Ориентация трёхмерного проективного пространства

[george66]

Аксиоматика Бахмана такова: есть некоторая группа, её элементы будем называть "точками". Возьмём множество инволютивных элементов группы
$J=\{\varphi \mid \varphi \neq id \wedge \varphi\circ\varphi = id\}$
(это плоскость - поверхность шара).
Назовём "плоскостями" множества элементов группы вида $J\circ\psi$ (правые сдвиги плоскости $J$, с тем же успехом можно брать и $\psi\circ J$, получится то же самое). Аксиоматика Бахмана утверждает, что для так определённых плоскостей выполнены аксиомы трёхмерного проективного пространства (используется вариант аксиом, не требующий понятия "прямая", прямые потом определяются как пересечения пар плоскостей). Бахман не рассматривает отношение "между" и не говорит об ориентации. Я по чисто техническим причинам пытаюсь улучшить его аксиоматику.

[Munin]

george66 в сообщении #1353401 писал(а):

Подробно в книге Берже "Геометрия" (искать на слова "параллелизм Клиффорда"). Также расслоение Хопфа (заполнение трёхмерной сферы семейством непересекающихся окружностей)

А, это просто не параллели. Уф, вы меня напугали.

[george66]

Munin в сообщении #1353432 писал(а):

george66 в сообщении #1353401 писал(а):

Подробно в книге Берже "Геометрия" (искать на слова "параллелизм Клиффорда"). Также расслоение Хопфа (заполнение трёхмерной сферы семейством непересекающихся окружностей)

А, это просто не параллели. Уф, вы меня напугали.

Это параллели в том смысле, что по ним можно ехать как по рельсам (расстояние не меняется).

[Munin]

Это называется "эквидистантность".

Я не понимаю, что вам нужно? Определение? Вычислительный рецепт? Что-то другое?

[george66]

А вот если взять три прямых, попарно не пересекающихся, можно ли сказать, заплетены они "левой" или "правой" косичкой? Кто в топологии силён? Если двигать плоскость и смотреть, как три точки пересечения ходят вокруг друг друга?

[arseniiv]

george66 в сообщении #1353594 писал(а):

А вот если взять три прямых, попарно не пересекающихся, можно ли сказать, заплетены они "левой" или "правой" косичкой?

Да, для $\mathbb R^3$ можно взять простой пример прямых $\mathbf i+\langle\mathbf j\rangle, \mathbf j+\langle\mathbf k\rangle, \mathbf k+\langle\mathbf i\rangle$ — видно, что никаким специальным ортогональным преобразованием оно не переводится в своё зеркальное отражение. Но про ваше пространство я ничего утверждать не буду.

[george66]

В проективном пространстве прямые замкнуты! Это получается "коса" или что-то такое. С точностью до непрерывной деформации сколько есть расположений трёх прямых в проективном пространстве? (Двух прямых, я думаю, не хватит?)

[g______d]

Я подозреваю, что для задания ориентации в ${\mathbb R\mathbb P}_3$ нужен упорядоченный набор из 5 точек в общем положении. Потому что в аффинном пространстве нужно четыре, и размерность проективной группы как раз на 3 больше.

[george66]

Содержательные соображения, что три прямых (попарно не пересекающихся) задают ориентацию. Возьмём одну прямую вертикальной (ось $0y$), а вторую горизонтальной бесконечно удалённой (в плоскости $x0z$). Третья прямая их не пересекает, поэтому она не вертикальная (иначе была бы общая бесконечно удалённая точка с осью $0y$) и не параллельна плоскости $x0z$. Она "наклонная". Повернём картину вокруг оси $0y$ так, чтобы наклонная прямая торчала перед осью $0y$. Тогда она наклонена верхним концом либо вправо, либо влево и это задаёт ориентацию. Кто-нибудь может это формализовать?

[arseniiv]

А чего там формализовывать, по идее определение ориентации в духе линейной алгебры должно быть где-то явно выписано для (ориентируемых) проективных пространств, вот и сравнить с ним.

[Munin]

george66 в сообщении #1353594 писал(а):

А вот если взять три прямых, попарно не пересекающихся, можно ли сказать, заплетены они "левой" или "правой" косичкой?

Предлагаю так: вписать между ними сферу, касающуюся всех трёх прямых. В точках касания прямые зададут какие-то вектора. Их можно сравнивать по сфере, например, продолжить большими кругами, и посмотреть, в "как закрученный треугольник" они пересекутся.

[george66]

Берём плоскость, проходящую через ось $0y$, вращаем эту плоскость вокруг оси. За поворот на 180 градусов мы пробегаем горизонтальную прямую по всей длине, а наклонная прямая делает виток вокруг горизонтальной правым или левым винтом. Кажется, всё правильно, три прямых в общем положении задают ориентацию.

[george66]

Итого: берём три прямые в общем положении (попарно не пересекающихся, в проективном пространстве это значит, что никакие две и не лежат в одной плоскости). Вращаем произвольную плоскость вокруг одной из прямых - при движении по кругу две другие прямые заплетены между собой правым или левым винтом, это задаёт ориентацию. По-моему, так.

[g______d]

А точно нельзя проективным преобразованием, сохраняющим ориентацию, поменять местами две прямые и оставить третью на месте?

[george66]

g______d в сообщении #1353808 писал(а):

А точно нельзя проективным преобразованием, сохраняющим ориентацию, поменять местами две прямые и оставить третью на месте?

Даже если можно, винт от этого не изменится.