольник. В скобках говорится, что это кривая Пеано. Далее доказывается что можно построить такое отображение, и что оно будет непрерывным.
Суть как я понял в том, что каждая точка исходного отрезка окажется в каком-то маленьком отрезке, на которые мы разбиваем исходный, а последовательность соответствующих уменьшающихся треугольников сойдется в пределе к какой-то точке внутри (включая границы и вершины) исходного треугольника. Из непрерывности отображения вроде бы следует (это мои домыслы, в учебнике этого нет, там словосочетание "кривая Пеано" упоминается вскользь) что соединяя последовательно образы точек отрезка в порядке в котором на отрезке следуют их прообразы, мы получим кривую заполняющую треугольник. То есть, для каждой точки отрезка имеем две последовательности: содержащих эту точку уменьшающихся отрезков, и последовательность уменьшающихся треугольников. Уменьшающиеся отрезки в пределе превращаются в точку. Уменьшающиеся треугольники в пределе тоже превращаются в точку. Но мы же не можем пересчитать все точки отрезка, так что опять получается последовательность кривых которая "в пределе сходится к кривой Пеано".

[Mikhail_K]

wrest в сообщении #1369578 писал(а):

Но мы же не можем пересчитать все точки отрезка

Это что-то невнятное.
Задать кривую - это значит, каждой точке отрезка поставить в соответствие точно определённую точку квадрата (так чтобы соответствие было непрерывным).
Можно представлять себе так, что пока точка будет проходить отрезок слева направо, соответствующая ей точка на квадрате опишет кривую Пеано.

Каким же образом каждой точке отрезка сопоставляется точка квадрата (причём так, чтобы все точки квадрата были задействованы)? Делается это так. Для каждой точки отрезка определена последовательность сужающихся к этой точке отрезочков. Каждому отрезочку сопоставлен свой квадратик, и получающаяся последовательность квадратиков тоже оказывается сужающейся к какой-то конкретной точке. Вот эта точка квадрата и принимается за образ исходной точки отрезка.

Конечно, это только набросок доказательства. Нужно ещё:
1) показать, что действительно сужающаяся последовательность квадратиков содержит общую точку;
2) для некоторых точек отрезка последовательность сужающихся отрезочков определена неоднозначно - нужно показать, что в таких случаях образ точки на квадрате всё равно определён однозначно;
3) показать, что соответствие действительно непрерывно и что кривая проходит через все точки квадрата.
Но это детали, основная идея изложена выше.

"Пересчитывать точки отрезка" здесь не нужно.

[wrest]

Mikhail_K в сообщении #1369579 писал(а):

Конечно, это только набросок доказательства. Нужно ещё:
1) показать, что действительно сужающаяся последовательность квадратиков содержит общую точку;
2) для некоторых точек отрезка последовательность сужающихся отрезочков определена неоднозначно - нужно показать, что в таких случаях образ точки на квадрате всё равно определён однозначно;
3) показать, что соответствие действительно непрерывно

Это как раз ясно из примера с треугольником из книжки Александрова, в том числе пункты 2) и 3), с квадратом насколько я понимаю будет все то же самое, изменения в пункте 2) - в случае треугольника неоднозначная точка попадает в два, а в случае квадрата в три (или четыре?) соседних.

[B@R5uk]

Кривая Пеано не проходит через все точки квадрата. По самому методу построения она проходит через рациональные точки (если начальные координаты были рациональны, но это мелочи) и, разумеется, не проходит через иррациональные. Но она сплошь заполняет квадрат, то есть проходит сколь угодно близко к любой из точек квадрата. Это как замыкание множества рациональных чисел, дающее множество действительных чисел, только здесь замыкание множества точек с координатами вида

$$\left( \frac{N}{{{2}^{K}}},\frac{M}{{{2}^{K}}} \right)$$

где числа N, M, и K являются целыми, даёт квадрат.

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1369747 писал(а):

Кривая Пеано не проходит через все точки квадрата

Это неправда.

[Mikhail_K]

B@R5uk в сообщении #1369747 писал(а):

Кривая Пеано не проходит через все точки квадрата. По самому методу построения она проходит через рациональные точки (если начальные координаты были рациональны, но это мелочи) и, разумеется, не проходит через иррациональные.

Вы ошибаетесь. Через все.

[B@R5uk]

Либо мы вкладываем разные понятия в слово "проходить", либо объясните мне, как кривая пройдёт через точку

$$\left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$

при заполнении единичного квадрата. По крайней мере одна координата кривой всегда является рациональным числом по построению.

[Geen]

B@R5uk в сообщении #1369755 писал(а):

объясните мне, как кривая пройдёт через точку

Несколько раз. Но каждый раз непрерывно.

B@R5uk в сообщении #1369755 писал(а):

По крайней мере одна координата кривой всегда является рациональным числом по построению.

Иррациональные числа, сами по себе, лишь предел последовательности исключительно рациональных чисел.

[B@R5uk]

Geen в сообщении #1369761 писал(а):

Несколько раз. Но каждый раз непрерывно.

О! Это ещё интереснее! А можно теперь это математически выразить?

Geen в сообщении #1369761 писал(а):

Иррациональные числа, сами по себе, лишь предел последовательности исключительно рациональных чисел.

Вот именно! Только предельные точки множества далеко не всегда содержатся в самом множестве.