2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 14:06 


15/04/18
15
realeugene в сообщении #1309362 писал(а):
fenbcn в сообщении #1309361 писал(а):
Вы хотите увидеть, как у массы написаны килограммы, у температуры - кельвины и т.д.? Почему мне приходится гадать?
Я хочу, чтобы вы сами разобрались с необходимыми основами из школьной физики. И сами написали правильно.

Возможно, и правда, здесь глупая ошибка, но я не увижу ее, раз она глупая.
Меня задевают Ваши необоснованные замечания, пожалуйста, давайте без этого. "Основы школьной физики" мне говорят:
Размерность $dv_x, dv_y, dv_z$ это $\frac{m}{s}$
Размерность $f(v_x,v_y,v_z)$ это $(\frac{m}{s})^{-3}$
Размерность $F(v)=4\pi v^2 f(v_x,v_y,v_z)$ это $\frac{s}{m}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 14:19 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
fenbcn в сообщении #1309364 писал(а):
Размерность $f(v_x,v_y,v_z)$ это $(\frac{m}{s})^{-3}$
Размерность $F(v)=4\pi v^2 f(v_x,v_y,v_z)$ это $\frac{s}{m}$
Ну вот, как видите, размерности $f$ и $F$ отличаются. Тогда каков физический смысл утверждения, что одна из этих функций при каком-либо значении параметров больше или меньше другой?

P.S. И не кипятитесь, объяснять очевидные вещи обычно сложнее, чем более-менее содержательные - именно потому, что объясняющему очень трудно понять, что тут непонятного. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
fenbcn в сообщении #1309337 писал(а):
Хочу посчитать число точек в кубике $Q$. Для этого нужно взять распределение по направлениям скоростей и проинтегрировать трижды от $-a/2$ до $a/2$.

Вы почему-то ошибочно называете распределение по трёхмерному пространству скоростей "распределением по направлениям скоростей".

Нет, направление - это тоже отдельная математическая величина. Все параллельные сонаправленные оси имеют одно направление, а если они не параллельны - разные. Направление можно взаимно-однозначно связать с точкой на сфере (например, на единичной сфере). (Я здесь не говорю о направлениях в случае ненаправленных прямых.) Получается "пространство направлений", и можно ввести соответствующее "распределение по направлениям". Однако для распределения Максвелла, это будет однородное распределение.

fenbcn в сообщении #1309337 писал(а):
Теперь хочу посчитать число точек в шаре $S$ с диаметром, равным диагонали $Q$. Для этого нужно взять распределение Максвелла по модулям скоростей

Нет, не обязательно. Можно взять то же самое распределение по трёхмерному пространству скоростей, и проинтегрировать по шару. Ответ получится тот же самый.

По сути, распределение по модулям скоростей - это заранее вычисленный промежуточный шаг в таком интегрировании. Ничего больше.

fenbcn в сообщении #1309337 писал(а):
Вероятность быть около нуля хотя и максимальна, но очень мала.

Именно так. А когда рисуют графики, то их нормируют, чтобы сам график оказался достаточно заметным на рисунке, а не сливался, например, с осью абсцисс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 16:17 


27/08/16
9426
fenbcn в сообщении #1309364 писал(а):
"Основы школьной физики" мне говорят:

Уже прогресс.
А теперь посчитайте те же "вероятности", которые вы посчитали численно и выписали выше, только, перейдя от секунд к микросекундам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 16:18 


15/04/18
15
Pphantom в сообщении #1309366 писал(а):
fenbcn в сообщении #1309364 писал(а):
Размерность $f(v_x,v_y,v_z)$ это $(\frac{m}{s})^{-3}$
Размерность $F(v)=4\pi v^2 f(v_x,v_y,v_z)$ это $\frac{s}{m}$
Ну вот, как видите, размерности $f$ и $F$ отличаются. Тогда каков физический смысл утверждения, что одна из этих функций при каком-либо значении параметров больше или меньше другой?

Сравниваются не плотности вероятности. Сравниваются вероятности, которые безразмерные, о чем я уже писал

-- 02.05.2018, 16:25 --

realeugene в сообщении #1309420 писал(а):
fenbcn в сообщении #1309364 писал(а):
"Основы школьной физики" мне говорят:

Уже прогресс.
А теперь посчитайте те же "вероятности", которые вы посчитали численно и выписали выше, только, перейдя от секунд к микросекундам.

$$dP(v=0)=(\frac{\mu}{2\pi RT})^{3/2} (\frac{m}{s})^{-3}\cdot 1 \frac{m}{s}\cdot 1 \frac{m}{s}\cdot 1 \frac{m}{s}=(\frac{\mu}{2\pi RT})^{3/2} 10^{18}(\frac{m}{\mu s})^{-3}\cdot 10^{-6} \frac{m}{\mu s}\cdot 10^{-6} \frac{m}{\mu s}\cdot 10^{-6} \frac{m}{\mu s}$$
$$dP(v=\sqrt{\frac{2RT}{m}})=\frac{4}{e}(\frac{\mu}{2\pi RT})^{1/2}10^{6}\frac{\mu s}{m}\cdot 10^{-6}\frac{m}{\mu s}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 16:26 


27/08/16
9426
Вы же раньше числа записывали. Что вас сейчас останавливает от этого шага?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 16:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
fenbcn в сообщении #1309421 писал(а):
Сравниваются не плотности вероятности. Сравниваются вероятности, которые безразмерные, о чем я уже писал

Вот чтобы их сравнить, их надо как-то проинтегрировать. Проинтегрировать по разным вещам. Вот тут у вас и будет заложен параметр масштаба, который вы пытались замести под ковёр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 16:34 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
fenbcn в сообщении #1309421 писал(а):
Сравниваются не плотности вероятности. Сравниваются вероятности, которые безразмерные, о чем я уже писал
Писать-то писали, но в действительности делали нечто другое. Фактически Вы, "сравнивая вероятности", приписывали $dv_x$, $dv_y$, $dv_z$ и $dv$ произвольные (единичные) значения, что, с одной стороны, делает сравнение бессмысленным (объемы в пространстве скоростей, вероятности попадания в которые Вы пытаетесь сравнивать, получаются разными), с другой - de facto просто выкидывает эти множители из рассмотрения, после чего Вы таки сравниваете именно плотности вероятностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 16:52 


19/04/18
28
Предлагаю топикстартеру такой подход к осмыслению вопроса:
1. Функцию распределения можно понимать не единственным способом.
Первый способ - $\omega(E) d\Gamma$. $\omega$ - наша первая функция распределения, $d\Gamma$ - дифференциал стат.веса, то есть часть количества микросостояний, которые могут реализовать данное макросостояние. Вот это произведение - малая вероятность системе находиться в заданном малом количестве микросостояний.
Здесь неявно упомянуто, что $\omega$ - функция от энергии системы, это утверждение содержательно и обосновывается в курсе статфизики. Для затронутого в топике распределения Максвелла
$\omega(E) = e^{-\dfrac{E}{kT}} = e^{-\dfrac{p^2}{2mkT}}$.
Теперь попробуем применить это рассуждение к разным системам:
1) Одна частица с заданной энергией.
Понятно, что такое распределение не может быть верно для частицы с заранее заданной энергией! Для нее распределение будет дельта функцией от энергии системы, чтобы будучи проинтегрированным по всем состояниям, в накапливаемую вероятность в системе добавлялись только состояния, реализующие именно эту энергию.
2) Несколько частиц с заданной энергией системы.
Ящик(комната) с извне заданной суммарной энергией частиц.
Рассуждаем, подобно положению в начале топика: "применяем" нашу первую функцию распределения
$\omega(E) = e^{-\dfrac{E}{kT}} = e^{-\dfrac{p^2}{2mkT}}$
к частице из ящика и получаем, что "самые вероятные" микросостояния - соответствующие энергии 0. И так для каждой частицы. Но тогда "самое вероятное" значение для энергии всей системы будет тоже 0, что противоречит самой постановке задачи.
Теперь необходимо раскрыть второй способ рассуждения о функции распределения, который даст логичный ответ на поставленный вопросы.
2
Второй способ - $W(E) dE$. Здесь $dE$ - интервал энергий, $W(E)$ - вторая функция распределения, и произведение дает малую вероятность системе пребывать в состоянии с энергией из интервала $dE$.
Связь между функциями $\omega$ и $W$ такая: $\omega d\Gamma = W dE$ (по смыслу: вероятность находиться в микросостоянии, реализующем данную энергию, равна ей же в правой части).
Теперь представим себе фазовое пространство одной частицы. Чтобы найти наиболее вероятное микросостояние, реализующее ее макросостояние, необходимо пользоваться функцией $\omega$; это будет убывающая экспонента от энергии.
Но чтобы найти наиболее вероятную энергию частицы, необходимо пользоваться функцией $W$.
Подсчитаем ее: $W = \omega \dfrac{d\Gamma}{dE}$. $d\Gamma = \dfrac{dp dq}{(2\pi \hbar)^3}$ (одно состояние системы соответствует одной клетке фазового объема, равной $(2\pi \hbar)^3$). Опустим $dq$ для однородного ящика распределение будет равномерным ко координате и при интегрировании даст просто объем ящика и опустим константу $(2\pi \hbar)^3$, записав всю эту информацию в символ $A$. Тогда $W= A \omega \dfrac{dp}{dE}$. Вспоминаем зависимость импульса от энергии для нерелятивистской частицы $p = \sqrt{2mE}$, берем производную, подставляем $\omega$ и получаем:
$W = A|p|e^{-\dfrac{p^2}{2mkT}}$. Вот у этой функции от энергии (или модуля импульса) уже есть определенный максимум - наиболее вероятную энергию частицы.
Резюмируем:
1) Функция распределения по количеству состояний в зависимости от энергии имеет максимум в 0.
2) Функция распределения по энергии в зависимости от энергии имеет максимум в средней энергии частицы.
3) Переход от одной к другой выполняется с помощью домножения на $\dfrac{d\Gamma}{dE}$.
Можно увидеть из этого, что различные энергии реализуются различным числом состояний (зависимость $\dfrac{d\Gamma}{dE}$). Выходит, несмотря на то, что по первой функции распределения частица пребывает большую часть времени в состояниях близких к энергии 0, то по второй функции распределения оказывается, что таких состояний, возможных для реализации, для данной системы просто мало. Вероятность находиться в этих состояниях высока, а состояний мало. Функция $W$ учитывает оба этих фактора, и вероятность находиться в состояниях, и число состояний и дает правильный логически ответ.
Физическая сторона вопроса: почему мало состояний с энергиями, близкими к 0? Именно из-за того, что у "ящика" заданная энергия; это макросостояние реализуется большим количеством определенных ненулевых средних энергий частиц.
Буду рад коррективам, фактически все содержание поста - выдержка из главы 1 ЛЛ-5.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 16:54 


15/04/18
15
realeugene в сообщении #1309426 писал(а):
Вы же раньше числа записывали. Что вас сейчас останавливает от этого шага?

Потому что я получаю то же самое.
Pphantom в сообщении #1309434 писал(а):
fenbcn в сообщении #1309421 писал(а):
Сравниваются не плотности вероятности. Сравниваются вероятности, которые безразмерные, о чем я уже писал
Писать-то писали, но в действительности делали нечто другое. Фактически Вы, "сравнивая вероятности", приписывали $dv_x$, $dv_y$, $dv_z$ и $dv$ произвольные (единичные) значения, что, с одной стороны, делает сравнение бессмысленным (объемы в пространстве скоростей, вероятности попадания в которые Вы пытаетесь сравнивать, получаются разными), с другой - de facto просто выкидывает эти множители из рассмотрения, после чего Вы таки сравниваете именно плотности вероятностей.

Для воздуха при комнатной температуре шаг в пространстве скоростей около нуля на расстояние $1\frac{m}{s}$ меняет распределение на $10^{-4}\%$, поэтому я оцениваю интеграл $$\int\limits_{-1/2 \frac{m}{s}}^{1/2 \frac{m}{s}}\int\limits_{-1/2 \frac{m}{s}}^{1/2 \frac{m}{s}}\int\limits_{-1/2 \frac{m}{s}}^{1/2 \frac{m}{s}}f(v_x,v_y,v_z)dv_xdv_ydv_z$$
как
$$f(0,0,0)\cdot \Delta v_x \Delta v_y \Delta v_z=f(0,0,0)\cdot 1^3$$
Я понимаю, что есть такая область температур и масс, где шаг $1\frac{m}{s}$ не будет считаться малым.
Для оценки неважно, будет ли шар вписан в кубик, или кубик в шар, поэтому и $\Delta v$ я брал равным $1\frac{m}{s}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 16:56 


27/08/16
9426
fenbcn в сообщении #1309364 писал(а):
Возможно, и правда, здесь глупая ошибка, но я не увижу ее, раз она глупая.

У вас, на самом деле, ошибка одна, но очень серьёзная. Вы, действительно, не понимаете физический смысл формул, которые вы записываете. Хорошо, что вы начали это осознавать и начали задавать тут вопросы. Плохо то, что ваша гордыня вам мешает осознать, в насколько базовых понятиях в физике вы сейчас плаваете.

-- 02.05.2018, 16:59 --

fenbcn в сообщении #1309442 писал(а):
Потому что я получаю то же самое.

Тогда вы считаете неверно.
Вы не забыли, что в $R$ и $T$ тоже входит время? Впрочем, если T в Кельвинах, то время входит только в $R$.

-- 02.05.2018, 17:03 --

fenbcn в сообщении #1309442 писал(а):
Для оценки неважно, будет ли шар вписан в кубик, или кубик в шар, поэтому и $\Delta v$ я брал равным $1\frac{m}{s}$

Если "для оценки не важно", тогда вы неправильно посчитали, так как у вас числа отличаются на три порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 17:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
fenbcn
Увы, у вас действительно проблемы. Вы не понимаете, что $(1\tfrac{\text{м}}{\text{с}})^3$ - никак не единичный объём.

Величины размерные в физике просто никак не сопоставимы с математическими безразмерными. Надо к этому привыкнуть (а в школе этого навыка сейчас не дают).

Чтобы немного продвинуться в этом направлении, возьмите другие единицы измерения. Не $\tfrac{\text{м}}{\text{с}},$ а $\tfrac{\text{км}}{\text{с}},$ $\tfrac{\text{см}}{\text{с}},$ $\tfrac{\text{км}}{\text{час}},$ $\tfrac{\text{мм}}{\text{год}}$ и т. п.

У вас распределения будут меняться (довольно очевидным образом, но меняться). Так вот, важно то, что они будут меняться по-разному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 17:13 


27/08/16
9426
fenbcn в сообщении #1309442 писал(а):
поэтому я оцениваю интеграл $$\int\limits_{-1/2 \frac{m}{s}}^{1/2 \frac{m}{s}}\int\limits_{-1/2 \frac{m}{s}}^{1/2 \frac{m}{s}}\int\limits_{-1/2 \frac{m}{s}}^{1/2 \frac{m}{s}}f(v_x,v_y,v_z)dv_xdv_ydv_z$$
А, понятно, вы вместо объёма шара берёте объем кубика. А зачем? Формулу объёма шара, думаю, вы знаете.

fenbcn в сообщении #1309442 писал(а):
$$f(0,0,0)\cdot \Delta v_x \Delta v_y \Delta v_z=f(0,0,0)\cdot 1^3$$

Никогда так не пишите. Вы опять в равенстве теряете размерности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 17:14 


15/04/18
15
realeugene в сообщении #1309444 писал(а):
Тогда вы считаете неверно.
Вы не забыли, что в $R$ и $T$ тоже входит время? Впрочем, если T в Кельвинах, то время входит только в $R$.

Не забыл, так как я сразу написал размерность плотности вероятности, которая получится, если подставить все $R, T, m$, рядом с ней

se-sss и Goroshek уже ответили на вопрос. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 17:25 


27/08/16
9426

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1309457 писал(а):
(а в школе этого навыка сейчас не дают).

Что, на самом деле сейчас детей в школе не учат считать единицы измерения физвеличин?


-- 02.05.2018, 17:38 --

fenbcn в сообщении #1309421 писал(а):
$$dP(v=\sqrt{\frac{2RT}{m}})=\frac{4}{e}(\frac{\mu}{2\pi RT})^{1/2}10^{6}\frac{\mu s}{m}\cdot 10^{-6}\frac{m}{\mu s}$$


Вы осознаёте, что это ваше выражение записано некорректно? Слева в вашем равенстве написан дифференциал вероятности с непрерывным распределением, т. е. бесконечно малая, а справа - конечная величина. Слева написана величина безразмерная, справа - размерная.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group