Кривая Пеано существует или нет?

[Dmitriy40]

wrest
Насчёт изначального вопроса, как кривая Пеано может не содержаться в последовательности приближений к ней, я со средней школы помню способ задания иррационального числа $\sqrt3$ как предела (это принципиально важное слово!) при $n\to+\infty$ рациональных последовательностей

$$\frac{\left\lfloor10^n\sqrt3\right\rfloor}{10^n} \le \sqrt3 \le \frac{\left\lceil10^n\sqrt3\right\rceil}{10^n}$$

при этом сам $\sqrt3$ очевидно ни в левой ни в правой последовательности не содержится (ни при каком конечном $n$ равенство не наступает).
С кривой Пеано аналогично, только последовательность (приближённых кривых) одна, но отличия приближения от самой кривой в пределе равны нулю, что формулой и записал mihaild.

[wrest]

Dmitriy40
То, что предел последовательности может быть равен какому-то числу, и то что число можно определить как предел какой-то последовательности, у меня ни возражений ни непонимания не вызывает.
То что число $e$ можно определить как предел последовательности -- все в порядке, можно. Не вижу никаких противоречий или нестыковок. Даже слово "определить" содержит корень "предел"

[mihaild]

На stackexchange есть явная формула. Пусть $q_j$ - $j$-й разряд нашего числа по основанию $4$. Пусть $e_{kj}$ - число цифр $k$ до $j$-го разряда, а $d_j = e_{0j} + e_{3j} \mod 2$.
Тогда образ $q$ относительно кривой Гильберта это $\sum\limits_{j=1}^\infty \frac{(-1)^{e_{0j}}}{2^j} \operatorname{sign}(q_j) C_{1-d_jq_j}^{(1-d_j)q_j - 1}$.
(за что купил - за то продаю; формулу, надеюсь, переписал правильно, но не думал над ней)

[wrest]

mihaild
Круто, спасибо за ссылку!

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1369814 писал(а):

То, что предел последовательности может быть равен какому-то числу, и то что число можно определить как предел какой-то последовательности, у меня ни возражений ни непонимания не вызывает.

Тогда непонятно почему существование иррациональных чисел вопросов не вызывает, а существование кривой Пеано, заданной примерно теми же средствами и методами - вопросы вызывает. Или я упустил и все уже согласились что она существует и даже заполняет весь квадрат? Не отвечайте.

[wrest]

Кривая Пеано везде непрерывная и нигде не гладкая, верно?

[mihaild]

wrest в сообщении #1369840 писал(а):

Кривая Пеано везде непрерывная

Да, по определению.

wrest в сообщении #1369840 писал(а):

и нигде не гладкая

Зависит от конкретной конструкции. В принципе ничего не мешает сделать кривую, которая первую половину отрезка отображает в $0$, а второй замащивает квадрат - тогда получим гладкую на половине отрезка кривую.

[B@R5uk]

Рассмотрим последовательность множеств $M_k$, задаваемых следующими формулами:

$$M_0=\{1\}$$

$${{M}_{k+1}}=\left\{ \left. \frac{a}{2},\frac{a+1}{2} \right|\forall a\in {{M}_{k}} \right\}$$

Вопрос, что мы получим в качестве предельного множества?

$$\widehat{M}=\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{M}_{k}}$$

Будет ли это сплошной отрезок $[0,1]$ или же множество чисел вида $n/2^k$, принадлежащих этому отрезку?

[wrest]

B@R5uk в сообщении #1369849 писал(а):

Вопрос, что мы получим в качестве предельного множества?

Наверное, зависит от того, насколько велика та бесконечность, к которой стремится $k$

[Someone]

B@R5uk в сообщении #1369849 писал(а):

$$\widehat{M}=\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{M}_{k}}$$

Э-э-э… Что бы это могло означать?

P.S. Предел пишется \lim\limits_{k\to\infty}: $\lim\limits_{k\to\infty}$. В выключной формуле команда \limits не обязательна:

$$\lim_{k\to\infty}.$$

[B@R5uk]

Ну и до кучи ещё такая последовательность множеств:

$$N_0=\{1\}$$

$${N_{k+1}}=\left\{ \left. \frac{a}{3},\frac{a+1}{3},\frac{a+2}{3} \right|\forall a\in {N_k} \right\}$$

$$\widehat{N}=\lim_{k\to\infty}N_k$$

Думаю, очевидно, что $\widehat{M}\ne\widehat{N}$ и что отрезок $\left[0,1\right]$ является замыканием обоих множеств, но при этом ни одно из трёх друг с другом не совпадает.

Это к вопросу о том, то предельные точки предельного множества и само предельное множество — вещи разные.

То, что кривая Пеано $P$ плотно заполняет квадрат $S$ означает лишь, что $\forall$ точки $A\in S$ и $\forall\varepsilon>0$ существует такая точка $B\in P$ что расстояние $|AB|<\varepsilon$. Но это далеко не означает, что $\forall$ точки $A\in S$ существует такая точка $B\in P$ что расстояние $|AB|=0$, как мне тут пытаются упорно доказать на этих двух страницах.

[Lia]

wrest
Замечание за бессодержательное сообщение post1369851.html#p1369851

B@R5uk
Вас спросили, что Вы подразумеваете под пределом последовательности указанных множеств. Пожалуйста, ответьте.

[B@R5uk]

Lia
Меня спросили, если я не ошибаюсь, что за ерунду пишет мой редактор формул в Тех-коде формулы. Отвечаю: без понятия, формула выглядит как надо, поэтому я даже не задумываюсь в тонкостях и в рациональности кода этой формулы.

[mihaild]

B@R5uk, вас спросили, что значит $\lim\limits_{k\to \infty} M_k = M$. Напишите определение - без этого мы дальше никуда не уедем.

[B@R5uk]

Я не могу дать вам этого определения. Я не знаю, как ещё правильно записывать "предел последовательности множеств", поэтому записал так.