Неправильная формулировка Зорич V.3.10

[Paul Ivanov]

Задача звучит так:
Покажите, что если функция $f$ имеет в точке $x_0$ все производные до порядка $n+1$ включительно и $f^{(n+1)}(x_0)\ne 0$, то в остаточном члене формулы Тейлора, записанном в форме Лагранжа
$r_n(x_0;x)=\frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0+\theta(x-x_0))(x-x_0)^n$,
где $0<\theta<1$, величина $\theta=\theta(x)$ стремится к $\frac{1}{n+1}$ при $x\to x_0$
Мне кажется, что задача сформулирована неправильно.
Во-первых потому, что производные определены только для точки $x_0$, а при $x\to x_0$ необходимо, чтобы производные высших порядков были определены в некоторой окрестности $x_0$. Соответственно вопрос: в какой?
Во-вторых, потому, что остаточный член по форме Лагранжа определяется так: $r_n(x_0;x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^n$. Соответственно вопрос: что нужно изменить в изначальном равенстве - $r_n(x_0;x)$ на $r_{n-1}(x_0;x)$ или просто все $n$ в правой части равенства заменить на $n+1$
Прошу подсказать, как исправить задачу так, чтобы она имела смысл и резон решать её.

[Red_Herring]

Paul Ivanov в сообщении #1330543 писал(а):

Прошу подсказать, как исправить задачу так, чтобы она имела смысл и резон решать её.

Задача сформулирована корректно. И если "кажется", то не надо в заголовке писать "Неправильная формулировка".

[thething]

Paul Ivanov
Согласно определению второй производной в точке $x_0$ первая производная как раз должна быть задана в окрестности точки $x_0$ и т.д.

Насчет кси и тэта: ну подставьте в "неправильную формулировку" крайние значения тэта и сравните то, что получится с крайними значениями кси.

[grizzly]

thething в сообщении #1330581 писал(а):

Paul Ivanov
Согласно определению второй производной в точке $x_0$ первая производная как раз должна быть задана в окрестности точки $x_0$ и т.д.

У Зорича и первая и высшие производные определяются для предельных точек, а не для внутренних. Если я правильно понимаю эти определения, ничто не мешает определить функцию и все её производные на канторовом множестве.

[thething]

grizzly
Плохо помню Зорича (нет под руками), но вроде бы у него конкретно в формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа должно говориться про интервалы.

А так-то в-общем у него и правда какие-то множества $E$, лишь бы были предельные точки (в любом случае, перечитывать и вникать лень).

Paul Ivanov в сообщении #1330543 писал(а):

остаточный член по форме Лагранжа определяется так: $r_n(x_0;x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^n$

Степень должна быть тоже $n+1$ в этой записи. И кстати, остаточный член (в форме Лагранжа) в условиях Вашей задачи можно написать максимум со степенью $n$.

[grizzly]

thething в сообщении #1330605 писал(а):

Плохо помню Зорича (нет под руками), но вроде бы у него конкретно в формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа должно говориться про интервалы.

Да, говорится. Я только хотел обратить Ваше внимание, что именно тот ответ про определение производных не мог помочь ТС в данном случае.

[Paul Ivanov]

Так, насчёт того, что точка $x_0$ по определению производной должна быть предельной для всех производных вплоть до $n+1$ порядка действительно верно. Спасибо, что подсказали, я почему-то забыл про точное определение производной.

-- 04.08.2018, 20:13 --

thething в сообщении #1330605 писал(а):

grizzly
Плохо помню Зорича (нет под руками), но вроде бы у него конкретно в формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа должно говориться про интервалы.

А так-то в-общем у него и правда какие-то множества $E$, лишь бы были предельные точки (в любом случае, перечитывать и вникать лень).

Paul Ivanov в сообщении #1330543 писал(а):

остаточный член по форме Лагранжа определяется так: $r_n(x_0;x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^n$

Степень должна быть тоже $n+1$ в этой записи. И кстати, остаточный член (в форме Лагранжа) в условиях Вашей задачи можно написать максимум со степенью $n$.

Действительно степень должна быть $n+1$, я случайно не напечатал. Кстати почему остаточный член можно определить максимум со степенью $n$?

[thething]

Paul Ivanov в сообщении #1330610 писал(а):

почему остаточный член можно определить максимум со степенью $n$?

Потому что $f^{(n+1)}$ определена только в точке $x_0$, что годится для Пеано. Для Лагранжа же -- должен быть промежуток, в котором определена производная (ну или как там у Зорича в этом месте). Вот и получается максимум $n$-й порядок.

[Paul Ivanov]

thething в сообщении #1330612 писал(а):

Paul Ivanov в сообщении #1330610 писал(а):

почему остаточный член можно определить максимум со степенью $n$?

Потому что $f^{(n+1)}$ определена только в точке $x_0$, что годится для Пеано. Для Лагранжа же -- должен быть промежуток, в котором определена производная (ну или как там у Зорича в этом месте). Вот и получается максимум $n$-й порядок.

Тогда вроде бы у Зорича получается несостыковка, ведь для остаточного члена $r_{n-1}(x_0;x)$ (как у Зорича написано) в форме Лагранжа действительно необходимо, чтобы $n$-я производная была определена целиком на интервале $(x_0,x)$, а из условия задачи и определения производной вытекает только то, что точка $x_0$ является предельной для области определения $n$-й производной, что вовсе неравносильно тому, что область определения - это весь интервал $(x_0,x)$.
И кстати, если вы действительно правы, то тогда всё-таки в условии задачи надо было написать не $r_n(x_0;x)$, а $r_{n-1}(x_0;x)$

[DeBill]

Paul Ivanov в сообщении #1330616 писал(а):

тогда всё-таки в условии задачи надо было написать не $r_n(x_0,x)$, а $r_{n-1}(x_0,x)$

Видимо, да.
И чтоб снять все сомнения - напишите формулу с остат. членом в форме Пеано, да и докажите утверждение...

[thething]

Paul Ivanov
Область определения $n$-й производной -- какой-то интервал. Вот он и принимается за $(x_0,x)$.

[Paul Ivanov]

thething в сообщении #1330620 писал(а):

Paul Ivanov
Область определения $n$-й производной -- какой-то интервал. Вот он и принимается за $(x_0,x)$.

В условии задачи не сказано, что область определения $n$-й производной - это интервал и этот факт не вытекает из того, что существует $f^{(n+1)}(x_0)$. Прошу разъяснить, как вы сделали такой вывод.

-- 04.08.2018, 21:07 --

DeBill в сообщении #1330619 писал(а):

Paul Ivanov в сообщении #1330616 писал(а):

тогда всё-таки в условии задачи надо было написать не $r_n(x_0,x)$, а $r_{n-1}(x_0,x)$

Видимо, да.
И чтоб снять все сомнения - напишите формулу с остат. членом в форме Пеано, да и докажите утверждение...

Не очень понимаю, причём тут форма Пеано, когда речь идёт о гораздо более сильной форме Лагранжа.

[DeBill]

Paul Ivanov
Пеано - для следующей степени - сильнее Лагранжа ...

[thething]

Paul Ivanov
Я вижу постановку задачи, как логическое продолжение теоремы, с поправкой на порядки производных. Вот оттуда и интервал. Старшая производная нужна, чтобы доказать что-то дополнительное, ну и этот интервал выделить, как окрестность предельной точки.

[grizzly]

Paul Ivanov в сообщении #1330621 писал(а):

В условии задачи не сказано, что область определения $n$-й производной - это интервал...

Вы правы, в этом месте условие задачи сформулировано не вполне корректно. Действительно подразумевается, что выполнены условия Теоремы 2 (ну, или какого-то утверждения о разложении в ряд Тейлора). Не такая уж большая оплошность, но она есть, я полагаю.