2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Понимание распределения Максвелла
Сообщение01.05.2018, 23:13 


15/04/18
15
Кол-во частиц $dN$, имеющих скорости в интервале $[v_x; v_x+dv_x]\times[v_y; v_y+dv_y]\times[v_z; v_z+dv_z]$, определяется распределением Максвелла:
$$dN=N\cdot f(v_x,v_y,v_z)\cdot dv_xdv_ydv_z=N\cdot (\frac{m}{2\pi kT})^{3/2}\exp(-m\frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{2kT})\cdot dv_xdv_ydv_z$$
Согласно этой формуле, частиц со скоростями, близкими к нулю, больше всего: $(\frac{dN}{N})_{\max}=(\frac{m}{2\pi kT})^{3/2}dv_xdv_ydv_z$
Кол-во частиц, имеющих скорости в интервале $[v; v+dv]$ дается распределением по абсолютным значениям скоростей:
$$dN=N\cdot F(v)\cdot dv=N\cdot f(v_x,v_y,v_z)\cdot 4\pi v^2dv=N\cdot (\frac{m}{2\pi kT})^{3/2}\exp(-\frac{mv^2}{2kT})\cdot 4\pi v^2dv$$
По этой формуле частиц с близкими к нулю скоростями нет, а больше всего приходится на скорости, близкие к $\sqrt{\frac{2kT}{m}}$
У меня непонимание всего этого. Во втором случае мы не учитываем направление скорости, и понятно, почему растет число частиц где-то вдали от нуля. Но непонятно, почему оно падает около нуля. Чего на самом деле больше: частиц со скоростями, близкими к нулю, или частиц со скоростями, близкими к $\sqrt{\frac{2kT}{m}}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение01.05.2018, 23:31 


31/12/13
100
Ну, так первая формула нам говорит о том, что в фазовом пространстве частицы распределены изотропно по направлениям. А вторая говорит нам, что их суммарная энергия не равна нулю. Вторая функция распределения--по модулям скорости же. А первая по проекциям на декартову СК. В чем вопрос то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 00:29 


27/08/16
9426
fenbcn в сообщении #1309241 писал(а):
У меня непонимание всего этого.

Это просто геометрия. Объём шара пропорционален кубу радиуса. Пусть у вас шар радиусом $R$ имеет объём $V$. В окрестности центра шара радиусом $R/{10}$ сосредоточен объём всего $V/{1000}$

fenbcn в сообщении #1309241 писал(а):
Чего на самом деле больше: частиц со скоростями, близкими к нулю, или частиц со скоростями, близкими к $\sqrt{\frac{2kT}{m}}$?
Какова ваша мера близости? Задайте меру, какую хотите, и проинтегрируйте сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 00:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Вообразите себе трёхмерное пространство скоростей. Первая формула задаёт распределение в этом трёхмерном пространстве. Вторая - это если мы разделим это пространство сферами на тонкие слои, и посчитаем распределение по слоям. При этом, первое распределение умножается на объём слоя - фактически на площадь сферы $4\pi|v|^2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 12:11 


21/10/15
196
fenbcn

Частиц, у которых скорость очень маленькая, весьма мало.
А вот частиц, у которых скорость маленькая только вдоль одной из осей координат, сравнительно много.
И если сделать выборку по всем таким частицам, то окажется, что в среднем у них скорость очень даже приличная.

Таким образом, чтобы скорость была совсем околонулевая, нужно, чтобы она была околонулевой по каждой из осей.
То есть накладывается сразу 3 условия, что делает такую возможность совсем маловероятной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 12:18 


15/04/18
15
Я неудачно выразился. Не понимаю не все, а то, что обозначил в вопросе (возможно, это и правда свидетельствует о непонимании всего).
Пространство скоростей, кубики с ребрами $dv_x, dv_y, dv_z$, сферические слои толщиной $4\pi v^2dv$ - понятно. Как интерпретировать результаты - не понятно. Летает ли частица в каком-то направлении чаще со скоростью $\sqrt{\frac{2kT}{m}}$, или со скоростью $0$?
Попробую разложить рассуждения по шагам, тогда будет проще сказать, что я не понимаю.
1. В пространстве скоростей много точек в кубике с вершиной в нуле (около нуля), согласно распределению по направлениям.
2. Можно брать кубики не с вершиной в рассматриваемой точке, а с центром в ней. Тогда по-прежнему в кубике $Q$ около нуля (с центром в нуле) больше всего точек.
3. Какими бы мы не брали ребра кубиков, в $Q$ всегда больше точек. Поэтому для дальнейших рассуждений можно взять кубики с равными ребрами: $dv_x=dv_y=dv_z\equiv a$
3. Теперь рассматриваем сферические слои. В слоях сначала растет число точек, затем падает. Это из-за того, что кол-во точек с расстоянием от нуля убывает быстрее, чем нарастает объем сферического слоя.
4. Что неясно: почему в самом первом слое точек нет (согласно распределению по модулям)? Речь про слой, ограниченный сферами с радиусами $0$ и $dv$. Если $2dv$ есть диагональ $Q$, то в слой попадет много точек. Возможно, меньше, чем в слой около $\sqrt{\frac{2kT}{m}}$, но по крайней мере не ноль.

Последнее иными словами:
Хочу посчитать число точек в кубике $Q$. Для этого нужно взять распределение по направлениям скоростей и проинтегрировать трижды от $-a/2$ до $a/2$. Допустим, получили число $n$. Теперь хочу посчитать число точек в шаре $S$ с диаметром, равным диагонали $Q$. Для этого нужно взять распределение Максвелла по модулям скоростей и проинтегрировать от нуля до радиуса шара $\frac{\sqrt{3}a}{2}$. Допустим, получили число $m$. Кажется, что $m>n$. Если так, тогда $m>0$

-- 02.05.2018, 12:32 --

se-sss

Кажется, теперь понимаю. Вероятность быть около нуля хотя и максимальна, но очень мала. Для воздуха при комнатной температуре $dP(v=0)=(\frac{\mu}{2\pi RT})^{3/2}\sim 10^{-9}$. Вероятность иметь скорость $\sqrt{\frac{2RT}{m}}$ в данном направлении еще меньше, но суммирование по всем направлениям даст много большую вероятность иметь такую скорость вообще: $dP(v=\sqrt{\frac{2RT}{m}})=\frac{4}{e}(\frac{\mu}{2\pi RT})^{1/2}\sim 10^{-3}$. Это также много больше вероятности быть около нуля.
Все верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 12:37 


27/08/16
9426
fenbcn в сообщении #1309337 писал(а):
Все верно?

Нет, конечно. Плотность вероятности не является безразмерной величиной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 12:47 


15/04/18
15
realeugene в сообщении #1309343 писал(а):
fenbcn в сообщении #1309337 писал(а):
Все верно?

Нет, конечно. Плотность вероятности не является безразмерной величиной.

Само собой. Написана вероятность, где выбраны единичные $dv_x, dv_y, dv_z, dv$

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 13:19 


27/08/16
9426
fenbcn в сообщении #1309345 писал(а):
Написана вероятность, где выбраны единичные
Так и допишите размерность к каждой величине. Это - не мелочь, особенно, в данном случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 13:28 


15/04/18
15
realeugene в сообщении #1309352 писал(а):
fenbcn в сообщении #1309345 писал(а):
Написана вероятность, где выбраны единичные
Так и допишите размерность к каждой величине. Это - не мелочь, особенно, в данном случае.

$$dP(v=0)=(\frac{\mu}{2\pi RT})^{3/2} (\frac{m}{s})^{-3}\cdot 1 \frac{m}{s}\cdot 1 \frac{m}{s}\cdot 1 \frac{m}{s}=(\frac{\mu}{2\pi RT})^{3/2}$$
$$dP(v=\sqrt{\frac{2RT}{m}})=\frac{4}{e}(\frac{\mu}{2\pi RT})^{1/2}\frac{s}{m}\cdot 1 \frac{m}{s}$$
Вы сейчас конструктива никакого не вносите

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 13:29 


27/08/16
9426
fenbcn в сообщении #1309356 писал(а):
Вы сейчас конструктива никакого не вносите

Это не вам судить.
Вы неправильно написали размерности. Начинайте думать в физике как физик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 13:37 


15/04/18
15
realeugene в сообщении #1309357 писал(а):
Вы неправильно написали размерности.

Вы имеете в виду неправильность верстки или самих соотношений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 13:47 


27/08/16
9426
fenbcn в сообщении #1309359 писал(а):
Вы имеете в виду неправильность верстки или самих соотношений?

Я имею в виду, что то, что вы написали, не имеет отношения к понятию "размерности".

Кстати, строго говоря, и с точки зрения математики ваши выражения записаны некорректно, так как в левой части у вас написан дифференциал, а справа - число.

Похоже, вы, научившись жонглировать формулами, так и не научились видеть за этими формулами физику. Так учитесь. Начинайте с повторения основ. Размерности физических величин - это основы, без которых более сложные вещи понять нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 13:57 


15/04/18
15
realeugene в сообщении #1309360 писал(а):
fenbcn в сообщении #1309359 писал(а):
Вы имеете в виду неправильность верстки или самих соотношений?

Я имею в виду, что то, что вы написали, не имеет отношения к понятию "размерности".

Кстати, строго говоря, и с точки зрения математики ваши выражения записаны некорректно, так как в левой части у вас написан дифференциал, а справа - число.

Похоже, вы, научившись жонглировать формулами, так и не научились видеть за этими формулами физику. Так учитесь. Начинайте с повторения основ. Размерности физических величин - это основы, без которых более сложные вещи понять нельзя.

Вы попросили дописать размерность к каждой величине. Я это сделал. Вы говорите, что что-то неправильно. Я спрашиваю, что. Вместо того, чтобы помочь, Вы принимаетесь осуждать.
Вы хотите увидеть, как у массы написаны килограммы, у температуры - кельвины и т.д.? Почему мне приходится гадать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание распределения Максвелла
Сообщение02.05.2018, 13:58 


27/08/16
9426
fenbcn в сообщении #1309361 писал(а):
Вы хотите увидеть, как у массы написаны килограммы, у температуры - кельвины и т.д.? Почему мне приходится гадать?
Я хочу, чтобы вы сами разобрались с необходимыми основами из школьной физики. И сами написали правильно.

Из-за того, что вы в этих вопросах плаваете, вы и сравниваете тёплое с мягким.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group