Энтропия и стрела времени

[amon]

warlock66613 в сообщении #1352489 писал(а):

Определение в терминах той микроскопической теории (обычно это классическая или квантовая механика), в рамках которой мы предполагаем строить модель исследуемой системы.

С точки зрения "shut up and calculate" такое определение есть. Берем статсумму $Z=\operatorname{Sp}e^{-\beta \hat{H}}$ и считаем, к примеру, $S=\frac{\partial}{\partial T}\beta\ln Z.$ Все расчеты макроскопические, и это можно считать определением, согласованным с термодинамикой.

[Munin]

warlock66613 в сообщении #1352489 писал(а):

То есть пока мы не построили мост от статфизики к термодинамике, никаких "термодинамических величин" в нашей теории нет. А чтобы этот мост построить, надо дать определение макросостоянию

а дать его неоткуда. Так что надо просто постулировать, что есть какие-то макросостояния.

[warlock66613]

amon, всё равно замкнутый круг через температуру. Для квантовой системы в контакте с термостатом макросостояние - это просто диагональ матрицы плотности системы.

-- 08.11.2018, 01:33 --

Munin в сообщении #1352505 писал(а):

как что надо просто постулировать, что есть какие-то макросостояния.

В общем случае - да (и я вряд ли догадался бы до этого без вашей помощи). В конкретной ситуации можно выбрать конкретные макросостояния, причём выбор обычно ограничен: 1) со стороны кинетики: не для любых макросостояний получится написать хорошее кинетическое уравнение и эргодичность тут не помогает - но для обычной равновесной статфизики этого ограничения нет, 2) со стороны условий проведения эксперимента (что измеряется, как, с какой точностью и т. п.) - но это ограничение со стороны конкретного применения теории, в самой теории его нет.

-- 08.11.2018, 02:05 --

Но главное, что нам нужно как-то дефинировать само понятие макросостояния. Я утверждаю, что если определить макросостояние для замкнутой системы как такое сокращённое описание состояния, что существует отображение $\text{Все микросостояния} \to \text{Все макросостояния}$, то получится стройная картина. В частности, это определение покрывает все частные случаи в разных учебниках и методических/обзорных статьях и монографиях, согласуется с вышеприведённой картинкой из википедии и другими подобными иллюстрациями, и вообще приводит к полной ясности.

[amon]

warlock66613 в сообщении #1352507 писал(а):

всё равно замкнутый круг через температуру.

А температура в таком подходе - внешний параметр, такой же, как объем. Он как-то руками задается, по крайней мере, в квазиравновесии. Я, честно говоря, не знаю другого приличного определения температуры, кроме термодинамического (то, что термометр кажет).

[warlock66613]

amon в сообщении #1352520 писал(а):

Я, честно говоря, не знаю другого приличного определения температуры, кроме термодинамического

Так через энтропию же. То есть сначала вводим макросостояния, потом энтропию, потом через неё - температуру. Правда, чтобы получилось именно то, что показывает термометр, надо использовать конкретный способ выбора макросостояний, но тут можно действовать подбором: перебирать разные способы введения макросостояний, пока не получится та температура, которую показывает термометр (но и остальные "температуры" - которые получаются при другом выборе макросостояний - в общем-то ничем не хуже, то есть у них есть все или почти все свойства "настоящей температуры").

-- 08.11.2018, 03:07 --

Вот такой пример "необычной температуры" приводится в "The physical basis of the direction of time":

Цитата:

Similarly, a star cluster (that is, a collection of macroscopic objects) possesses meaningful temperature and entropy $S \ne 0$ from the point of view that the motion of the individual stars is regarded as ‘microscopic’. The same statistical considerations as used for molecules then show that their velocity distribution must be Maxwellian.

[amon]

warlock66613 в сообщении #1352522 писал(а):

То есть сначала вводим макросостояния, потом энтропию, потом через неё - температуру.

Что-то мне кажется, что пытаться определить температуру через энтропию столь же плодотворное занятие, как попытка определить импульс через координату. И в первом, и во втором случае имеем пару канонически сопряженных и в этом смысле независимых параметров. На траектории можно определить импульс по координате и времени, но для этого надо траекторию знать. Также если знать уравнение состояния, то можно по энтропии определить температуру, но в общем случае это, IMHO, независимые переменные, а мы пытаемся общую науку обсуждать.

[warlock66613]

amon, это стандартный способ определения температуры. Рассматривается система, находящаяся в равновесии, и состоящая из двух больших (чтобы можно было перейти к термодинамическому пределу) частей. Доказывается, что

$$\frac {\partial S_1} {\partial U_1} = \frac {\partial S_2} {\partial U_2},$$

где $S_i$ - энтропия, а $U_i$ - энергия $i$-й части.
Тогда (обратная) температура - это по определению

$$\frac 1 T = \frac {\partial S_1} {\partial U_1}.$$

[amon]

warlock66613 в сообщении #1352527 писал(а):

Доказывается, что

$$\frac {\partial S_1} {\partial U_1} = \frac {\partial S_2} {\partial U_2},$$

А где на это доказательство посмотреть можно? А то терзают сомнения.

[warlock66613]

amon в сообщении #1352639 писал(а):

А где на это доказательство посмотреть можно?

В "Cтатистической термодинамике" Киттеля. Где-то в районе первого упоминания температуры в содержании. Точнее вечером смогу сказать.

-- 08.11.2018, 15:58 --

Вообще, это вроде как очевидно. Состояние равновесное - значит энтропия $S_1 + S_2$ имеет максимум, то есть в первом порядке малости по $dU$ она константа. Значит $dS_1 = -dS_2$. Отсюда (так как для энергии тем более $dU_1 = -dU_2$) имеем указанное соотношение.

[warlock66613]

Киттель. Статистическая термодинамика.
Глава 4. Две системы в тепловом контакте. Определение понятий энтропии и температуры.
Обмен энергией и наиболее вероятная конфигурация.
Формула (17б).

О, там кстати некий Дж. Гиббс в эпиграфе к этой главе меня почти цитирует:

Цитата:

Если мы желаем найти априорное обоснование термодинамических принципов в рациональной механике, мы должны отыскать механическое определение температуры и энтропии.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1352507 писал(а):

если определить макросостояние для замкнутой системы как такое сокращённое описание состояния, что существует отображение $\text{Все микросостояния} \to \text{Все макросостояния}$, то получится стройная картина

Я уже примерно пятнадцатый раз слышу от Вас эту чушь. Поскольку Вы, очевидно, не считаете свои взгляды "маргинальными" и наверняка не согласитесь с тем, что это - Ваша идефикс, мне бы хотелось:
1. Узнать то место того учебника, из которого Вы это почерпнули.
2. Вместо общих рассуждений о том, что "подойдёт любое отображение", увидеть, наконец, конкретное однозначное определение отображения, которое позволит подставить в него любое микросостояние и узнать по нему макросостояние, а значит и энтропию.

[realeugene]

epros в сообщении #1352788 писал(а):

Вместо общих рассуждений о том, что "подойдёт любое отображение", увидеть, наконец, конкретное однозначное определение отображения, которое позволит подставить в него любое микросостояние и узнать по нему макросостояние, а значит и энтропию.

Это отображение неоднозначное. Оно зависит от термодинамической модели.

Подозреваю, что это - неустранимое свойство данного отображения. Потому что энтропия отражает потерю информации при данном отображении. При различной степени огрубления макросостояний теряется различное количество информации о системе, что, следовательно, должно приводить к различной величине энтропии. В обычных условиях разница пренебрежима для физических моделей, но если рассматривать математически строго, она неизбежна.

[epros]

realeugene в сообщении #1352790 писал(а):

Это отображение неоднозначное. Оно зависит от термодинамической модели.

Так не пойдёт. Эта тема началась с разговоров о динамике энтропии в привязке к динамике микросостояний. Поэтому я имею право считать, что у тех, кто берётся определить энтропию по микросостоянию, в голове есть какая-то конкретная эта самая "термодинамическая модель". Прошу мне её предъявить, иначе разговор непонятно о чём.

Я выше Вам уже отвечал, что при Вашем подходе - "огрублении микросостояния" - у Вас получится ровно такое значение энтропии, насколько Вы пожелаете огрубить. Поэтому я хочу знать, насколько же Вы желаете огрублять микросостояния и от чего это зависит.

[realeugene]

epros в сообщении #1352796 писал(а):

Прошу мне её предъявить, иначе разговор непонятно о чём.

Разговор про физику. Физика отличается от математики. Не путайте их.

[epros]

Я не путаю, разговор о физике. Это не основание с глубокомысленным видом произносить бессмыслицы.