Как правильно решить данную задачу в рамках СТО?

[FreeMind2000]

Условие:
Платформы А и Б движутся навстречу со скоростью $v$ относительно друг друга.
На каждой из платформ в центре установлена спичка (перпендикулярно платформе).
В момент, когда спички чиркнут друг о друга, происходит вспышка света.
Пусть платформа А покоится в ИСО А, платформа Б покоится в ИСО Б.
Пусть угол в ИСО Б между направлением движения фотона Ф (порожденного вспышкой) и направлением движения платформы Б равен $\pi / 4.

Требуется:
Определить угол движения того же самого фотона Ф в ИСО А.

Вопрос:
Правильно ли будет в данном случае использовать формулу аберрации света?

$\sin\theta = \frac{\sqrt{1-v^2/c^2}\sin\theta'}{1+(v/c)\cos\theta'}$

Т.е. решение будет такое:
$\theta’$ – угол в ИСО Б (известен $\pi / 4)
$\theta$ – угол в ИСО А

$\sin\theta = \frac{\sqrt{1-v^2/c^2}\sin(\pi / 4)}{1+(v/c)\cos(\pi / 4)}$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: тематика.

[warlock66613]

Записать уравнение мировой линии "фотона" $\mathbf r(t)$ в $\text{Б}$, затем применить преобразования Лоренца, чтобы получить уравнение этой же мировой линии в $\text{А}$.

[Munin]

FreeMind2000 в сообщении #1328339 писал(а):

Правильно ли будет в данном случае использовать формулу аберрации света?

Да, правильно.

[FreeMind2000]

warlock66613 в сообщении #1328355 писал(а):

Записать уравнение мировой линии "фотона" $\mathbf r(t)$ в $\text{Б}$, затем применить преобразования Лоренца, чтобы получить уравнение этой же мировой линии в $\text{А}$.

Да, если установить начало координат в центр вспышки, и считать начальным моментом времени событие «вспышка», то рассчитав координаты точки пересечения фотона с линией направления движения платформы в ИСО Б, можно затем сделать перевод координат этой точки из ИСО Б в ИСО А и посчитать, какой угол будет там. Результат должен совпасть с результатом по формуле аберрации света.

Munin в сообщении #1328357 писал(а):

FreeMind2000 в сообщении #1328339 писал(а):

Правильно ли будет в данном случае использовать формулу аберрации света?

Да, правильно.

Согласен.

Давайте теперь численно найдем решение задачи, приняв:
$c = 1$
$v = 2/3$

Тогда $\sin\theta = 0.358192644678968$
А угол $\theta = 0.3663313727548431$


Далее, если в ходе моего рассуждения будет ошибка – поправьте меня.

1. Рассчитанный угол является физическим параметром, который в принципе, можно измерить прибором.

2. Наблюдатель в ИСО Б измерит этот угол равным $\pi / 4 = 0.7853981633974483$

3. Наблюдатель в ИСО А измерит этот угол равным $a_1 = 0.3663313727548431$


Давайте забудем о ранее найденном решении, и представим, что никто о нем не знает.

Теперь, нам нужно решить новую задачу:

Условие:
Платформы А и Б движутся навстречу со скоростью $v$ относительно друг друга.
На каждой из платформ в центре установлена спичка (перпендикулярно платформе).
В момент, когда спички чиркнут друг о друга, происходит вспышка света.
Пусть платформа А покоится в ИСО А, платформа Б покоится в ИСО Б.
Пусть угол в ИСО А между направлением движения фотона Ф (порожденного вспышкой) и направлением движения платформы Б равен $0.3663313727548431.

Требуется:
Определить угол движения того же самого фотона Ф в ИСО Б.
Используем точно такую же формулу для решения, так как задачи полностью идентичны. В первой задаче нам был известен угол полета фотона в ИСО Б, а во второй нам известен угол полета того же самого фотона в ИСО А.

Т.е. решение будет такое:
$\theta’$ – угол в ИСО А (известен $a_1 = 0.3663313727548431$)
$\theta$ – угол в ИСО Б

$\sin\theta = \frac{\sqrt{1-v^2/c^2}\sin(a_1)}{1+(v/c)\cos(a_1)}$

Численно получаем такой результат:

$\sin\theta = 0.16455609048583078$
А угол $\theta = 0.16530794975253585$

Теперь мы вспоминаем о нашем первом решении и оказывается, что в ИСО Б :
Решение1: угол полета фотона = $\pi / 4 = 0.7853981633974483$
Решение2: угол полета фотона = $0.16530794975253585$

Т.е. не понятно, какой угол полета фотона реально измерит наблюдатель в ИСО Б.

[Munin]

FreeMind2000 в сообщении #1328387 писал(а):

Используем точно такую же формулу для решения, так как задачи полностью идентичны.

Здесь ошибка. Вам нужно использовать формулу, подставляя в неё скорость с учётом изменения направления скорости. То есть, численно

$\sin\theta=\dfrac{\sqrt{1-v^2/c^2}\,\sin(a_1)}{1-(v/c)\cos(a_1)}.$

[FreeMind2000]

Вопрос заключается в критерии выбора формулы.

Почему в первом случае мы выбираем “+”, а в другом “-” ?
Ведь в условии задачи изменились только буквы А и Б, при этом, с точки зрения наблюдателей в ИСО А и в ИСО Б – эксперимент полностью идентичен (и там и там, одна платформа покоится, а другая движется в её сторону).

Когда мы решаем задачу №2, мы не знаем о задаче №1, при этом угол $a_1$ можно считать полученным экспериментально при измерении в ИСО А.

[Pphantom]

Потому что относительная скорость одной ИСО в другой - вектор, и скорости движения первой ИСО во второй и второй - в первой противоположны по направлению.

[warlock66613]

Критерий в том, что в одном случае $v$ и $\cos \theta$ одного знака, а в другом — разных, а уж считать ли, что скорость отрицательна, или что угол $\theta' = \pi - \theta$ — значения не имеет.

[Munin]

FreeMind2000 в сообщении #1328474 писал(а):

Почему в первом случае мы выбираем “+”, а в другом “-” ?

Это надо нарисовать рисунок.

FreeMind2000 в сообщении #1328474 писал(а):

Ведь в условии задачи изменились только буквы А и Б

Дело в том, от чего вы отсчитываете угол $\theta,$ и как по отношению к нему направлена скорость. Аберрация физически всегда устроена одинаково: когда вы движетесь вперёд, фотоны начинают лететь вам навстречу. А вот формулы могут отображать это по-разному, смотря как вы отсчитываете угол: от направления "вперёд" или от направления "назад". То, что с точки зрения А "вперёд", то с точки зрения Б "назад", отсюда и разные знаки в двух формулах.

А можно поступить по совету warlock66613, тогда вы не только не запутаетесь, и получите сами эту формулу аберрации, но и заодно получите формулу эффекта Доплера (потому что это части одного и того же эффекта).

[FreeMind2000]

Cоглашусь со всеми.
Угол, полученный в задаче №1, можно применять в задаче №2 в той же формуле (с «+»), только, если мы поменяем направление оси координат, и соответственно, тогда он будет равен $\pi - a_1$, либо сразу использовать формулу (c «-»).

Но у меня в понятие «критерий выбора» вкладывлся несколько иной смысл.

Центр вспышки с точки зрения платформы А – покоится в ИСО А, и расположен перпендикулярно к центру платформы.
Центр вспышки с точки зрения платформы Б – покоится в ИСО Б и расположен перпендикулярно к центру платформы.
Пусть вспышка порождает всего N фотонов, где N – конечное число.

Допустим, эти фотоны будут распределены равномерно по окружности в ИСО А, тогда в ИСО Б – эти N фотонов будут распределены неравномерно (из-за аберрации в направлении движения платформы Б будет больше фотонов).

Допустим, эти фотоны будут распределены равномерно по окружности в ИСО Б, тогда в ИСО А – эти N фотонов будут распределены неравномерно (из-за аберрации в направлении движения платформы А будет больше фотонов).

Так как же должны быть распределены фотоны по окружности в ИСО А и Б, после вспышки?
Как найти углы, по которым должны двигаться эти N фотонов?

В нашей задаче №1 указан угол полета фотона Ф в ИСО Б равный $\pi / 4$, т.е. мы изначально по умолчанию решили, что среди этих N фотонов данный фотон Ф существует. Соответственно, если он движется под углом $\pi / 4$ в ИСО Б, то СТО требует, чтобы в ИСО А он двигался под углом $a_1$.

Но, точно так же мы вправе изначально предположить, что угол полета фотона Ф будет равен $\pi / 4$ не в ИСО Б, а в ИСО А. Соответственно, если он движется под углом $\pi / 4$ в ИСО А, то СТО требует, чтобы в ИСО Б он двигался под углом $a_1$.

Если начиная с фотона Ф и угла $\pi / 4$, мы расставим в ИСО Б все остальные фотоны равномерно по окружности, то выяснится, что мы почему-то считаем, что фотоны в ИСО Б – должны быть распределены равномерно.

Если начиная с фотона Ф и угла $\pi / 4$, мы расставим в ИСО А все остальные фотоны равномерно по окружности, то выяснится, что мы почему-то считаем, что фотоны в ИСО А – должны быть распределены равномерно.

Таким образом у нас нет критерия выбора, по которому мы можем определить, в какой ИСО А или Б, фотон Ф (входящий в общее число фотонов вспышки N) имеет значение $\pi / 4$.

И с точки зрения СТО, получается, нет возможности найти углы, по которым должны двигаться N фотонов вспышки созданной нашими спичками.

Можно переформулировать задачу в виде вопроса:
Как найти траекторию движения фотонов порожденных вспышкой из задачи №1, если известно, что при вспышке было создано 8 фотонов (т.е. конечное число)?

[Geen]

FreeMind2000 в сообщении #1328696 писал(а):

Как найти углы, по которым должны двигаться эти N фотонов?

"Фотоны" никому ничего не должны. И как они где-то там будут распределены зависит исключительно от конструкции излучателя, а не от "логики", "принципов относительности" и т.п.

[oleg_2]

Нужно так сформулировать. Пусть каждая спичка, будучи неподвижной, в момент вспышки излучает по 8 фотонов (см. примечание). Все углы равны. В ИСО, где спичка неподвижна, получится такая звезда, типа фейерверка. В другой ИСО этот фейерверк будет косой.
Если спички две, по одной в каждой ИСО, и они вспыхивают одновременно, то в каждой ИСО будет наблюдаться смесь двух фейерверков, прямого и косого. Эффект Доплера еще будет.

Примечание. Здесь фотон это сгусток света подобный как от короткой вспышки лазера, в СТО фотонов нет.

[Munin]

Специально о решении этой задачи (полезной в физике элементарных частиц) написана популярная книжка
Копылов. Всего лишь кинематика.

[FreeMind2000]

Munin в сообщении #1328748 писал(а):

Специально о решении этой задачи (полезной в физике элементарных частиц) написана популярная книжка
Копылов. Всего лишь кинематика.

Очень хорошая книга, спасибо за информацию.

oleg_2 в сообщении #1328714 писал(а):

Нужно так сформулировать. Пусть каждая спичка, будучи неподвижной, в момент вспышки излучает по 8 фотонов (см. примечание). Все углы равны. В ИСО, где спичка неподвижна, получится такая звезда, типа фейерверка. В другой ИСО этот фейерверк будет косой.
Если спички две, по одной в каждой ИСО, и они вспыхивают одновременно, то в каждой ИСО будет наблюдаться смесь двух фейерверков, прямого и косого. Эффект Доплера еще будет.

Примечание. Здесь фотон это сгусток света подобный как от короткой вспышки лазера, в СТО фотонов нет.

Вся проблема в том, как рассчитать эту смесь фейерверков, находясь только в одной ИСО. К тому же, наблюдение одновременно прямого (круг) и косого (эллипс) фейерверка – приводит к существованию сверхсветовых скоростей у фотонов.


Я пришел к другому решению, но оно тоже содержит «противоречие», собственно для его демонстрации и обсуждения и была создана эта тема.

Для начала, действительно, надо более строго переформулировать задачу в терминах элементарных частиц:

Пусть, вместо спичек, параллельно платформам с той же скоростью движутся две одинаковые частицы (мы не будем конкретизировать, что это за частицы и существуют ли они в реальности, в общем случае это 2 сгустка энергии). При столкновении этих частиц выделяется достаточно энергии для создания 8 фотонов, и известно, что именно эти 8 фотонов всегда и создаются.

Для расчета траекторий полетов фотонов воспользуемся известным приемом, при столкновении будем считать, что появляется новая виртуальная частица, наша задача проследить реакцию распада этой частицы. При этом мы считаем, что в ИСО, в которой новая частица покоится, нет ограничений на направление движения получившихся после её распада фотонов и излучение изотропно.


Теперь самое интересное.

С точки зрения СТО, должно быть так:

1. Если виртуальная частица покоится в ИСО платформы А, то в ИСО А, после вспышки излучение изотропно, а с точки зрения ИСО Б – излучение не изотропно.

2. Если виртуальная частица покоится в ИСО платформы Б, то в ИСО Б, после вспышки излучение изотропно, а с точки зрения ИСО А – излучение не изотропно.

Возникает вопрос:

Если две одинаковые частицы сталкиваются друг с другом на встречных курсах, в какой ИСО будет покоиться источник света (новая виртуальная частица, которая должна распасться)?

Вспышка (появление виртуальной частицы) - это точечное событие, которое связано с конкретной точкой пространства (центр вспышки) и только в один единственный момент времени, а потом она исчезает. Таким образом, с точки зрения любой из платформ, источник света (виртуальная частица) находится перпендикулярно центру платформы и покоится в ИСО каждой из платформ. Почему покоится? Потому что источник света существует только в момент t=t'=0 (если мы берем за начальный момент времени событие «вспышка»), в следующий момент времени, источник света уже не существует (т.е. он не может двигаться относительно платформ). Это по факту означает, что точечный источник света покоится во всех ИСО, существующих во вселенной (т.к. он не может двигаться ни в одной из них).

Соответственно, если источник света (виртуальная частица) покоится в ИСО каждой из платформ, то с их точки зрения пункты 1 и 2 должны выполняться одновременно – а это невозможно.