Понимание распределения Максвелла

[fenbcn]

Кол-во частиц $dN$, имеющих скорости в интервале $[v_x; v_x+dv_x]\times[v_y; v_y+dv_y]\times[v_z; v_z+dv_z]$, определяется распределением Максвелла:

$$dN=N\cdot f(v_x,v_y,v_z)\cdot dv_xdv_ydv_z=N\cdot (\frac{m}{2\pi kT})^{3/2}\exp(-m\frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{2kT})\cdot dv_xdv_ydv_z$$

Согласно этой формуле, частиц со скоростями, близкими к нулю, больше всего: $(\frac{dN}{N})_{\max}=(\frac{m}{2\pi kT})^{3/2}dv_xdv_ydv_z$
Кол-во частиц, имеющих скорости в интервале $[v; v+dv]$ дается распределением по абсолютным значениям скоростей:

$$dN=N\cdot F(v)\cdot dv=N\cdot f(v_x,v_y,v_z)\cdot 4\pi v^2dv=N\cdot (\frac{m}{2\pi kT})^{3/2}\exp(-\frac{mv^2}{2kT})\cdot 4\pi v^2dv$$

По этой формуле частиц с близкими к нулю скоростями нет, а больше всего приходится на скорости, близкие к $\sqrt{\frac{2kT}{m}}$
У меня непонимание всего этого. Во втором случае мы не учитываем направление скорости, и понятно, почему растет число частиц где-то вдали от нуля. Но непонятно, почему оно падает около нуля. Чего на самом деле больше: частиц со скоростями, близкими к нулю, или частиц со скоростями, близкими к $\sqrt{\frac{2kT}{m}}$?

[abiturient]

Ну, так первая формула нам говорит о том, что в фазовом пространстве частицы распределены изотропно по направлениям. А вторая говорит нам, что их суммарная энергия не равна нулю. Вторая функция распределения--по модулям скорости же. А первая по проекциям на декартову СК. В чем вопрос то?

[realeugene]

fenbcn в сообщении #1309241 писал(а):

У меня непонимание всего этого.

Это просто геометрия. Объём шара пропорционален кубу радиуса. Пусть у вас шар радиусом $R$ имеет объём $V$. В окрестности центра шара радиусом $R/{10}$ сосредоточен объём всего $V/{1000}$

fenbcn в сообщении #1309241 писал(а):

Чего на самом деле больше: частиц со скоростями, близкими к нулю, или частиц со скоростями, близкими к $\sqrt{\frac{2kT}{m}}$?

Какова ваша мера близости? Задайте меру, какую хотите, и проинтегрируйте сами.

[Munin]

Вообразите себе трёхмерное пространство скоростей. Первая формула задаёт распределение в этом трёхмерном пространстве. Вторая - это если мы разделим это пространство сферами на тонкие слои, и посчитаем распределение по слоям. При этом, первое распределение умножается на объём слоя - фактически на площадь сферы $4\pi|v|^2.$

[se-sss]

fenbcn

Частиц, у которых скорость очень маленькая, весьма мало.
А вот частиц, у которых скорость маленькая только вдоль одной из осей координат, сравнительно много.
И если сделать выборку по всем таким частицам, то окажется, что в среднем у них скорость очень даже приличная.

Таким образом, чтобы скорость была совсем околонулевая, нужно, чтобы она была околонулевой по каждой из осей.
То есть накладывается сразу 3 условия, что делает такую возможность совсем маловероятной.

[fenbcn]

Я неудачно выразился. Не понимаю не все, а то, что обозначил в вопросе (возможно, это и правда свидетельствует о непонимании всего).
Пространство скоростей, кубики с ребрами $dv_x, dv_y, dv_z$, сферические слои толщиной $4\pi v^2dv$ - понятно. Как интерпретировать результаты - не понятно. Летает ли частица в каком-то направлении чаще со скоростью $\sqrt{\frac{2kT}{m}}$, или со скоростью $0$?
Попробую разложить рассуждения по шагам, тогда будет проще сказать, что я не понимаю.
1. В пространстве скоростей много точек в кубике с вершиной в нуле (около нуля), согласно распределению по направлениям.
2. Можно брать кубики не с вершиной в рассматриваемой точке, а с центром в ней. Тогда по-прежнему в кубике $Q$ около нуля (с центром в нуле) больше всего точек.
3. Какими бы мы не брали ребра кубиков, в $Q$ всегда больше точек. Поэтому для дальнейших рассуждений можно взять кубики с равными ребрами: $dv_x=dv_y=dv_z\equiv a$
3. Теперь рассматриваем сферические слои. В слоях сначала растет число точек, затем падает. Это из-за того, что кол-во точек с расстоянием от нуля убывает быстрее, чем нарастает объем сферического слоя.
4. Что неясно: почему в самом первом слое точек нет (согласно распределению по модулям)? Речь про слой, ограниченный сферами с радиусами $0$ и $dv$. Если $2dv$ есть диагональ $Q$, то в слой попадет много точек. Возможно, меньше, чем в слой около $\sqrt{\frac{2kT}{m}}$, но по крайней мере не ноль.

Последнее иными словами:
Хочу посчитать число точек в кубике $Q$. Для этого нужно взять распределение по направлениям скоростей и проинтегрировать трижды от $-a/2$ до $a/2$. Допустим, получили число $n$. Теперь хочу посчитать число точек в шаре $S$ с диаметром, равным диагонали $Q$. Для этого нужно взять распределение Максвелла по модулям скоростей и проинтегрировать от нуля до радиуса шара $\frac{\sqrt{3}a}{2}$. Допустим, получили число $m$. Кажется, что $m>n$. Если так, тогда $m>0$

-- 02.05.2018, 12:32 --

se-sss

Кажется, теперь понимаю. Вероятность быть около нуля хотя и максимальна, но очень мала. Для воздуха при комнатной температуре $dP(v=0)=(\frac{\mu}{2\pi RT})^{3/2}\sim 10^{-9}$. Вероятность иметь скорость $\sqrt{\frac{2RT}{m}}$ в данном направлении еще меньше, но суммирование по всем направлениям даст много большую вероятность иметь такую скорость вообще: $dP(v=\sqrt{\frac{2RT}{m}})=\frac{4}{e}(\frac{\mu}{2\pi RT})^{1/2}\sim 10^{-3}$. Это также много больше вероятности быть около нуля.
Все верно?

[realeugene]

fenbcn в сообщении #1309337 писал(а):

Все верно?

Нет, конечно. Плотность вероятности не является безразмерной величиной.

[fenbcn]

realeugene в сообщении #1309343 писал(а):

fenbcn в сообщении #1309337 писал(а):

Все верно?

Нет, конечно. Плотность вероятности не является безразмерной величиной.

Само собой. Написана вероятность, где выбраны единичные $dv_x, dv_y, dv_z, dv$

[realeugene]

fenbcn в сообщении #1309345 писал(а):

Написана вероятность, где выбраны единичные

Так и допишите размерность к каждой величине. Это - не мелочь, особенно, в данном случае.

[fenbcn]

realeugene в сообщении #1309352 писал(а):

fenbcn в сообщении #1309345 писал(а):

Написана вероятность, где выбраны единичные

Так и допишите размерность к каждой величине. Это - не мелочь, особенно, в данном случае.

$$dP(v=0)=(\frac{\mu}{2\pi RT})^{3/2} (\frac{m}{s})^{-3}\cdot 1 \frac{m}{s}\cdot 1 \frac{m}{s}\cdot 1 \frac{m}{s}=(\frac{\mu}{2\pi RT})^{3/2}$$

$$dP(v=\sqrt{\frac{2RT}{m}})=\frac{4}{e}(\frac{\mu}{2\pi RT})^{1/2}\frac{s}{m}\cdot 1 \frac{m}{s}$$

Вы сейчас конструктива никакого не вносите

[realeugene]

fenbcn в сообщении #1309356 писал(а):

Вы сейчас конструктива никакого не вносите

Это не вам судить.
Вы неправильно написали размерности. Начинайте думать в физике как физик.

[fenbcn]

realeugene в сообщении #1309357 писал(а):

Вы неправильно написали размерности.

Вы имеете в виду неправильность верстки или самих соотношений?

[realeugene]

fenbcn в сообщении #1309359 писал(а):

Вы имеете в виду неправильность верстки или самих соотношений?

Я имею в виду, что то, что вы написали, не имеет отношения к понятию "размерности".

Кстати, строго говоря, и с точки зрения математики ваши выражения записаны некорректно, так как в левой части у вас написан дифференциал, а справа - число.

Похоже, вы, научившись жонглировать формулами, так и не научились видеть за этими формулами физику. Так учитесь. Начинайте с повторения основ. Размерности физических величин - это основы, без которых более сложные вещи понять нельзя.

[fenbcn]

realeugene в сообщении #1309360 писал(а):

fenbcn в сообщении #1309359 писал(а):

Вы имеете в виду неправильность верстки или самих соотношений?

Я имею в виду, что то, что вы написали, не имеет отношения к понятию "размерности".

Кстати, строго говоря, и с точки зрения математики ваши выражения записаны некорректно, так как в левой части у вас написан дифференциал, а справа - число.

Похоже, вы, научившись жонглировать формулами, так и не научились видеть за этими формулами физику. Так учитесь. Начинайте с повторения основ. Размерности физических величин - это основы, без которых более сложные вещи понять нельзя.

Вы попросили дописать размерность к каждой величине. Я это сделал. Вы говорите, что что-то неправильно. Я спрашиваю, что. Вместо того, чтобы помочь, Вы принимаетесь осуждать.
Вы хотите увидеть, как у массы написаны килограммы, у температуры - кельвины и т.д.? Почему мне приходится гадать?

[realeugene]

fenbcn в сообщении #1309361 писал(а):

Вы хотите увидеть, как у массы написаны килограммы, у температуры - кельвины и т.д.? Почему мне приходится гадать?

Я хочу, чтобы вы сами разобрались с необходимыми основами из школьной физики. И сами написали правильно.

Из-за того, что вы в этих вопросах плаваете, вы и сравниваете тёплое с мягким.