Выбор знаков в законах Кирхгофа в самом общем случае

[Rusit8800]

Давно хотел создать эту тему с той целью, чтобы понять, правильно ли я понимаю, из каких соображений нужно ставить знаки во втором правиле Кирхгофа и правильно ли я понимаю, почему это так. Также я хотел бы уточнить некоторые вещи. Для начала расскажу, как я понимаю само уравнение 2 закона Кирхгофа. Я взял это уравнение отсюда и дополнительно обобщил на тот случай, когда в контуре есть еще и индуктивности. Получаю следующее

$$\[\sum\limits_i {\left( { \pm {I_i}{R_i}} \right)} + \sum\limits_i {\left( { \pm \frac{{{q_i}}}{{{C_i}}}} \right) = } \sum\limits_i {\left( { \pm {\mathcal{E}_i}} \right) + } \sum\limits_i {\left( { - {L_i}\frac{{d{I_i}}}{{dt}}} \right)} \]$$

Знак $\[ \pm \]$ указывает на то, что знак перед слагаемым определяется по некоторому правилу. Сразу отмечу, что я не поставил такой знак у ЭДС индукции. В данном случае я искусственно проверяю все случаи когда $\[\frac{{d{I_i}}}{{dt}} > 0\]$ и $\[\frac{{d{I_i}}}{{dt}} < 0\]$ . Как раз из-за такой искусственности возникают проблемы: бывают такие неприятные случаи, когда $\[\frac{{d{I_i}}}{{dt}} = - \frac{{{d^2}q_i}}{{d{t^2}}}\]$, которые ведут к ошибкам в выборе знака. Такой случай был в учебнике Мякишева "Колебания и волны" при выводе формулы Томсона, когда производная силы тока равна второй производной заряда только по модулю, но не по знаку, я сам не до конца понял почему. Надеюсь форумчане на примере покажут или дадут ссылку на какой-нибудь учебник, где разбираются такие "казусы".
Но я пока иду дальше. Доказательство уравнения, как мне кажется, производится следующим образом:
Пусть в контуре проходит заряд $q$. Если он проходит данный контур от начала до конца, то для этого нужна работа

$$\[A = q\left( {\sum\limits_i {\left( { \pm {I_i}{R_i}} \right)} + \sum\limits_i {\left( { \pm \frac{{{q_i}}}{{{C_i}}}} \right)} } \right)\]$$

. Чтобы такая работа стабильно "подавалась" на контур, нужна энергия сторонних сил:

$$\[A' = q\left( {\sum\limits_i {\left( { \pm {\mathcal{E}_i}} \right) + } \sum\limits_i {\left( { - {L_i}\frac{{d{I_i}}}{{dt}}} \right)} } \right)\]$$

. Поскольку эта энергия поступает только на этот контур, то $A=A'$, откуда получаем уравнение 2 закона Кирхгофа. Итак, второй вопрос после "казусов" с $\[\frac{{d{I_i}}}{{dt}} = - \frac{{{d^2}q}}{{d{t^2}}}\]$: нет ли ошибок в доказательстве? Я это спрашиваю, потому, что если логика доказательства верна, то можно легко объяснить правила знаков:
1) В слагаемых $\[\sum\limits_i {\left( { \pm {I_i}{R_i}} \right)} \]$ плюс ставится тогда, когда направление обхода совпадает с направлением тока, иначе ставим минус. Я понимаю это правило с помощью следующей аналогии: направление обхода - это как вектор перемещения тела $\[\overrightarrow r \]$, а сила тока - это как сила, действующая на тело $\[\overrightarrow F \]$. Если их направления направления совпадают, то $\[A = \overrightarrow F \cdot \overrightarrow r > 0\]$, иначе $A < 0$.
2) Также можно и объяснить, почему знак плюс ставится в слагаемых $\[\sum\limits_i {\left( { \pm \frac{{{q_i}}}{{{C_i}}}} \right) } \]$в том случае, когда направление напряженности совпадает с направлением обхода: здесь аналогом $\[\overrightarrow F \]$ является напряженность поля в конденсаторе $\[\overrightarrow E \]$
Я объясняю справедливость данной аналогии тем, что уравнение 2 закона Кирхгофа является следствием энергетического уравнения $A=A'$. В том уравнении работы
1)$\[q\left( {\sum\limits_i {\left( { \pm {I_i}{R_i}} \right)} } \right)\]$
2)$\[q\left( {\sum\limits_i {\left( { \pm \frac{{{q_i}}}{{{C_i}}}} \right)} } \right)\]$
3)$\[q\left( {\sum\limits_i {\left( { \pm {\mathcal{E}_i}} \right) $
можно представить как скалярное произведение вектора перемещения $\[\overrightarrow r \]$ заряда и вектора силы
1) "толкающей" заряд через кристаллическую решетку в резисторе
2) $\[\overrightarrow F = q\overrightarrow E \]$ электростатического поля
3) ЭДС в гальваническом элементе, возникающая каким-то образом вследствие химических реакций.
Я не включил в 3) слагаемое, отвечающее за ЭДС индукции, так как не могу объяснить природу сторонних сил в катушке индуктивности, и, как следствие, оценить знак скалярного произведения.
Итак, 3 вопрос: правильно ли обосновано правильно знаков в законе Кирхгофа с точки зрения свойства скалярного произведения векторов? И 4 вопрос: если это представление правильно, так как объяснить природу сторонних сил в катушке индуктивности, узнать их направление?

[Andrey_Kireew]

Rusit8800 в сообщении #1334838 писал(а):

Получаю следующее

$$\[\sum\limits_i {\left( { \pm {I_i}{R_i}} \right)} + \sum\limits_i {\left( { \pm \frac{{{q_i}}}{{{C_i}}}} \right) = } \sum\limits_i {\left( { \pm {\mathcal{E}_i}} \right) + } \sum\limits_i {\left( { - {L_i}\frac{{d{I_i}}}{{dt}}} \right)} \]$$

вместо
$\frac{q_i}{C_i} \right) $
лучше использовать
$\int\limits_{0}^{t}\frac{I_i}{C_i}dt \right) $
дополнительные переменные $q_i$ здесь совсем ни к чему.

-- 27.08.2018, 18:34 --

Вы всё чрезмерно усложняете. На самом деле всё просто:
1. Выбирается направление обхода контура (произвольно).
2. Выбираются направления токов (произвольно).
3. Если направление тока совпадает с направлением обхода, то знак соответствующего слагаемого такой, так в обычном уравнении,
например, для резистивного участка $+I_iR_i$, для индуктивного участка $-L_i\frac{dI_i}{dt}$. Если направление обхода и принятое направление тока не совпадают, то знак меняется на противоположный.

[Sicker]

Вообще знаки можно выбирать как хочешь, главное их согласовать правильно. Ну желательно, чтобы положительному направлению напряжения соответствовало положительное направление тока, ибо если они будут противоположными тогда в законе Ома нужно поставить минус :)

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1334868 писал(а):

положительному направлению напряжения

У напряжения уже появилось направление?

Rusit8800 в сообщении #1334838 писал(а):

И 4 вопрос: если это представление правильно, так как объяснить природу сторонних сил в катушке индуктивности, узнать их направление?

Ну как, чем сильнее меняется магнитное поле в некоторой области, тем сильнее в ней электрическое поле (точнее, соленоидальная его компонента), это поле и даёт соответствующую силу.

Правда, если бы мы говорили не о самоиндукции, а об индукции вообще, то сторонние силы могли бы быть и силами Лоренца (минус кулоновские в случае, если они входят туда по определению), действующими на электроны, и в разных системах отсчёта вклад этих двух причин будет разным (на деле это одна и та же причина, но чтобы это увидеть, нужно изучить четырёхмерный формализм). (Эти слова про индукцию, конечно, и в учебниках есть, не удержался.)

[Rusit8800]

Andrey_Kireew в сообщении #1334851 писал(а):

вместо
$\frac{q_i}{C_i} \right) $
лучше использовать
$\int\limits_{0}^{t}\frac{I_i}{C_i}dt \right) $

Хм, любопытно. А я думал, как эти $q_i$ искать. Скоро выложу сюда задачу, в ней я как раз таки запнулся на том, чтобы найти найти величины зарядов на конденсаторе. До того запнулся, что даже величину знаков не могу определить. Но позже, пока Кирхгофом разберусь.

Andrey_Kireew в сообщении #1334851 писал(а):

Вы всё чрезмерно усложняете. На самом деле всё просто:
1. Выбирается направление обхода контура (произвольно).
2. Выбираются направления токов (произвольно).
3. Если направление тока совпадает с направлением обхода, то знак соответствующего слагаемого такой, так в обычном уравнении,
например, для резистивного участка $+I_iR_i$, для индуктивного участка $-L_i\frac{dI_i}{dt}$. Если направление обхода и принятое направление тока не совпадают, то знак меняется на противоположный.

Sicker в сообщении #1334868 писал(а):

Вообще знаки можно выбирать как хочешь, главное их согласовать правильно. Ну желательно, чтобы положительному направлению напряжения соответствовало положительное направление тока, ибо если они будут противоположными тогда в законе Ома нужно поставить минус :)

Но почему произвольно то? Почему ответ всегда один и тот же? И главное: что же значит, что мои рассуждения по поводу вывода правила знаков через свойства скалярного произведения несостоятельны? Ведь мои рассуждения ТРЕБУЮТ, чтобы знак был не произвольный, а такой, чтобы он был энергетически правильным, ведь скалярное произведение имеет знак либо плюс, либо минус В ЗАВИСИМОСТИ ОТ СИТУАЦИИ. Так, если положительный заряд проходит в цепи от положительной обкладки, к отрицательной, то есть по направлению электрического поля, то знак перед $\frac{q_i}{C_i} \right) $ должен быть плюсом, потому что работа $q_i\frac{q_i}{C_i} \right) $ положительна, так как вектор перемещения положительного заряда $\[\overrightarrow r \]$ и вектор силы $\[\overrightarrow F = q\overrightarrow E \]$, действующей со стороны поля образуют угол не более $\[90^\circ \]$ по условию.

-- 27.08.2018, 21:02 --

arseniiv в сообщении #1334892 писал(а):

Ну как, чем сильнее меняется магнитное поле в некоторой области, тем сильнее в ней электрическое поле (точнее, соленоидальная его компонента), это поле и даёт соответствующую силу.

Это называется законом электромагнитной индукции. Я про это слышал. Слышал я и про то, что каким-то образом с помощью всяких левых и правых винтов определяют направление электрического/магнитного поля. Но вопросы остаются следующие:
1) Есть ли какие нибудь очень общие уравнения, более содержательные, чем $\[{\mathcal{E}_{ind}} = - L\frac{{dI}}{{dt}}\]$, которые описывают прям очень точно напряженность и вектор магнитной индукции в любой точке, чтобы можно было на компьютере картины силовых линий строить? Такие уравнения, чтобы из них уравнений сразу следовало правило Ленца, распространение электромагнитных волн т.д? Это уравнения Максвелла?
2) Можно ли с помощью этих уравнений, или еще каких-либо других, например, из квантовой электродинамики, понять, какова конкретная природа сил индукции? Например я слышал, как можно объяснить силу реакции опоры с помощью принципа неопределенностей Гейзенберга (хотя непонятно, почему нельзя банально сослаться на кулоновское отталкивание) - этого мне достаточно, чтобы примерно понять природу (примерно потому, что возникает новый фундаментальный вопрос: а почему одноименные заряды отталкиваются). Или на данный момент все объясняется тем, что просто "наша природа такова", в том числе и про отталкивание одноименных зарядов?

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1334892 писал(а):

У напряжения уже появилось направление?

Ну это же разность потенциалов, или минус градиент потенциала, а он имеет направление.

-- 27.08.2018, 21:03 --

Rusit8800 в сообщении #1334894 писал(а):

Но почему произвольно то? Почему ответ всегда один и тот же?

Потому что это не более чем задание положительного направления. Вы же по сути этим не накладываете никаких ограничений на значение самой величины.

[Rusit8800]

Sicker в сообщении #1334898 писал(а):

Потому что это не более чем задание положительного направления. Вы же по сути этим не накладываете никаких ограничений на значение самой величины.

Боюсь пока висит мой вопрос по поводу скалярного произведения, это ни о чем не говорит. Даже противоречит.

-- 27.08.2018, 21:08 --

arseniiv в сообщении #1334892 писал(а):

и в разных системах отсчёта вклад этих двух причин будет разным

Вот кстати. Я и про это слышал. И объяснить никак не могу. Говорят, что это релятивистский эффект.

[Eule_A]

Sicker

Sicker в сообщении #1334898 писал(а):

минус градиент потенциала

это вектор, и уж тем более не напряжение. Не нужно такие вещи говорить в ПРР(Ф).

Rusit8800 в сообщении #1334894 писал(а):

Можно ли с помощью этих уравнений, или еще каких-либо других, например, из квантовой электродинамики, понять, какова конкретная природа этих сил? Например я слышал, как можно объяснить силу реакции опоры с помощью принципа неопределенностей Гейзенберга (хотя непонятно, почему нельзя банально сослаться на кулоновское отталкивание). Или на данный момент все объясняется тем, что просто "наша природа такова"?

Если Вы сейчас ставите целью понять, как работают законы Кирхгофа применительно к конкретным задачам, то вот этих всех слов произносить не нужно. Особенно учитывая уровень вопросов, которые Вы пока что задаёте.

[Rusit8800]

(Оффтоп)

Eule_A в сообщении #1334900 писал(а):

Если Вы сейчас ставите целью понять, как работают законы Кирхгофа применительно к конкретным задачам, то вот этих всех слов произносить не нужно.

Жду, пока хоть на вопросы касательно Кирхгофа ответят. А остальные для общего развития. Что в этом плохого? В конце концов "убаюкивающие" слова наподобие: "это объясняется в ОТО/Квантовой механике, которая слишком сложна для тебя" меня успокоят.

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1334894 писал(а):

1) Есть ли какие нибудь очень общие уравнения, более содержательные, чем $\[{\mathcal{E}_{ind}} = - L\frac{{dI}}{{dt}}\]$, которые описывают прям очень точно напряженность и вектор магнитной индукции в любой точке, чтобы можно было на компьютере картины силовых линий строить? Такие уравнения, чтобы из них уравнений сразу следовало правило Ленца, распространение электромагнитных волн т.д? Это уравнения Максвелла?

Да, это - уравнения Максвелла. Прям очень точно. Плюс нужны материальные уравнения, если дело происходит не в вакууме. Плюс вся остальная физика, если вы рассматриваете, например, пучки электронов.

Rusit8800 в сообщении #1334894 писал(а):

Например я слышал, как можно объяснить силу реакции опоры с помощью принципа неопределенностей Гейзенберга

Обманывают детишек. Вся известная человеку "природа явлений" описывается уравнениями физики.

[Rusit8800]

realeugene в сообщении #1334907 писал(а):

Обманывают детишек. Вся известная человеку "природа явлений" описывается уравнениями физики.

Уточните, пожалуйста.

-- 27.08.2018, 21:54 --

И что там со знаками и скалярным произведением?

[wrest]

Rusit8800 в сообщении #1334894 писал(а):

Но почему произвольно то? Почему ответ всегда один и тот же?

Тут ситуация схожная например с выбором направления вертикальной оси в задачах на падающие тела. Вы можете направить ось вниз, тогда ускорение свободного падения будет с плюсом, а можете вверх -- тогда с минусом. Ответ (если скажем надо найти время сколько тело падало или пройденный телом путь и т.п.) от этого не поменяется.

[Andrey_Kireew]

Rusit8800 Дело в том, что в сложных цепях, не всегда получается сделать так, чтобы направления всех выбранных токов совпадали с направлениями обхода всех контуров. Каждый ток входит сразу в несколько контуров, с обходом одного он может совпадать - а с обходом другого - нет. В уравнении для одного контура один и тот же ток даст знак "+", а в уравнении другого - уже "-". И всё это зависит исключительно от выбора направлений, который абсолютно произволен и определяется лишь удобством и привычками конкретного человека. В этом выборе нет никакого физического смысла и результат расчёта от него не зависит абсолютно. Я например, советую ученикам всё время выбирать направления обхода контуров по часовой стрелке. Такое однообразие позволяет избежать путаницы и многих ошибок.

[arseniiv]

Да не сочтут следующее слишком уводящим в сторону.

Rusit8800 в сообщении #1334894 писал(а):

Можно ли с помощью этих уравнений, или еще каких-либо других, например, из квантовой электродинамики, понять, какова конкретная природа сил индукции?

Если только понимать под объяснением что-то более общее, чем хочется, когда после механики материальных точек, твёрдых тел и похожих вещей начинаются вопросы о полях.

Rusit8800 в сообщении #1334894 писал(а):

Или на данный момент все объясняется тем, что просто "наша природа такова", в том числе и про отталкивание одноименных зарядов?

Ну, это не так грустно, как может показаться. Природа такова, что громадная куча видов полей просто невозможна в ней, и куча свойств поля идёт в комплекте друг с другом и определяется (если залезать в КТП) парочкой характеристик, которые достаточно задать. А вообще поля типа электромагнитного (то есть векторные; их потенциал — 4-вектор) получаются одними из самых простых (проще только скалярные, если я достаточно набрался здесь физики).

То есть надо просто перестроить ожидания от объяснений так, что могут объясняться целые кучи явлений одновременно, а не одно за другое. В самом деле, часто нет никакого смысла искать в мире какие-то единичные причины или следствия.

Притягиваются одноимённые заряды или отталкиваются, зависит от одной характеристики поля, но я лучше не буду об этом писать, потому что всё равно достаточной базы тут не изложишь, ну и могу написать ерунду. Главное, что вы можете быть спокойны, что это сводится вместе с кучей других свойств к нескольким параметрам — это ведь уже неплохо?

Rusit8800 в сообщении #1334894 писал(а):

Например я слышал, как можно объяснить силу реакции опоры с помощью принципа неопределенностей Гейзенберга (хотя непонятно, почему нельзя банально сослаться на кулоновское отталкивание)

Он объяснит только конечные размеры одного атома, а для описания взаимодействия нескольких (и разных размеров разных атомов) уже приходится прибегать к принципу Паули.

Rusit8800 в сообщении #1334894 писал(а):

Но почему произвольно то? Почему ответ всегда один и тот же?

Ну, иногда для вычислений нам приходится делать произвольный выбор чего-нибудь. Это неприятно, но следует из-за того, что, грубо говоря, действительные числа можно прикладывать к некоторым другим математическим объектам разными одинаково плохими хорошими способами.

Например, у нас есть векторы на некоторой прямой, на которой мы умеем измерять расстояния. Этим векторам бы биективно сопоставить вещественные числа, пропорциональные их длинам, но мы не знаем, кому положительные, а кому отрицательные — две возможности и ни одна не лучше другой. Приходится крепиться и предпочитать. Иногда на прямой есть выделенное направление, и тогда всё просто, но не всегда его можно откуда-то взять!

Rusit8800 в сообщении #1334899 писал(а):

Вот кстати. Я и про это слышал. И объяснить никак не могу. Говорят, что это релятивистский эффект.

Ну, в таких ли словах это описывать или нет, но если бы наше пространство-время было галилеевым (бесконечная $c$), то магнитных явлений вообще не было бы, включая электромагнитную индукцию. А то, что, когда она есть, у неё получается как будто две разные причины — это, так сказать, артефакт способа рассмотрения, и ровно такой же как отделение электрического и магнитного полей. Оно удобно, но от этого получаются такие хитрые штуки.

Rusit8800 в сообщении #1334901 писал(а):

А остальные для общего развития. Что в этом плохого? В конце концов "убаюкивающие" слова наподобие: "это объясняется в ОТО/Квантовой механике, которая слишком сложна для тебя" меня успокоят.

Да, надеюсь, вам будет лучше. Притом СТО и электродинамику в плоском пространстве-времени вы уже вскоре сможете освоить, немного потерпеть остаётся. Наверно.

Если физик поправит мои ошибки, слушайте физика.

-- Вт авг 28, 2018 00:58:08 --

Продублировал wrest ненароком.

-- Вт авг 28, 2018 01:03:52 --

(Оффтоп)

Кстати о последней приведённой цитате Rusit8800: действительно, не понимаю, когда на подобные просьбы случается резкая реакция. Примет ли человек нечто как отложенное объяснение, не пытаясь сразу же его проверять, нельзя сразу сказать, но так как мы в любом случае не можем проверить всё, это рано или поздно придётся делать, и это делают везде и всюду, так почему бы не довериться благоразумию по крайней мере достаточно известного человека (если, предположим, у кого-то один пост и он выкатывает теорию всего — это ведь совсем другая ситуация). Этот вопрос тут лишь на случай, если эта оффтопная ветка получит развитие, и лучше, конечно, в отдельной теме, сцитировав эту часть и весь остальной контекст.

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1334917 писал(а):

Уточните, пожалуйста.

Что уточнить? Что нет никакой "природы явлений", кроме той, которая описывается уравнениями физики? Вы "понимаете" природу явлений, когда вам удаётся их тем или иным образом прогнозировать. Самый точный (а часто и единственный) способ прогноза физических явлений основан на построенных с использованием математических объектов физических моделях. Развивайте у себя интуитивное понимание этой математики, и тогда и с природой явлений вы сможете разбираться, тоже, интуитивно. Но не ранее.

Rusit8800 в сообщении #1334917 писал(а):

И что там со знаками и скалярным произведением?

Представьте, что вы стоите в Москве на станции Киевская кольцевой линии метро. В какую сторону вам следует сесть на поезд, чтобы доехать до Курской? Да какой поезд вам больше нравится - в тот и садитесь. Заметной разницы нет, результат будет один.

-- 27.08.2018, 23:44 --

Sicker в сообщении #1334868 писал(а):

Вообще знаки можно выбирать как хочешь, главное их согласовать правильно. Ну желательно, чтобы положительному направлению напряжения соответствовало положительное направление тока, ибо если они будут противоположными тогда в законе Ома нужно поставить минус :)

Не придётся. Разберитесь с законом Ома, потом советуйте что-либо в ПРР.