Шнур на цилиндре

[pogulyat_vyshel]

amon
Объясните всетаки в каком смысле у вас угол зависит от времени

[StaticZero]

amon в сообщении #1358313 писал(а):

У меня получилось, что для силы натяжения до набегания $F_1$ будет (зуб не дам!)
$F_1=F_2-\mu\frac{\partial F_2}{\partial \theta}+\mu\tau\omega^2R-\dot{\omega}\tau R^2$
$F_2$ через $F_1$ сразу не получается, производная мешается. Разрыв это или не разрыв - вопрос философский, но гран. условие другое.

Я так рассуждаю. Выделим маленький кусочек шнура, который полностью лежит на цилиндре, но один из его концов пристыкован к части шнура, на цилиндре не лежащей. Пусть эта часть тянет его с силой $F$, а противоположная --- с силой $F + \Delta F$. Уравнение движения:

$$ \Delta F - \mu \Delta N = a \Delta m, \quad \Delta N = F \Delta \theta - \omega^2 R \ \Delta m $$

я диагностирую "ни единого разрыва" по признаку отсутствия не-дельта-членов в уравнении

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1358317 писал(а):

Объясните всетаки в каком смысле у вас угол зависит от времени

В символическом. В задаче ТС ускорение постоянно, поэтому $\dot{\omega}$ это заданная константа. Я согласен, что это плохое обозначение, но я его оставил, что бы совпасть с обозначениями StaticZero. В этом же смысле $\omega R$ это скорость веревки в точке $\theta,$ где $\theta$ - лагранжева координата веревки (угол, как-то отсчитанный от центра цилиндра). Да, за это убивать надо, но что поделаешь ...

StaticZero в сообщении #1358328 писал(а):

я диагностирую "ни единого разрыва" по признаку отсутствия не-дельта-членов в уравнении

Пусть никакого трения нет и веревка движется с постоянной скоростью. Тогда до набегания веревки на цилиндр натяжение - ноль, а после - не ноль (надо закрутиться по окружности).

-- 03.12.2018, 00:47 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1358317 писал(а):

Объясните всетаки в каком смысле у вас угол зависит от времени

Видимо, могу выкрутиться. $\theta(t)$ это эйлерова координата точки на веревке, находящейся в точке набегания на цилиндр ;)

[StaticZero]

amon в сообщении #1358335 писал(а):

йлерова координата

Лагранжева?

[amon]

StaticZero в сообщении #1358341 писал(а):

Лагранжева?

Эйлерова. Лагранжевы от времени не зависят, на чем нас и поймал pogulyat_vyshel.

[StaticZero]

amon в сообщении #1358335 писал(а):

Пусть никакого трения нет и веревка движется с постоянной скоростью. Тогда до набегания веревки на цилиндр натяжение - ноль, а после - не ноль (надо закрутиться по окружности).

Трудно понять. Чтобы верёвка двигалась с постоянной скоростью и "обтирала" цилиндр, нужно, чтобы была сила, её прижимающая к этому цилиндру. В отсутствие трения мы можем за оба конца с одной силой тянуть, это единственная возможность. Но тогда натяжение-таки будет...

amon в сообщении #1358342 писал(а):

Эйлерова. Лагранжевы от времени не зависят, на чем нас и поймал pogulyat_vyshel.

Я вот такую книжку вижу http://know.sernam.ru/book_tvr.php?id=11, с. 50. (Там обозначения - ужос). Я не могу разглядеть, лагранжева переменная в уравнении (2) --- это $\mathbf x$ или $\mathbf X$?

[pogulyat_vyshel]

-

[amon]

StaticZero в сообщении #1358343 писал(а):

чтобы была сила, её прижимающая к этому цилиндру.

Да, это я глупость ляпнул. Так не бывает. Надо что бы и поверхность была кривая, и трение присутствовало. А вообще, пора нам кончать изобретать велосипед, и открыть книжку вышеупомянутого Меркина со товарищи, и посмотреть, нет ли там этой задачки.

-- 03.12.2018, 01:28 --

StaticZero в сообщении #1358343 писал(а):

Я не могу разглядеть, лагранжева переменная в уравнении (2) --- это $\mathbf x$ или $\mathbf X$?

Уравнение (2) это эйлеровы переменные $x$ как функция лагранжевых переменных $X$ и времени. На языке рабочих и крестьян лагранжевы переменные - это раз и навсегда заданная координатная сетка, в которой мы следим за скоростью в данной точке, а эйлеровы - когда мы покрасили точку и следим, как ее координаты зависят от времени (сейчас придет pogulyat_vyshel и точно убъет).

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1358283 писал(а):

В этом месте сила терпит разрыв (появляется центростремительная сила и сила трения), поэтому мне кажется, что и натяжение нити тоже окажется разрывным.

типично, кстати, для задач с нитью, что непонятно откуда брать краевые условия. Я еще несколько задач знаю с нитью, где идут публикации, копья ломают, а воз и ныне там -- все из-за того, что краевые условия ни откуда не выводятся. Не думаю, что Меркин по этому поводу может сообщить что-то содержательное.

[wrest]

pogulyat_vyshel в сообщении #1358393 писал(а):

Я еще несколько задач знаю с нитью, где идут публикации, копья ломают, а воз и ныне там -- все из-за того, что краевые условия ни откуда не выводятся.

А экспериментальная проверка не может помочь ломающим копья?

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1358393 писал(а):

Не думаю, что Меркин по этому поводу может сообщить что-то содержательное.

Таки не сообщил, хотя, казалось бы, задачка с которой должен начинаться раздел про динамику нити. Видимо, что-то в ней действительно не так. Вспомнил, кто занимался нитями - А. П. Минаков. У него есть работа "Натяжение цепи, перекинутой через неподвижный круглый шероховатый цилиндр." - Бюллетень НИТИ, 1934, № 1, стр. 24-29. Есть ли в ней какая динамика - бог весть, найти ее, естественно, невозможно. Так что: "Мы, идиоты, думали, что нам эта комиссия поможет! Ни хрена она нам не помогла"!

[wrest]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1358632 писал(а):

Бюллетень НИТИ

Оказывается у нити был целый бюллетень. Серъёзная вещь!

[amon]

Я не знаю, интересует ли эта задачка еще кого-либо, кроме меня, но как-то забрало. Швейку, как известно, комиссия не помогла, но он сам справился. Сразу извиняюсь за много букв. Попробуем и мы, подключив полевую артиллерию (Меркина). Посмотрим для начала на более простую задачку - шнур бежит по цилиндру с постоянной скоростью. Тогда ученый учит нас, что эта задача сводится к статической, если натяжение заменить на эффективное натяжение $T^*=T-\rho v^2$ (натяжение у нас теперь $T,$ что бы легче с Меркина списывать, $v$ - скорость нити, $\rho$ - линейная плотность. Уравнение будет (звездочку при $T$ лень писать, когда надо мы о ней вспомним)
$\frac{d}{ds}(T\vec{\tau})+\vec{P}=0$
$s$ - "натуральный параметр" (длина дуги вдоль траектории нити). В цилиндрических координатах

Вложение:

string.gif [ 36.74 Кб | Просмотров: 0 ]

\begin{align*} \frac{d}{ds}&T\frac{dr}{ds}-Tr\left(\frac{d\varphi}{ds}\right)^2+P_r=0\qquad (1)\\ \frac{d}{ds}&Tr^2\frac{d\theta}{ds}+rP_\theta=0\qquad (2)\\ r&=\frac{R}{\cos(\theta)},\quad\theta<0\\ r&=R,\quad 0\le\theta\le\theta_0\\ r&=\frac{R}{\cos(\theta-\theta_0)},\quad \theta>0\\ \end{align*}
Соответственно, $\frac{d}{ds}=\frac{d\theta}{ds}\frac{d}{d\theta}.$ При этом
\begin{align*} s&=R\tg(\theta),\quad\theta<0\\ s&=\theta R,\quad 0\le\theta\le\theta_0\\ s&=\theta_0 R+R\tg(\theta-\theta_0),\quad \theta>0\\ \end{align*}
Теперь все готово, что бы решить задачку.

1. Трения нет, $P_\theta=0.$ При $\theta<0$ из (2)
$Tr^2\frac{d\theta}{ds}=\operatorname{const}\Rightarrow T=\operatorname{const}, $ тогда первое уравнение выполнится тождественно (сведется к уравнению прямой). В области $0\le\theta\le\theta_0$ Из второго уравнения, по-прежнему, $T=\operatorname{const},$ а (1) даст $T=N$ - силе реакции опоры. Третий интервал аналогичен первому.

То есть, получился вполне разумный ответ - натяжение постоянно, и равно натяжению на концах. Никаких доп. условий на цилиндре, о которых я бредил, не нужно - все и так решается. Теперь пора вспомнить, что $T$ у нас не $T,$ а $T^*=T-\rho v^2.$ Тогда условие $N>0$ дает предельную скорость, при которой это решение остается разумным при заданной $T.$ На предельной скорости нить вообще можно изгибать как угодно и она сохранит свою форму (эффект Эткина — Радингера), а при больших это другая задача.

Про трение и постоянное ускорение, если это хоть кому интересно, в другой раз.

[amon]

pogulyat_vyshel, помните тему про цепочку, вылетающую из банки и висящую красивой дугой? По-моему, я понял что происходит. Цепочка обегает край банки пока ее скорость меньше критической, потом она улетает вверх пока скорость не сравняется с критической (согласен, это место темновато), после чего совершает то самое движение по Эткину — Радингеру. Форма при этом может быть самая разнообразная, зависящая от предыстории.

[pogulyat_vyshel]

Почему цепочка зависает над краем банки понимают все, и это самый простой вопрос. А вот откуда брать краевые условия ни кто объяснить не может.