2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Еще раз про n=3.
Сообщение21.09.2018, 16:39 


21/09/18
13
Попытаемся доказать, что уравнение $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ (1) неразрешимо в натуральных (целых, положительных, отличных от нуля) числах. Пойдем от противного и попытаемся найти корни данного уравнения.

Для начала определимся, что $x , z$ - нечетные, а $y$ - четное. Случай, когда $x ,y$ - нечетные, а $z$ - четное, будет абсолютно аналогичен и в результате приведет к идентичному заключению. Поскольку $x , z$ - нечетные, их сумма и разность будут четными числами, такими что:

$z+x=2p         $(2.1)
$z-x=2q          $(2.2)
$z=p+q           $(2.3)
$x=p-q            $(2.4)

Переписав (1) в виде $y^{3}=z^{3}-x^{3}$ и подставив в него (2.3) и (2.4), выведем:

$y^{3}=(p+q)^{3}-(p-q)^{3}=p^{3}+3p^{2}q+3pq^{2}+q^{3}-p^{3}+3p^{2}q-3pq^{2}+q^{3}=2q^{3}+6p^{2}q$

Приходим к заключению, что:

$2q(q^{2}+3p^{2})$ - куб целого числа (3.1)

Тут оставим г-на Эйлера и пойдем своим путем. Заметим, что справа не просто куб целого числа, а куб целого четного числа. Представив его в виде $2k$ и произведя небольшие преобразования получим:

$y^{3}=(2k)^{3}=8k^{3}=2k^{3}+6k^{3}=2k(k^{2}+3k^{2})$ (3.2)

Объединив (3.1) и (3.2) перепишем:

$2q(q^{2}+3p^{2})=2k(k^{2}+3k^{2})$

Тут сделаем три смелых заявления:

$2q=2k$ (4.1)
$q^{2}=k^{2}$ (4.2)
$3p^{2}=3k^{2}$ (4.3)

Из (4.1) и (4.2) заключим, что $q=k$, а из (4.3), что $p=k$. Суммарно $k=q=p$.

Из этого следует равенство правых частей (2.1) и (2.2), а, значит, и равенство их левых частей. Т.е. $z+x=z-x$. Это возможно лишь при $x=0$, что противоречит начальным условиям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз про n=3.
Сообщение21.09.2018, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5172
Москва
Moran в сообщении #1340538 писал(а):
Тут сделаем три смелых заявления:
Я предлагаю сразу сделать смелое заявление $0 = 1$ и вывести из него всё что нужно.
Формально, не доказано, что для $f(x, y) = 2x(x^2 + 3y^2)$ из $f(q, p) = f(k, k)$ следует $q = k$. И т.к. для общего случая $f$ это неверно - это нужно доказывать, как-то учитывая конкретный вид $f$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз про n=3.
Сообщение28.09.2018, 16:39 


21/09/18
13
Вернемся на шаг назад и вспомним:

$2q(q^{2}+3p^{2})=8k^{3}$

Поделив обе части уравнения на два получим:

$q^{3}+3qp^{2}=4k^{3}$

Правая часть уравнения четная. В левой части слагаемое $3qp^{2}$ тоже четное (т.к. $p$ и $q$ имеют противоположную четность). Следовательно четными должны быть и $q^{3}$ и, вслед за ним, $q$. Отсюда: $q$ - четное, $p$ - нечетное.

Рассмотрим полученный ранее результат

$2q(q^{2}+3p^{2})=2k(k^{2}+3k^{2})$ (3.3)

Далее будем рассуждать, учитывая конкретный вид $f$, как рекомендовалось выше. Представим два прямоугольника с площадями $S_{1}$ (построенного на сторонах $2q$ и $q^{2}+3p^{2}$) и $S_{2}$ (построенного на сторонах $2k$ и $k^{2}+3k^{2}$). Как видно из (3.3) площади этих прямоугольников равны.

В частном порядке положим равенство сторон $2q$ и $2k$. Тогда должны быть равны и вторые стороны, а также и диагонали прямоугольников. Эти диагонали являются гипотенузами прямоугольных треугольников, построенных на сторонах прямоугольников, рассматриваемых выше. Из равенства гипотенуз получим равенство их квадратов и, следовательно, равенство сумм квадратов катетов:

$(2q)^{2}+(q^{2}+3p^{2})^{2}=(2k)^{2}+(k^{2}+3k^{2})^{2}$

$4q^{2}+q^{4}+6q^{2}p^{2}+9p^{4}=4k^{2}+16k^{4}$

Исходя из четности $q$ и нечетности $p$ приходим к противоречию:

нечетное=четное

Выйти из данного противоречия поможет лишь признание одинаковой четности $q$ и $p$. Но это, в свою очередь, приведет нас к выводу, что $\frac{z+x}{2}$ и $\frac{z-x}{2}$ имеют одинаковую четность. Это возможно лишь при равенстве $x$ нулю и приводит нас к очередному противоречию начальным условиям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз про n=3.
Сообщение28.09.2018, 16:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Moran в сообщении #1342112 писал(а):
В частном порядке положим равенство сторон $2q$ и $2k$.
В этом частном порядке Вы и получили ещё раньше [никому не интересное] доказательство. А что будет в общем порядке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз про n=3.
Сообщение29.09.2018, 09:39 


21/09/18
13
Остроумное [безусловно всем интересное] замечание выше не оставляет нам шансов пройти мимо того факта, что условие $2q=2k$ избыточно и было введено лишь для наглядности. Иными словами (в общем порядке) мы опирались не на неравенство гипотенуз, а на невозможность их одинаковой четности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз про n=3.
Сообщение29.09.2018, 09:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Moran в сообщении #1342274 писал(а):
условие $2q=2k$ избыточно и было введено лишь для наглядности.
Оно не избыточно, а бессодержательно. Интересен только случай когда $q\ne k$ (двойки не пишу, поскольку они всегда равны -- это не требует доказательства).

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз про n=3.
Сообщение29.09.2018, 10:29 


21/09/18
13
Нам, лишь на миг, показалось, что невозможность равенства

$4q^{2}+q^{4}+6q^{2}p^{2}+9p^{4}=4k^{2}+16k^{4}$

включает и Ваш "интересный" случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз про n=3.
Сообщение29.09.2018, 10:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17736
Москва
Moran в сообщении #1342280 писал(а):
невозможность равенства

$4q^{2}+q^{4}+6q^{2}p^{2}+9p^{4}=4k^{2}+16k^{4}$

включает и Ваш "интересный" случай
А в "неинтересном" случае оно превращается в тождественное равенство, поэтому непонятно, о какой "невозможности" идёт речь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз про n=3.
Сообщение29.09.2018, 10:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Moran в сообщении #1342280 писал(а):
показалось, что невозможность равенства ... включает и Ваш "интересный" случай
Да, это Вам только показалось (хорошо, что Вы это поняли), поскольку это равенство получено при условии равенства катетов $2q=2k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз про n=3.
Сообщение29.09.2018, 16:09 


21/09/18
13
grizzly в сообщении #1342282 писал(а):
Moran в сообщении #1342280 писал(а):
показалось, что невозможность равенства ... включает и Ваш "интересный" случай
Да, это Вам только показалось (хорошо, что Вы это поняли), поскольку это равенство получено при условии равенства катетов $2q=2k$.


Нет, Вы ошибаетесь. При любых $q$ и $k$.

Уважаемый Someone, о какой тождественности идет речь? Ведь левая и правая часть получены из разных "источников". Прошу Вас, разверните Ваш комментарий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз про n=3.
Сообщение29.09.2018, 17:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17736
Москва
Moran в сообщении #1342341 писал(а):
Уважаемый Someone, о какой тождественности идет речь? Ведь левая и правая часть получены из разных "источников".
Начхать. К тому же, вполне возможно, насчёт "разных источников" Вы заблуждаетесь. Просто подставьте в левую часть $q=k$ (это именно тот случай, который grizzly счёл бессодержательным), и у Вас получится равенство $4k^2+16k^4=4k^2+q^4+6k^2q^2+9^4$, откуда следует $p=\pm k$. Никакой "невозможности" не видно. (насчёт "тождественности" я, конечно, погорячился: посмотрел на коэффициенты, а на то, что там три переменные, внимания не обратил).
Почему-то всевозможные ферматисты старательно избегают делать подобные простейшие проверки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз про n=3.
Сообщение29.09.2018, 17:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Moran в сообщении #1342341 писал(а):
При любых $q$ и $k$.
Хорошо, повторите ещё раз Ваши рассуждения для любых $q$ и $k$ начиная со слов "Тогда должны быть равны и вторые стороны, а также и диагонали прямоугольников." и до слов "Из равенства гипотенуз...".

Почему "тогда должны быть равны вторые стороны"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз про n=3.
Сообщение29.09.2018, 18:01 


21/09/18
13
Someone в сообщении #1342352 писал(а):
Moran в сообщении #1342341 писал(а):
Уважаемый Someone, о какой тождественности идет речь? Ведь левая и правая часть получены из разных "источников".
Начхать. К тому же, вполне возможно, насчёт "разных источников" Вы заблуждаетесь. Просто подставьте в левую часть $q=k$ (это именно тот случай, который grizzly счёл бессодержательным), и у Вас получится равенство $4k^2+16k^4=4k^2+q^4+6k^2q^2+9^4$, откуда следует $p=\pm k$. Никакой "невозможности" не видно. (насчёт "тождественности" я, конечно, погорячился: посмотрел на коэффициенты, а на то, что там три переменные, внимания не обратил).
Почему-то всевозможные ферматисты старательно избегают делать подобные простейшие проверки.


Будьте здоровы. Вы не находите, что при $q=k$ нарушается (2.2)? Именно это мы и пытаемся доказать.

Для grizzly:

Вам не кажется, что диагональ прямоугольника задает все остальные его параметры? Из невозможности равенства диагоналей следует невозможность равенства всех прочих параметров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз про n=3.
Сообщение29.09.2018, 18:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Moran в сообщении #1342365 писал(а):
Вам не кажется, что диагональ прямоугольника задает все остальные его параметры?
Нет, не кажется. Если Вам такое кажется, Вы должны повторить школьный материал по геометрии за 6-й класс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз про n=3.
Сообщение29.09.2018, 18:26 


21/09/18
13
grizzly в сообщении #1342366 писал(а):
Moran в сообщении #1342365 писал(а):
Вам не кажется, что диагональ прямоугольника задает все остальные его параметры?
Нет, не кажется. Если Вам такое кажется, Вы должны повторить школьный материал по геометрии за 6-й класс.


Мы это еще не проходили. Вы, видимо, да. Можно хотя бы один пример двух разных прямоугольников, построенных на одной диагонали?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group