2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Задача из вступительных экзаменов МФТИ
Сообщение21.12.2018, 22:21 
Аватара пользователя


15/11/15
1254
Москва
Решаю задачи по физике из сборника Чешева. Должен сказать, уровень задач этого сборника очень высок - в техническом плане эти задачи сложнее чем задачи Всеросса. Я взялся за одну из данных задач - получилось так, что ответ почти совпал, идея решения также в целом совпала, но я, похоже, совершил либо математическую ошибку, либо, что еще хуже, идейную. Прошу формучан проверить уровень строгости моего решения и, быть может, дать некоторые советы.
Изображение
Изображение
Задача: По бесконечно длинному проводнику течет переменный ток (на рисунке он течет снизу вверх). В плоскости провода расположены три проволочных контура, изготовленные из одного куска провода. Контуры 1 и 2 - квадраты, а третий контур состоит из двух прямоугольников со сторонами $a,b$ и $a,c$. В некоторый момент времени через контуры 1 и 2 текут соответственно токи $I_1,I_2$. Найти ток $I_3$ в контуре 3 в данный момент времени.

Для начала я решаю вспомогательную задачу: Пусть прямоугольный контур площадью $S$ находится на расстоянии $x$ от провода, ширина прямоугольника равна $L$ (дабы строго не определять эти величины отмечу, что для контуров 1 и 2 расстояния до них от провода соответственно равны $L$ и $L+a$, а их ширина равна $a$). Тогда поток $\Phi$ через контур равен
$$\[\Phi  = \ln \left( {1 + \frac{L}{x}} \right)\frac{{{\mu _0}IS}}{{2\pi }}\]$$

Для доказательства этого утверждения рассмотрим тонкую полоску площадью $ds$ - горизонтальный разрез контура. Магнитное поле в точках полоски меняется от значения $\[B(x) = \frac{{{\mu _0}I}}{{2\pi x}}\]$, $\[B(x + L) = \frac{{{\mu _0}I}}{{2\pi \left( {x + L} \right)}}\]$. Для элемента контура поток $d\Phi $ равен
$$\[d\Phi  = \frac{{{\mu _0}I}}{{2\pi x}}dxds\]$$
Насколько я представляю, математики далее пишут (в моем извращенном некомпетентном понимании) так:
$$\[\Phi  = \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_S 
 {\frac{{{\mu _0}I}}{{2\pi x}}dxds}  = \ln \left( {x + L} \right)\frac{{{\mu _0}IS}}{{2\pi }} - \ln \left( x \right)\frac{{{\mu _0}IS}}{{2\pi }} = \ln \left( {1 + \frac{L}{x}} \right)\frac{{{\mu _0}IS}}{{2\pi }}\]$$

Применим эту формулу для нахождения потоков $\[{\Phi _1},{\Phi _2},{\Phi _{31}},{\Phi _{32}}\]$:
$$\[\begin{array}{l}
{\Phi _1} = \ln \left( {1 + \frac{a}{L}} \right)\frac{{{\mu _0}I{a^2}}}{{2\pi }},{\Phi _2} = \ln \left( {1 + \frac{a}{{L + a}}} \right)\frac{{{\mu _0}I{a^2}}}{{2\pi }},{\Phi _{31}} = \ln \left( {1 + \frac{a}{L}} \right)\frac{{{\mu _0}Iab}}{{2\pi }},\\
{\Phi _{32}} = \ln \left( {1 + \frac{a}{{L + a}}} \right)\frac{{{\mu _0}Iac}}{{2\pi }}
\end{array}\]$$
$$\[{\Phi _3} = {\Phi _{31}} + {\Phi _{32}} = \frac{{{\mu _0}I}}{{2\pi }}\left( {ac\ln \left( {1 + \frac{a}{{L + a}}} \right) + ab\ln \left( {1 + \frac{a}{L}} \right)} \right)\]$$
По закону электромагнитной индукции:
$$\[\begin{array}{l}
\left| {{{\cal E}_1}} \right| = \frac{{d{\Phi _1}}}{{dt}} \sim \ln \left( {1 + \frac{a}{L}} \right)\frac{{{\mu _0}{a^2}}}{{2\pi }},\left| {{{\cal E}_2}} \right| = \frac{{d{\Phi _2}}}{{dt}} \sim \ln \left( {1 + \frac{a}{{L + a}}} \right)\frac{{{\mu _0}{a^2}}}{{2\pi }}\\
\left| {{{\cal E}_3}} \right| = \frac{{d{\Phi _3}}}{{dt}} \sim \frac{{{\mu _0}}}{{2\pi }}\left( {ac\ln \left( {1 + \frac{a}{{L + a}}} \right) + ab\ln \left( {1 + \frac{a}{L}} \right)} \right)
\end{array}\]$$
При этом, очевидно, для сопротивлений контуров можно выписать: $$\[{R_1} = {R_2} \sim 4a,{R_3} \sim 4a + 2b + 2c\]$$
Заметим, что их предыдущих равенств следует, что
$$\[\frac{{{I_2}}}{{{I_1}}} = \frac{{\left| {{{\cal E}_2}} \right|}}{{\left| {{{\cal E}_1}} \right|}} = \frac{{\ln \left( {1 + \frac{a}{{L + a}}} \right)}}{{\ln \left( {1 + \frac{a}{L}} \right)}}\]$$
Аналогично запишем:
$$\[\frac{{\left| {{{\cal E}_3}} \right|}}{{\left| {{{\cal E}_2}} \right|}} = \frac{{ac\ln \left( {1 + \frac{a}{{L + a}}} \right) + ab\ln \left( {1 + \frac{a}{L}} \right)}}{{{a^2}\ln \left( {1 + \frac{a}{{L + a}}} \right)}} = \frac{c}{a} + \frac{b}{a} \cdot \frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = \frac{1}{a}\left( {c + b\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}} \right)\]$$
С другой стороны
$$\[\frac{{\left| {{{\cal E}_3}} \right|}}{{\left| {{{\cal E}_2}} \right|}} = \frac{{{I_3}{R_3}}}{{{I_2}{R_2}}} = \frac{{2a + b + C}}{{2a}}\frac{{{I_3}}}{{{I_2}}}\]$$
откуда
$$\[\frac{{2a + b + C}}{{2a}}\frac{{{I_3}}}{{{I_2}}} = \frac{1}{a}\left( {c + b\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}} \right) \Leftrightarrow {I_3} = \frac{{2\left( {b{I_1} + c{I_2}} \right)}}{{2a + b + C}}\]$$
В ответе к задаче почему то написано $\[\frac{{2\left( {b{I_1} - c{I_2}} \right)}}{{2a + b + C}}\]$, как будто потоки $\Phi _{31}$ , $\Phi _{32}$ друг из друга вычитаются. В чем подвох?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вступительных экзаменов МФТИ
Сообщение21.12.2018, 22:40 


27/08/16
5230
Rusit8800 в сообщении #1363013 писал(а):
как будто потоки $\Phi _{31}$ , $\Phi _{32}$ друг из друга вычитаются.
У них противоположные направления обхода контура. Ваши вычисления не проверял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вступительных экзаменов МФТИ
Сообщение21.12.2018, 22:41 


20/04/10
527
Русь
Вы, сами того не понимая, сделали маленький шедевр! Это он:

(Оффтоп)

$$\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}$$ :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вступительных экзаменов МФТИ
Сообщение21.12.2018, 23:45 
Аватара пользователя


15/12/18
558
Москва Зябликово
Rusit8800
Вы же знаете, как определять поток магнитного поля через замкнутую поверхность. В данном случае плоскую. Там вроде бы фигурирует вектор нормали к этой поверхности, который непосредственно связан с направлением обхода контура, ограничивающего поверхность. Задумайтесь над этим.
И ещё совет.
Уберите все эти совершенно немыслимые для вступительных экзаменов даже в физтех вычисления!
Подумайте, как связаны токи в квадратных контурах с потоками магнитного поля от прямого тока через квадраты и как это можно сразу использовать для решения.
Как определяется индуктивность контура? Это и есть ключ.
Решение получится в несколько очень простых строчек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вступительных экзаменов МФТИ
Сообщение22.12.2018, 11:55 
Аватара пользователя


15/11/15
1254
Москва
realeugene в сообщении #1363016 писал(а):
У них противоположные направления обхода контура.

Об этом я не знал и не задувался. Надо полистать учебники.
lel0lel в сообщении #1363017 писал(а):
Вы, сами того не понимая, сделали маленький шедевр!

А что здесь шедеврального?
Igrickiy(senior) в сообщении #1363024 писал(а):
Вы же знаете, как определять поток магнитного поля через замкнутую поверхность. В данном случае плоскую. Там вроде бы фигурирует вектор нормали к этой поверхности, который непосредственно связан с направлением обхода контура, ограничивающего поверхность. Задумайтесь над этим.

Igrickiy(senior) в сообщении #1363024 писал(а):
Уберите все эти совершенно немыслимые для вступительных экзаменов даже в физтех вычисления!
Подумайте, как связаны токи в квадратных контурах с потоками магнитного поля от прямого тока через квадраты и как это можно сразу использовать для решения.


Я не понимаю, каким образом здесь можно просто вычислить поток магнитного поля, если поле убывает как $x^{-1}$ и без интегрирования здесь не обойтись. Тем более, я так понимаю, организаторы данной олимпиады не очень сильно стараются упростить олимпиадные задачи до школьного уровня и фактически берут задачи из Иродова.

Igrickiy(senior) в сообщении #1363024 писал(а):
Как определяется индуктивность контура? Это и есть ключ.

О формуле $\[\Phi  = LI\]$ я, конечно слыхал и сразу же о ней вспомнил. Но, насколько я понял, она в нашем случае бесполезна и вот почему. Индуктивность, как и емкость конденсатора, в отличие от сопротивления проводника сильно зависит от внешних условий, так, если поместить конденсатор в металлическую коробку, то его емкость изменится. Насчет же индуктивности - здесь хорошим примером является задача 5 из олимпиады Росатома за 11 класс 2017-2018, комплект 1 - там индуктивность квадратного витка меняется от добавления другого витка. Формула $\[\Phi  = LI\]$, таким образом, нам покажет исключительно индуктивность системы - найдя $\[{\Phi _3}\]$ и $I_3$, мы уже сможем найти и $L_3$, но не наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вступительных экзаменов МФТИ
Сообщение22.12.2018, 12:23 


27/08/16
5230
Rusit8800 в сообщении #1363070 писал(а):
Об этом я не знал и не задувался. Надо полистать учебники.
Достаточно задуматься о том, есть ли знак у ЭДС, и почему?

-- 22.12.2018, 12:33 --

Rusit8800 в сообщении #1363070 писал(а):
Я не понимаю, каким образом здесь можно просто вычислить поток магнитного поля, если поле убывает как $x^{-1}$ и без интегрирования здесь не обойтись.
Выразите магнитный поток через каждый прямоугольник через магнитный поток через находящийся на таком же расстоянии от провода квадрат. Вы за формулами не видите физики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вступительных экзаменов МФТИ
Сообщение22.12.2018, 13:11 
Аватара пользователя


15/11/15
1254
Москва
realeugene в сообщении #1363074 писал(а):
Достаточно задуматься о том, есть ли знак у ЭДС, и почему?

То, что в прямоугольниках действуют противоборствующие ЭДС - в принципе понятно интуитивно, я же имею ввиду математическую оставляющую закона Фарадея- как так оказалось, что производные потоков имеют разный знак?

-- 22.12.2018, 13:15 --

realeugene в сообщении #1363074 писал(а):
Выразите магнитный поток через каждый прямоугольник через магнитный поток через находящийся на таком же расстоянии от провода квадрат. Вы за формулами не видите физики.

Из моих же формул следует, что отношение потоков через соответствующие прямоугольники к потоку через соответствующие квадраты равны $\[\frac{b}{a}\]$,$\[\frac{c}{a}\]$. Опять же, из-за симметричности поля также можно сделать такой вывод, но я не считаю его достаточно строгим.

-- 22.12.2018, 13:18 --

Мысль я вашу понял, но мне неочевидна математическая составляющая - каким образом возникает ошибка?

-- 22.12.2018, 13:34 --

Решение из простых соображений также не наводит на мысль, откуда берется знак минус
$$\[\begin{array}{l}
\frac{{{\Phi _{31}}}}{{{\Phi _1}}} = \frac{b}{a},\frac{{{\Phi _{32}}}}{{{\Phi _1}}} = \frac{c}{a} \Rightarrow {\Phi _3} = {\Phi _{31}} + {\Phi _{32}} = \frac{{b{\Phi _1} + c{\Phi _2}}}{a} \Rightarrow \frac{{{\Phi _3}}}{{{\Phi _2}}} = \frac{{b\frac{{{\Phi _1}}}{{{\Phi _2}}} - c}}{a} \Leftrightarrow \\
\frac{{{{\cal E}_3}}}{{{{\cal E}_2}}} = \frac{{b\frac{{{{\cal E}_1}}}{{{{\cal E}_2}}} - c}}{a} \Leftrightarrow \frac{{{I_3}\left( {4ar + 2br + 2cr} \right)}}{{{I_2}\left( {4ar} \right)}} = \frac{{b\frac{{{I_1}\left( {4ar} \right)}}{{{I_2}\left( {4ar} \right)}} - c}}{a} \Leftrightarrow \\
{I_3} = \frac{{2(b{I_1} - c{I_2})}}{{2a + b + c}}
\end{array}\]$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вступительных экзаменов МФТИ
Сообщение22.12.2018, 13:57 
Аватара пользователя


15/12/18
558
Москва Зябликово
Rusit8800
Я бы порекомендовал перестать играть формулами, а немного проникнуть в физику.
Чуть-чуть...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вступительных экзаменов МФТИ
Сообщение22.12.2018, 14:50 


27/08/16
5230
Rusit8800 в сообщении #1363081 писал(а):
но я не считаю его достаточно строгим.
Так вы, сначала, докажите строго, что если эти прямоугольники-квадраты отличаются только длиной, то магнитные потоки через них отличаются как отношения их длин. Запишите интегралы, но, не беря их, упростите всё. В физике очень важно видеть симметрии задач и связанные с ними особенности в уравнениях, позволяющие сходу упрощать решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вступительных экзаменов МФТИ
Сообщение22.12.2018, 15:21 
Аватара пользователя


27/02/12
2735
Rusit8800
Вот, например, во втором законе Ньютона $m\vec{a}=\sum \vec{F_i}$ вы как определяете знаки проекций$F_i$? Из математики или из физики? Рискну предположить, что больше из физики.

В данном случае. Возьмите круговой контур и проведите в двух местах векторы нормали. Потом сверните контур в "восьмерку",
чтобы нормали оказались в разных её лепестках. Они (нормали) станут противоположно направленными.
Соответственно и ЭДС тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вступительных экзаменов МФТИ
Сообщение22.12.2018, 15:25 
Аватара пользователя


15/11/15
1254
Москва
Igrickiy(senior) в сообщении #1363085 писал(а):
Я бы порекомендовал перестать играть формулами, а немного проникнуть в физику.
Чуть-чуть...

Я боюсь, что это будет противоречить моим мировоззрениям. Дело в том, что в душе я именно математик, а не физик, для меня физическое явление - это система математических уравнений, я не могу делать нетривиальные утверждения в физике, полностью не опираясь на математику - иначе я буду считать обоснование недостаточно строгим. Меня такое слово, как "в силу симметрии", которое очень часто используется физиками, не устраивает, я не считаю его достаточным для обоснования физического явления. Только если все будет расписано математически, когда вся симметрия будет использована в математически сформулированных законах физики и уравнения, быть может, примут простой вид, тогда тогда я смогу убедиться, что симметрия действительно приведет нас к простому и понятному решению, иначе у нас нет доказательства.
У меня и подход как у математика - я стремлюсь из простой задачи сделать сложную - используя изощренный математический аппарат я обобщаю задачу насколько это возможно, и затем, решив в конце концов общую задачу, в качестве простейший импликации получаю частное решение. Зельдович критиковал этот подход и в своей "Высшей математике" писал "Решать точно сложное уравнение столь же неразумно, как с затратой большого труда аккуратно упаковывать вместе несколько предметов, а затем разорвать упаковку, поскольку все равно этими предметами приходится пользоваться по отдельности". Я категорически не согласен с этой точкой зрения и привожу контраргумент "Решение сложного уравнения - это как создание упорядоченной библиотеки, где каждая книга стоит на своем месте. Если библиотеки нет, то книги образуют хлам, и сориентироваться в такой куче будет невозможно".

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вступительных экзаменов МФТИ
Сообщение22.12.2018, 15:34 
Аватара пользователя


27/02/12
2735
Rusit8800 в сообщении #1363105 писал(а):
я не могу делать нетривиальные утверждения в физике, полностью не опираясь на математику

Вспомнилось из лекции в мою бытность студентом.
Этот интеграл по поверхности, исходя из физических соображений, с очевидностью равен нулю. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вступительных экзаменов МФТИ
Сообщение22.12.2018, 15:36 
Аватара пользователя


31/08/17
1403
Rusit8800 в сообщении #1363105 писал(а):
У меня и подход как у математика - я стремлюсь из простой задачи сделать сложную

:appl:
Rusit8800 в сообщении #1363105 писал(а):
используя изощренный математический аппарат я

:facepalm:
Rusit8800 в сообщении #1363105 писал(а):
Я категорически не согласен с этой точкой зрения и привожу контраргумент


:lol1:

Какая прелесть! Это у нас какой курс\класс средней школы?

-- 22.12.2018, 16:38 --

Rusit8800 в сообщении #1363105 писал(а):
я не могу делать нетривиальные утверждения в физике, полностью не опираясь на математику

а опираясь на математику, можете делать нетривиальные утверждения в физике? Забавно было бы посмотреть хоть на одно такое утверждение

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вступительных экзаменов МФТИ
Сообщение22.12.2018, 15:38 
Аватара пользователя


15/11/15
1254
Москва
miflin в сообщении #1363103 писал(а):
Вот, например, во втором законе Ньютона $m\vec{a}=\sum \vec{F_i}$ вы как определяете знаки проекций$F_i$? Из математики или из физики? Рискну предположить, что больше из физики.

Но почему же? Я записываю проекции со знаком плюс, задавая им положительное направление, а затем математически получаю алгебраические значения этих проекций, где знак свидетельствует от реальном направлении проекции.
miflin в сообщении #1363103 писал(а):
В данном случае. Возьмите круговой контур и проведите в двух местах векторы нормали. Потом сверните контур в "восьмерку",
чтобы нормали оказались в разных её лепестках. Они (нормали) станут противоположно направленными.

Мысль понял, тогда разные знаки есть следствие тождества
$$\[\cos (\alpha ) \equiv  - \cos (\alpha  + \pi k)\]$$
С другой стороны есть весьма глупый вопрос: "почему нельзя представить сдвоенные прямоугольники как 2 разных контура, для которых можно всегда выбрать сонаправленные векторы нормали $2!/2=2$ способами?".
Интересен также случай с лепестком - ведь неочевидно как определить положительное направление нормального вектора в деформированной области, если до этого было уже задано направление нормали к поверхности. Ведь деформировать поверхность можно по разному и если мы получим очень сложную фигуру, то можно будет и запутаться - ведь можно и не уследить за деформацией и будет неясно, куда направлена нормаль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из вступительных экзаменов МФТИ
Сообщение22.12.2018, 15:41 
Аватара пользователя


31/08/17
1403
Rusit8800 в сообщении #1363113 писал(а):
л, тогда разные знаки есть следствие тождества
$$\[\cos (\alpha ) \equiv  - \cos (\alpha  + \pi k)\]$$

а если $k=0$ :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group