Выбор знаков в законах Кирхгофа в самом общем случае

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1335840 писал(а):

Почему? Просто так вышло, что направление обхода не совпало с направлением силы тока.

Потому что это вас только путает, ничего не давая к пониманию. А вот "отрицательное сопротивление" само по себе иногда осмысленно и имеет очень интересные последствия. О которых вам задумываться пока рано. В общем, обычно рассматривают закон Ома отдельно, а знаки в законах Кирхгофа - отдельно.

[Rusit8800]

realeugene в сообщении #1335842 писал(а):

Потому что это вас только путает, ничего не давая к пониманию. А вот "отрицательное сопротивление" само по себе иногда осмысленно и имеет очень интересные последствия. О которых вам задумываться пока рано. В общем, обычно рассматривают закон Ома отдельно, а знаки в законах Кирхгофа - отдельно.

Ну вот, теперь вы во мне вызвали когнитивный диссонанс. Чего я не понимаю? Ведь если я чего-то не понимаю и не знаю чего, то я не могу пользоваться правилами знаков EUgeneUS.

[realeugene]

Вы многое ещё не понимаете. Учитесь - поймёте когда-нибудь. Сначала вам нужно освоить общие методы решения систем уравнений.
Алгоритм EUgeneUS лучше рассматривайте критически. С одной стороны, в нём нет явных ошибок, но с другой стороны, он немного бесполезен для практических задач, так как редко нужно только одно уравнение.

Законы Кирхгофа используются для составления систем уравнений, которые можно решить формальными методами и найти поведение цепи. Редко нужен какой-то один закон Кирхгофа сам по себе. А если вы записываете систему уравнений, вы больше не можете выбирать для каждого участка цепи в каждом уравнении направление течения тока произвольно. Ток в каждом участке цепи должен входить в каждое уравнение с одинаковым направлением.

В общем, алгоритм обычно такой. Сначала вы рисуете цепь как мультиграф с вершинами - узлами цепи, соединёнными попарно дугами - компонентами. Потом для каждой дуги вы абсолютно произвольно выбираете положительное направление течения тока (одно из двух) и букву, которая обозначает этот ток. Ваша цель - найти величины всех букв-токов, удовлетворяющие всем уравнениям Кирхгофа и уравнениям, описывающим компоненты. Если вы ошиблись с выбором направления тока - не страшно, так как в результате вы, просто, решив систему уравнений, получите отрицательное значение тока через эту дугу. Но сначала, при записи уравнений, вы считаете каждый ток положительным.

Дальше нужно записать систему уравнений. Проще всего начать с законов Кирхгофа для узлов Это просто закон сохранения заряда: сколько в узел ампер втекает, столько и вытекает. Так что вы тут же для каждого узла пишете сумму всех токов через все дуги, инцидентные узлу, приписывая току в сумме знак $+$ если этот принятым положительным ток втекает, и знак $-$, если вытекает. Эту сумму для каждого узла приравниваете нулю. Не все полученные уравнения независимые, но узлов и уравнений конечное число.

После этого независимых уравнений всё ещё слишком мало, чтобы однозначно решить систему уравнений с токами. Так что нужно добавить к системе какое-то количество уравнений исходя из второго закона Кирхгофа. Вообще говоря, возможных контуров, если допускать самопересечения, всегда бесконечно много (можно многократно ходить по кругу или возвращаться обратно), и, даже, без самопересечений их может быть очень много. К счастью, независимых контуров (порождающих независимые уравнения) мало, и можно выбирать самые простые контуры.

В общем, поочерёдно выбираете некоторый полезный цикл в графе, выбрав произвольно начальный узел и направление обхода этого цикла. Начинаете идти вдоль цикла, записывая суммы приращений напряжений. Для каждой дуги вычисляете напряжение на этой дуге исходя из уравнения компонента цепи $U=U(I)$ и выбранного первоначально положительного направления тока через этот компонент. Иногда напряжение не зависит от тока, как у идеальной ЭДС. Иногда зависит, как у омического сопротивления. Но всегда нужно прибавить это напряжение к сумме, если вдоль проходимой цепи оно возрастает, и вычесть, если уменьшается. Для сопротивления $U=RI$, и напряжение возрастает, если ток смотрит нам в лицо, и уменьшается, если мы смотрим ему в спину. Соответственно, мы к сумме прибавляем $+RI$ в первом случае и $-RI$ во втором.

Так, пройдя весь цикл и вернувшись в начальную точку, мы получаем сумму напряжений вдоль контура, которая должна быть равна нулю. Добавляем это уравнение, пытаемся решить нашу систему. Решили - здорово. Всё ещё не хватает уравнений - пытаемся добавить ещё одно уравнение для ещё одного контура.

Обратите внимание, что знаки в суммах $+$ или $-$ зависят как от произвольно выбранных контуров, так и от ещё более произвольно первоначальных выбранных направлений токов через дуги.

[Munin]

Rusit8800
Да всё у вас правильно, просто стараются обычно таких мест, где $U=-IR,$ делать поменьше (в идеале ноль), чтобы не путаться.

[Rusit8800]

realeugene в сообщении #1335850 писал(а):

Вы многое ещё не понимаете.

Munin в сообщении #1335851 писал(а):

Да всё у вас правильно

realeugene Munin'у рознь. Хотя с $99,(9)$% это я чего-то не понимаю. Ладно, может когда-нибудь пойму. Пока я даже не понимаю, что я не понимаю. Может вы сможете объяснить хотя бы направление, которое я не понимаю? Я хоть сделаю попытку разобраться.
Давайте наконец подытожим.

На картинке выбран обход по часовой стрелке. Ток $I_1$ идет по часовой стрелке - ставим +, для всех остальных ставим минус. Далее, стрелками ЭДС обозначено направление от минуса к плюсу внутри источника ЭДС, то есть направление движения положительного заряда. Если стрелка совпадает с направлением обхода, то пишем плюс в левой части. Так вышло у ЭДС $E_1$.У ЭДС $E_2$ и $E_3$ стрелки направлены противоположно направлению обхода, поэтому там пишем минус.
Тут все ясно. А как быть с конденсаторами? Ставить плюс в правой части тогда, когда направление обхода совпадает с направлением напряженности электрического поля между обкладками конденсатора? А как определить какая обкладка заряжена положительно, а какая отрицательно? Снова заряды произвольно расставлять?

[Munin]

Rusit8800 в сообщении #1335897 писал(а):

Далее, стрелками ЭДС обозначено направление от минуса к плюсу внутри источника ЭДС, то есть направление движения положительного заряда.

Вот тут поправочка: это направление, как источник хочет, чтобы двигался положительный заряд. А в реальности:
- направление $I$ может не совпадать с направлением $\mathcal{E}$ в ветке (например, если в одной ветке несколько разнонаправленных ЭДС);
- само алгебраическое значение $I$ может по результатам расчётов оказаться как положительным, так и отрицательным. Это ничем не плохо, а просто тот, кто расставлял направления токов, "не угадал".

Лучше всего запоминать, что в источник ЭДС "вшит" перепад потенциала, и вот стрелочка на значке источника - показывает направление этого перепада ("от минуса к плюсу"). А вот ток может течь и в обратную сторону против этого перепада.

Аналогично будете разбираться с идеальными источниками тока, когда до них доберётесь.

Rusit8800 в сообщении #1335897 писал(а):

Тут все ясно. А как быть с конденсаторами? Ставить плюс в правой части тогда, когда направление обхода совпадает с направлением напряженности электрического поля между обкладками конденсатора? А как определить какая обкладка заряжена положительно, а какая отрицательно? Снова заряды произвольно расставлять?

Да, вы ставите некоторые $Q_c$ и $U_c$ произвольно (но желательно согласованно между собой), и потом по результатам расчётов они могут оказаться алгебраически отрицательными - и в этом опять ничего страшного.

А в цепях переменных токов - вообще в работе схемы любой конденсатор будет заряжен и в ту и в другую сторону; и через любое сопротивление ток будет течь и туда и обратно. Так что эти направления в любом случае будут условностью.

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1335897 писал(а):

Пока я даже не понимаю, что я не понимаю. Может вы сможете объяснить хотя бы направление, которое я не понимаю? Я хоть сделаю попытку разобраться.

Вы не понимаете очень многое по определению, так как вы ещё школьник. Направление - хороший технический ВУЗ с хорошими курсами математики и физики.

Относительно вашей картинки. Я вам рекомендую не заучивать эту формулу, а, просто, просуммировать напряжения на элементах вдоль выбранного вами контура, и приравнять их сумму нулю. Если вы знаете, какое напряжение создаёт ЭДС, и чему равно падение напряжение на омическом сопротивлении, то вы легко сможете записать и всю сумму.

-- 01.09.2018, 14:43 --

Munin в сообщении #1335911 писал(а):

Тут все ясно. А как быть с конденсаторами?

Лучше до конденсаторов и индуктивностей доходить только твёрдо разобравшись с сопротивлениями и ЭДС. Не раньше, чем появится ощущение "ну а как могло быть иначе"?

[Rusit8800]

realeugene в сообщении #1335912 писал(а):

Не раньше, чем появится ощущение "ну а как могло быть иначе"?

Такого ощущения у меня не возникнет, покуда я не изучу электродинамику на ВУЗовском уровне, потому что я крайне педантичен к логике. Но насчет перехода на ВУЗовский уровень вы сказали

realeugene в сообщении #1335850 писал(а):

Вы многое ещё не понимаете. Учитесь - поймёте когда-нибудь. Сначала вам нужно освоить общие методы решения систем уравнений.

Так что я перехожу на задачу с конденсаторами в контурах:

Даны ЭДС $E_1, E_2$ и емкости $C_1,C_2$, а также сопротивление вольтметра $R_V$. Нужно найти напряжение на вольтметре. Силы тока я направляю по направлению обхода каждого из контуров, заряды на конденсаторах расставляю так, чтобы направление обхода совпадало с напряженностью электрического поля в конденсаторе. Само направление обхода выбрано так, чтобы направление ЭДСок совпало с этим направлением. В результате таких выборов все слагаемые для каждого контура войдут со знаком +

$$\[\left\{ \begin{gathered} {I_V}{R_V} + \frac{{{q_1}}}{{{C_1}}} = {E_2} \hfill \\ {I_V}{R_V} + \frac{{{q_2}}}{{{C_2}}} = {E_1} \hfill \\ {U_V} = {I_V}{R_V} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {U_V} = {E_2} - \frac{{{q_1}}}{{{C_1}}} \hfill \\ {U_V} = {E_1} - \frac{{{q_2}}}{{{C_2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

Правда вот соотношения между зарядами я не знаю как найти. Я заметил, что если $q_1=-q_2$, то получается правильный ответ. Но почему?

-- 01.09.2018, 15:57 --

Я тут помню совет Andrey_Kireew

Andrey_Kireew в сообщении #1334851 писал(а):

вместо
$\frac{q_i}{C_i} \right) $
лучше использовать
$\int\limits_{0}^{t}\frac{I_i}{C_i}dt \right) $
дополнительные переменные $q_i$ здесь совсем ни к чему.

Но найти зависимость силы тока - задача для меня невыполнимая. Я, конечно, могу добавить 1 закон Кирхгофа и записать:

$$\[\left\{ \begin{gathered} {I_V}{R_V} + \int\limits_0^t {\frac{{{I_1}}}{{{C_1}}}dt} = {E_2} \hfill \\ {I_V}{R_V} + \int\limits_0^t {\frac{{{I_2}}}{{{C_2}}}dt} = {E_1} \hfill \\ {I_1} + {I_2} = {I_V} \hfill \\ {U_V} = {I_V}{R_V} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

Но это не дает информации ни для одного из токов.

[Munin]

Rusit8800 в сообщении #1335919 писал(а):

Так что я перехожу на задачу с конденсаторами в контурах... Даны ЭДС $E_1, E_2$ и емкости $C_1,C_2$. Нужно найти напряжение на вольтметре.

Если вольтметр идеальный (как обычно и подразумевается), то ток через него не течёт, и фактически это более простая задача: на один контур.

Rusit8800 в сообщении #1335919 писал(а):

Я заметил, что если $q_1=-q_2$, то получается правильный ответ. Но почему?

Именно потому, что подразумевается, что через вольтметр заряд не протекает. (Но фактически это будет не совсем верно.)

[Rusit8800]

Munin в сообщении #1335921 писал(а):

это более простая задача: на один контур.

Но если это просто задача на 1 контур, то как найти $U_V$, если из 2 закона Кирхгофа получается уравнение

$$\[\frac{{{q_1}}}{{{C_1}}} + \frac{{{q_2}}}{{{C_2}}} = {E_1} + {E_2}\]$$

не содержащее информации о $U_V$?

Munin в сообщении #1335921 писал(а):

Именно потому, что подразумевается, что через вольтметр заряд не протекает

Почему же из этого следует, что сумма зарядов равна нулю?

Munin в сообщении #1335921 писал(а):

(Но фактически это будет не совсем верно.)

Хм, получается что в общем случае ответ зависит от $R_V$? Что же делать в общем случае?

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1335919 писал(а):

Такого ощущения у меня не возникнет, покуда я не изучу электродинамику на ВУЗовском уровне, потому что я крайне педантичен к логике.

Вам тут нужна не логика, а практика в самостоятельном решении задач.

-- 01.09.2018, 16:41 --

Rusit8800 в сообщении #1335919 писал(а):

Даны ЭДС $E_1, E_2$ и емкости $C_1,C_2$, а также сопротивление вольтметра $R_V$.

Без задания начальных условий это сделать невозможно.

[Rusit8800]

realeugene в сообщении #1335927 писал(а):

Без задания начальных условий это сделать невозможно.

Это какие? Сказать, что конденсаторы изначально разряжены - достаточно?

[Munin]

На школьном уровне - да. Именно это и подразумевается.

[wrest]

Rusit8800
На конденсаторе напряжение не может поменяться мгновенно, по этому в вашей схеме, если вольтметр и источники напряжения идеальные и разного номинала, а конденсаторы в начальный момент разряжены, что-нибудь сгорит: в первый момент времени, по сути, конденсаторы это короткие замыкания (просто проводник с нулевым споротивлением), так что вы, по сути, коротите один идеальный источник напряжения на второй. Будет бесконечный ток и бабах. Неидеальность вольтметра тут кстати не поможет.

Вот мне кажется, что как раз это и надо вам запомнить для решения задач на цепи (и переходные процессы), а не уравнения электродинамики в интегральной форме.

На постоянном токе в устоявшемся режиме конденсатор это разрыв цепи, а катушка индуктивности -- короткое замыкание.
А в начальный момент (когда включают рубильник) наоборот: конденсатор это закоротка (если напряжение на нем было нулевое), а катушка индуктивности -- разрыв цепи (если ток через неё был нулевой).
Если начальные условие не нулевые, то конденсатор в первый момент это идеальный источник ЭДС (с нулевым внутренним сопротивлением), а катушка индуктивности -- идеальный источник тока (с бесконечным внутренним сопротивлением).

[Rusit8800]

Так что делать с задачей, если вольтметр идеальный? Через правила Кирхгофа напрямую она не решается, а это единственный строгий алгоритм расчета электрических цепей, который я знаю. Можно попытаться искусственным методом, записать потенциалы 4 точек, расписать для них искусственно уравнения и найти из них разность потенциалов для 2 интересующих нас точек, где включен аольтметр. Но здесь есть 2 казуса.
1) Прежде чем записывать уравнения для потенциалов, надо разобраться с конденсаторами: какие обкладки положительны и отрицательны, а также найти соотношение между модулями зарядов этих конденсаторов. Но я то даже не знаю как заряжены обкладки! Здесь явно нельзя произвольно заряды расставлять, как это сделал я и как написано в методичке Яковлева, так как конденсаторы заряжены по отношению к друг другу каким-то определенным образом. Но как понять каким? И почему выполнено

Rusit8800 в сообщении #1335919 писал(а):

$q_1=-q_2$

? Из каких принципов выводится это уравнение, а также узнается, как заряжены обкладки? Правила Кирхгофа здесь не помогут, так как дают уравнение

Rusit8800 в сообщении #1335924 писал(а):

$\[\frac{{{q_1}}}{{{C_1}}} + \frac{{{q_2}}}{{{C_2}}} = {E_1} + {E_2}\]$

, которое не дает ответа на поставленный вопрос. Тут какие-то другие принципы.
2) Допустим я разобрался с тем, как заряжены конденсаторы, выяснил отношения между модулями их зарядов. Тогда можно подсчитать искомое $U_V$ двумя способами: через падения напряжения правой и левой частей последовательно соединенных конденсаторов и батареек, затем получить выражение для $U_V$. Здесь проблема заключается в искусственности: если бы мы записывали правила Кирхгофа, то все неизвестные величины находились бы без проблем автоматически, например, если бы мы не угадали с направлением тока, то об этом нам бы сказал знак минус и не пришлось бы ничего додумывать. Эту же задачу нельзя алгоритмизировать, так как приходится самим выяснять как заряжены конденсаторы, а не выбирать заряды произвольно, также из каких-то рассуждений надо вывести, что $\[\frac{{{q_1}}}{{{C_1}}} + \frac{{{q_2}}}{{{C_2}}} = {E_1} + {E_2}\]$ - приходится что-то додумывать.