Ориентация трёхмерного проективного пространства

[george66]

В обычном (евклидовом) трёхмерном пространстве задавать ориентацию легко. Точка делит прямую на две части - чтобы ориентировать прямую, выбираем одну из частей. Прямая делит плоскость на две части - выбираем одну из частей и получаем ориентированную плоскость, если прямая уже ориентирована раньше. Плоскость делит пространство на две части.
А как задавать ориентацию трёхмерного проективного пространства? Есть ли какой-нибудь изящный способ? Мне это надо зачем: группа поворотов евклидова пространства вокруг начала координат устроена как трёхмерное проективное пространство. Каждому повороту сопоставляем вектор, направленный вдоль оси поворота, а длина его равна углу поворота. Такие векторы заполняют шар радиуса $\pi$. Точки сферы соответствуют поворотам на $\pi$. Диаметрально противоположные точки сферы надо отождествить, потому что повороты на $\pi$ и $-\pi$ вокруг одной и той же оси дают одинаковый результат. Шар с отождествлёнными противоположными точками сферы устроен как трёхмерное проективное пространство. И при том он является группой относительно композиции поворотов. Много подробностей есть в книге Бахман "Построение геометрии на основе понятия симметрии". Так вот, операция композиции зависит от ориентации пространства (откладываем мы поворот вдоль оси левым или правым винтом). Хочу ввести какую-нибудь операцию, не зависящую от ориентации, через которую выражается композиция, если ориентация задана.

[Munin]

george66 в сообщении #1353223 писал(а):

В обычном (евклидовом) трёхмерном пространстве задавать ориентацию легко. Точка делит прямую на две части - чтобы ориентировать прямую, выбираем одну из частей. Прямая делит плоскость на две части - выбираем одну из частей и получаем ориентированную плоскость, если прямая уже ориентирована раньше. Плоскость делит пространство на две части.

Зачем такой дикий способ? Берём касательное пространство к точке, и выбираем на нём упорядоченный базис. (Это называется репер в дифференциальной геометрии, если не путаю.)

Если хочется орудовать топором, то можно взять $\varepsilon$-шар вокруг точки, и проделать с ним все перечисленные вами операции.

george66 в сообщении #1353223 писал(а):

Так вот, операция композиции зависит от ориентации пространства (откладываем мы поворот вдоль оси левым или правым винтом).

Да быть того не может. Операция композиции двух поворотов зависит исключительно от их порядка. Проверьте! Остальное -  или просто ошибка расчёта, или  кажущаяся зависимость, на самом деле зависящая от вашей проекции поворотов в шар.

(Шар я этот хорошо знаю, живу в нём давно. Радует, что кто-то ещё так себе его представляет. А то чаще слышу про границу на бесконечности - это же неудобно!)

[george66]

Это элементарная геометрия (эллиптическая геометрия Римана, "анти-Лобачевский"). Мне нужно "элементарное" определение, без дифференциальной геометрии. В проективном пространстве отношение "лежать между" требует четырёх точек и становится сложным для работы.
По поводу зависимости от ориентации не совсем ясно выразился. Можно задавать поворот вектором, направленным вдоль оси правым винтом, а можно левым. При этих двух способах одни и те же точки шара задают разные повороты (противоположные) и композиции их соответствуют разные точки.

[iifat]

Что-то я не понял проблемы. Ну вот определите векторное произведение хоть как-нибудь — вот вам и ориентация трёхмерного пространства.
Вот вы взяли правую ориентацию, а некий злоумышленник, пожелавший остаться анонимным, коварно поставил в поле зрения зеркало. И там 66egroeg оперирует уже в левой. А вы теперь доказывайте, который из вас реальный.

[iifat]

Заглянул в Википедию (да, русскую). Согласно ей, проективное пространство — множество классов эквивалентности векторов евклидова пространства с выколотым нулевым по отношению эквивалентности пропорциональность. К нему вообще применимо понятие ориентации? Ведь $\vec x$ и $-\vec x$ относятся к одному классу. Или вы каким-то другим определением пользуетесь?

[Munin]

george66 в сообщении #1353227 писал(а):

Мне нужно "элементарное" определение, без дифференциальной геометрии.

Чем не нравится с шаром?

george66 в сообщении #1353227 писал(а):

В проективном пространстве отношение "лежать между" требует четырёх точек и становится сложным для работы.

А, это вы запутались в "школьной проективной геометрии". Ни этот факт, ни даже это отношение для работы не нужно. Вы просто вводите координаты на 3-сфере, и работаете с ними. Можно ввести однородные координаты. Зачем залезать в аксиоматику?

george66 в сообщении #1353227 писал(а):

По поводу зависимости от ориентации не совсем ясно выразился. Можно задавать поворот вектором, направленным вдоль оси правым винтом, а можно левым. При этих двух способах одни и те же точки шара задают разные повороты (противоположные) и композиции их соответствуют разные точки.

Да, я понял. Но кажется, для этого надо задать ориентацию в исходном евклидовом пространстве, а не в пространстве группы $\mathrm{SO}(3).$ А в исходном достаточно задать ориентированный базис.

iifat в сообщении #1353245 писал(а):

Заглянул в Википедию (да, русскую). Согласно ей, проективное пространство — множество классов эквивалентности векторов евклидова пространства с выколотым нулевым по отношению эквивалентности пропорциональность. К нему вообще применимо понятие ориентации?

Там чередуются размерности.

$\mathbb{RP}^1$ - проективная прямая - ориентируема;
$\mathbb{RP}^2$ - проективная плоскость - неориентируема;
$\mathbb{RP}^3$ - проективное 3-пространство - ориентируемо;
$\mathbb{RP}^{2k}$ при чётной размерности неориентируемо;
$\mathbb{RP}^{2k+1}$ при нечётной размерности ориентируемо.

Над другими полями не знаю, кажется, понятие ориентируемости неприменимо.

[george66]

Например, чтобы ориентировать обычное евклидово пространство, достаточно взять ориентированную плоскость и выбрать одно из двух полупространств (на которые она делит пространство). В проективном пространстве так не сделать (проективная плоскость не ориентируема и не делит проективное пространство на две части).

[Munin]

Да, вы это уже рассказывали. И что? Можно взять небольшой шар вокруг точки. Разделить его плоскостью, проходящей через точку, на два полушара. Выбрать один из двух полушаров. Потом выбрать пересечение плоскости с шаром - это будет шар меньшей размерности (круг). Разделить и его пополам (прямой). Выбрать один из полукругов. Отрезок прямой - шар ещё меньшей размерности. Его мы делим наконец исходной точкой. И выбираем один из полуотрезков.

[george66]

Аксиоматика проективного пространства очень простая (потому что любые две плоскости пересекаются, параллельных нет). Есть приятная аксиоматика эллиптического пространства (это то самое проективное пространство с произведением точек, есть в книге Бахмана). Ориентацию же добавить неожиданно сложно. Я пытаюсь понять, какие геометрические построения можно делать в эллиптическом пространстве (типа, циркуль и линейка, построение перпендикуляров и т.д.). Все обычные построения не зависят от ориентации, как и в евклидовом пространстве. Но в эллиптическом пространстве есть специфика, которая зависит от ориентации! Например, к данной прямой через каждую точку там можно провести ровно две параллели (параллели Клиффорда), одна "правая параллель" и одна "левая параллель". Вот мне и нужен как можно более простой способ говорить об ориентации.

[Munin]

george66 в сообщении #1353374 писал(а):

Например, к данной прямой через каждую точку там можно провести ровно две параллели (параллели Клиффорда), одна "правая параллель" и одна "левая параллель".

Впервые слышу. Нельзя ли пример в координатах?

[george66]

Munin в сообщении #1353395 писал(а):

Впервые слышу. Нельзя ли пример в координатах?

Подробно в книге Берже "Геометрия" (искать на слова "параллелизм Клиффорда"). Также расслоение Хопфа (заполнение трёхмерной сферы семейством непересекающихся окружностей)
http://www.dimensions-math.org/Dim_CH7_RU.htm
есть семейство левых параллелей в эллиптическом пространстве. Трёхмерная сфера - это множество кватернионов нормы единица (единичная сфера в четырёхмерном пространстве кватернионов), эллиптическое пространство из неё получается отождествлением $q$ и $-q$ для всех кватернионов (фактор по $\{+1,-1\}$)

[arseniiv]

george66 в сообщении #1353223 писал(а):

Шар с отождествлёнными противоположными точками сферы устроен как трёхмерное проективное пространство.

Ну топологически да. Но топологии ведь мало, а структура $\mathrm{SO}(3)$ вроде не должна быть красивым образом совместима с какой угодно структурой проективного пространства на том же шаре.

-- Пн ноя 12, 2018 00:11:04 --

Короче я лично запутался, какое же из пространств вы рассматриваете, не все же сразу?

[g______d]

george66 в сообщении #1353401 писал(а):

Трёхмерная сфера - это множество кватернионов нормы единица (единичная сфера в четырёхмерном пространстве кватернионов), эллиптическое пространство из неё получается отождествлением $q$ и $-q$ для всех кватернионов

А нельзя как-нибудь ориентацию индуцировать с трёхмерной сферы?

[george66]

arseniiv в сообщении #1353404 писал(а):

george66 в сообщении #1353223 писал(а):

Шар с отождествлёнными противоположными точками сферы устроен как трёхмерное проективное пространство.

Ну топологически да. Но топологии ведь мало, а структура $\mathrm{SO}(3)$ вроде не должна быть красивым образом совместима с какой угодно структурой проективного пространства на том же шаре.

В том то и дело, что красиво совместима, подробности в книге Бахмана. Повороты $\varphi$ на угол $\pi$ обладают свойством $\varphi\circ\varphi=id$ и при этом образуют плоскость в эллиптическом пространстве (сферу - поверхность шара). То есть, групповые свойства тесно связаны с геометрическими.

[arseniiv]

(Ну так и выразить бы их как-нибудь алгебраически, лично мне было бы понятнее так, а не через аксиомы.)

А как связаны эти плоскости и касательные пространства к $\mathrm{SO}(3)$ в разных точках (типа $\mathfrak{so}(3)$ в точке $\mathrm{id}$)? Всё-таки как-то экстраординарно выходит.

-- Пн ноя 12, 2018 00:47:15 --

Вот, нашёл правильный вопрос: как определить, что входит в плоскость, задаваемую тремя точками $A, B, C$? Или точкой $A$ и двумя касательными векторами $u, v$.

-- Пн ноя 12, 2018 00:54:05 --

И аналогичный про прямые, собственно.