Цитата:
Как писал ice00, сложности с построением квадратов больших порядков здесь чисто технического плана.
Он также сделал эвристическое наблюдение, что его программы способны построить квадрат коль скоро количество наборов чисел (размера равного размеру квадрата), дающих в сумме магическую константу, достаточно велико. Если аккуратно формализировать и доказать это утверждение, то доказательство исходной гипотезы можно было бы провести так: из того, что данное множество достаточно плотное, следует, что количество наборов чисел с магической суммой достаточно велико, откуда следует, что квадрат обязан существовать.
Что означает: "множество достаточно плотное"? Множество чисел Смита относится к таковым?
Эвристическое наблюдение ice00 означает просто: если данный массив чисел имеет достаточное количество разбиений на группы размером, равным размеру квадрата, с суммой чисел в каждой группе равной магической константе квадрата, то вероятность существования магического квадрата из чисел такого массива достаточно высока. Это ясно без всяких эвристик.
Все мои программы, по которым я строила магические квадраты из простых чисел, основаны именно на этом утверждении. И начинала я каждый раз с разбиения исходного массива на такие группы чисел, дающие магическую константу квадрата. И если таких групп оказывалось очень мало, то такой массив чисел сразу отвергался.
Как вы сами тут недавно заметили: исходный массив из 16 чисел только в том случае способен сложиться в магический квадрат, если в нём есть как минимум 10 четвёрок, дающих в сумме магическую константу квадрата.
Это необходимое условие построения магического квадрата, но не достаточное.
Далее, очевидно, что чем больше будет разбиений на группы чисел, дающие магическую константу, тем выше вероятность получения магического квадрата. Это тоже понятно без всяких эвристик.
Далее, если даже количество таких групп чисел (разбиений) будет достаточно велико, отсюда ещё не следует, что квадрат из такого массива обязан существовать. В этих группах может оказаться очень много повторяющихся чисел, что является большим препятствием к построению квадрата.
И это второй момент моего алгоритма. После того, как найдены все разбиения на группы
чисел, дающих в сумме магическую константу, я формировала из этих групп наборы по
групп, в которых
все числа были различны.
Именно такая группа способна дать магический квадрат. И вот если таких групп было хотя бы больше 1, на следующем этапе я уже пыталась из такой группы построить магический квадрат.
Работая с квадратами из смитов порядков 7 - 9, я имею все необходимые условия, и разбиений на группы имею достаточно много; и получаю очень много полумагических квадратов, однако две последние группы чисел (на главных диагоналях) никак не складываются.
А вот начиная с порядка 11 (до порядка 50 включительно) все квадраты из последовательных чисел Смита построились без проблем. Но где уверенность в том, что первый потенциальный массив из последовательных смитов для порядка
тоже сложится в магический квадрат? Какие числа окажутся в этом массиве? Как они будут складываться в группы по 1000 чисел, дающие в сумме потенциальную магическую константу? Сколько будет таких групп? Как доказать, что их будет достаточно много?
Как я уже отмечала, построение квадрата 6-го порядка из последовательных смитов из первого же кандидата кажется просто чудом. Потому что квадраты 3 - 5 порядков уходят в астрономические числа.
Одним словом, доказательство выдвинутой вами гипотезы очень даже проблематично. А мне кажется, что вообще невозможно.
чисел (множество последовательных простых относится к таковым), что их сумма делится на 
, где 
и 
- это соответственно его максимальный и минимальный элементы). Смиты, вообще говоря, не обладают такой регулярность как простые числа, поэтому сказать о плотности их множества априори что-либо тяжело.
- все. См. 