2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Ориентация трёхмерного проективного пространства
Сообщение11.11.2018, 23:00 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Аксиоматика Бахмана такова: есть некоторая группа, её элементы будем называть "точками". Возьмём множество инволютивных элементов группы
$J=\{\varphi \mid \varphi \neq id \wedge \varphi\circ\varphi = id\}$
(это плоскость - поверхность шара).
Назовём "плоскостями" множества элементов группы вида $J\circ\psi$ (правые сдвиги плоскости $J$, с тем же успехом можно брать и $\psi\circ J$, получится то же самое). Аксиоматика Бахмана утверждает, что для так определённых плоскостей выполнены аксиомы трёхмерного проективного пространства (используется вариант аксиом, не требующий понятия "прямая", прямые потом определяются как пересечения пар плоскостей). Бахман не рассматривает отношение "между" и не говорит об ориентации. Я по чисто техническим причинам пытаюсь улучшить его аксиоматику.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ориентация трёхмерного проективного пространства
Сообщение12.11.2018, 01:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
george66 в сообщении #1353401 писал(а):
Подробно в книге Берже "Геометрия" (искать на слова "параллелизм Клиффорда"). Также расслоение Хопфа (заполнение трёхмерной сферы семейством непересекающихся окружностей)

А, это просто не параллели. Уф, вы меня напугали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ориентация трёхмерного проективного пространства
Сообщение12.11.2018, 01:50 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Munin в сообщении #1353432 писал(а):
george66 в сообщении #1353401 писал(а):
Подробно в книге Берже "Геометрия" (искать на слова "параллелизм Клиффорда"). Также расслоение Хопфа (заполнение трёхмерной сферы семейством непересекающихся окружностей)

А, это просто не параллели. Уф, вы меня напугали.

Это параллели в том смысле, что по ним можно ехать как по рельсам (расстояние не меняется).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ориентация трёхмерного проективного пространства
Сообщение12.11.2018, 13:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Это называется "эквидистантность".

Я не понимаю, что вам нужно? Определение? Вычислительный рецепт? Что-то другое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ориентация трёхмерного проективного пространства
Сообщение12.11.2018, 19:47 
Заслуженный участник


31/12/15
884
А вот если взять три прямых, попарно не пересекающихся, можно ли сказать, заплетены они "левой" или "правой" косичкой? Кто в топологии силён? Если двигать плоскость и смотреть, как три точки пересечения ходят вокруг друг друга?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ориентация трёхмерного проективного пространства
Сообщение12.11.2018, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
george66 в сообщении #1353594 писал(а):
А вот если взять три прямых, попарно не пересекающихся, можно ли сказать, заплетены они "левой" или "правой" косичкой?
Да, для $\mathbb R^3$ можно взять простой пример прямых $\mathbf i+\langle\mathbf j\rangle, \mathbf j+\langle\mathbf k\rangle, \mathbf k+\langle\mathbf i\rangle$ — видно, что никаким специальным ортогональным преобразованием оно не переводится в своё зеркальное отражение. Но про ваше пространство я ничего утверждать не буду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ориентация трёхмерного проективного пространства
Сообщение12.11.2018, 20:21 
Заслуженный участник


31/12/15
884
В проективном пространстве прямые замкнуты! Это получается "коса" или что-то такое. С точностью до непрерывной деформации сколько есть расположений трёх прямых в проективном пространстве? (Двух прямых, я думаю, не хватит?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ориентация трёхмерного проективного пространства
Сообщение12.11.2018, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5914
Я подозреваю, что для задания ориентации в ${\mathbb R\mathbb P}_3$ нужен упорядоченный набор из 5 точек в общем положении. Потому что в аффинном пространстве нужно четыре, и размерность проективной группы как раз на 3 больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ориентация трёхмерного проективного пространства
Сообщение12.11.2018, 23:36 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Содержательные соображения, что три прямых (попарно не пересекающихся) задают ориентацию. Возьмём одну прямую вертикальной (ось $0y$), а вторую горизонтальной бесконечно удалённой (в плоскости $x0z$). Третья прямая их не пересекает, поэтому она не вертикальная (иначе была бы общая бесконечно удалённая точка с осью $0y$) и не параллельна плоскости $x0z$. Она "наклонная". Повернём картину вокруг оси $0y$ так, чтобы наклонная прямая торчала перед осью $0y$. Тогда она наклонена верхним концом либо вправо, либо влево и это задаёт ориентацию. Кто-нибудь может это формализовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ориентация трёхмерного проективного пространства
Сообщение12.11.2018, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
А чего там формализовывать, по идее определение ориентации в духе линейной алгебры должно быть где-то явно выписано для (ориентируемых) проективных пространств, вот и сравнить с ним.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ориентация трёхмерного проективного пространства
Сообщение12.11.2018, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
george66 в сообщении #1353594 писал(а):
А вот если взять три прямых, попарно не пересекающихся, можно ли сказать, заплетены они "левой" или "правой" косичкой?

Предлагаю так: вписать между ними сферу, касающуюся всех трёх прямых. В точках касания прямые зададут какие-то вектора. Их можно сравнивать по сфере, например, продолжить большими кругами, и посмотреть, в "как закрученный треугольник" они пересекутся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ориентация трёхмерного проективного пространства
Сообщение13.11.2018, 19:20 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Берём плоскость, проходящую через ось $0y$, вращаем эту плоскость вокруг оси. За поворот на 180 градусов мы пробегаем горизонтальную прямую по всей длине, а наклонная прямая делает виток вокруг горизонтальной правым или левым винтом. Кажется, всё правильно, три прямых в общем положении задают ориентацию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ориентация трёхмерного проективного пространства
Сообщение13.11.2018, 21:54 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Итого: берём три прямые в общем положении (попарно не пересекающихся, в проективном пространстве это значит, что никакие две и не лежат в одной плоскости). Вращаем произвольную плоскость вокруг одной из прямых - при движении по кругу две другие прямые заплетены между собой правым или левым винтом, это задаёт ориентацию. По-моему, так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ориентация трёхмерного проективного пространства
Сообщение13.11.2018, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5914
А точно нельзя проективным преобразованием, сохраняющим ориентацию, поменять местами две прямые и оставить третью на месте?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ориентация трёхмерного проективного пространства
Сообщение13.11.2018, 22:12 
Заслуженный участник


31/12/15
884
g______d в сообщении #1353808 писал(а):
А точно нельзя проективным преобразованием, сохраняющим ориентацию, поменять местами две прямые и оставить третью на месте?

Даже если можно, винт от этого не изменится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group