2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Шар на седле
Сообщение29.04.2018, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1308635 писал(а):
шар катается без проскальзывания по седлу это и есть неголономная механика
Разумеется, там должна быть неголономная механика. Я имел в виду, что ее там нет.
pogulyat_vyshel в сообщении #1308635 писал(а):
а это что
Я имел в виду что ни гамильтониана, ни лагранжиана они не писали.
pogulyat_vyshel в сообщении #1308635 писал(а):
спасибо посмотрю
Более интересна http://msc.tsinghua.edu.cn:8090/lunwen/1546.pdf (указанная Vince Diesel). Могу и ее кинуть на свой сервер

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар на седле
Сообщение29.04.2018, 20:33 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Red_Herring в сообщении #1308637 писал(а):
Более интересна http://msc.tsinghua.edu.cn:8090/lunwen/1546.pdf
(указанная Vince Diesel)

В этой статье сделана классическая ошибка: на стр 17 неголономную систему "описали" уравнениями Эйлера-Лагранжа

Vince Diesel в сообщении #1308558 писал(а):
Легко находится статья R I Thompson, T J Harmon, and M G Ball The rotating-saddle trap: a mechanical analogy to RF-electric-quadrupole ion trapping?
с аннотацией


тут тоже уравнений движения шара по седлу не содержится, ну что-то поэкспериментировали, помахали руками, ни чего серьезного не вижу

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар на седле
Сообщение29.04.2018, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1308641 писал(а):
тут тоже уравнений движения шара по седлу не содержится, ну что-то поэкспериментировали, помахали руками, ни чего серьезного не вижу
R I Thompson, T J Harmon, and M G Ball The rotating-saddle trap: a mechanical analogy to RF-electric-quadrupole ion trapping
С нее то и началось, и она вообще на теоретическом уровне примитивна: нет никакого шара

pogulyat_vyshel писал(а):
В этой статье сделана классическая ошибка: на стр 17 неголономную систему "описали" уравнениями Эйлера-Лагранжа
http://msc.tsinghua.edu.cn:8090/lunwen/1546.pdf

Т.е. реально эта задача не сделана? Забавно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар на седле
Сообщение30.04.2018, 08:25 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Red_Herring в сообщении #1308663 писал(а):
Т.е. реально эта задача не сделана?

Даже уравнеия не выписаны. Что неудивительно, правильные уравнения получаюдся адские :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар на седле
Сообщение30.04.2018, 10:27 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Кое-что я про уравнения движения сейчас напишу, просто чтобы эти спекуляции в статьях не вводили в заблуждение.
Свяжем с седлом декартову систему координат $OXYZ$ так, что уравнение седла будет $f(x,y,z)=z-(ax^2-by^2)/2=0,\quad a,b>0.$

Кинематика.
Через $\boldsymbol{\Omega}=\Omega \boldsymbol e_z$ обозначим угловую скорость седла.
$$\nabla f=\boldsymbol{e}_z-ax\boldsymbol{e}_x+by\boldsymbol{e}_y,\quad \boldsymbol n=\frac{\nabla f}{|\nabla f|}.$$
Пусть $P$ -- точка контакта седла и шара: $\boldsymbol{OP}=x\boldsymbol{e}_x+y\boldsymbol{e}_y+(ax^2-by^2)\boldsymbol{e}_z/2.$ Через $S$ обозначим центр шара $\boldsymbol{PS}=r\boldsymbol n,\quad \boldsymbol{OS}=\boldsymbol{OP}+\boldsymbol{PS}.$
Скорость центра шара $\boldsymbol{v}_S=\boldsymbol{\dot {OS}};$
ускорение центра шара $\boldsymbol{a}_S=\boldsymbol{\ddot{OS}}$. Дифференцировать используя формулы $\boldsymbol{\dot e}_x =[\boldsymbol{\Omega},\boldsymbol e_x]=\Omega\boldsymbol e_y,\quad \boldsymbol{\dot e}_y =[\boldsymbol{\Omega},\boldsymbol e_y]=-\Omega\boldsymbol e_x,\quad \boldsymbol{\dot e}_z =0.$

Пусть $\boldsymbol{\omega}=\omega_x\boldsymbol{e}_x+\omega_y\boldsymbol{e}_y+\omega_z\boldsymbol{e}_z$ -- угловая скорость шара .

Условие непроскальзывания $$[\boldsymbol{\Omega},\boldsymbol{OP}]=\boldsymbol{v}_S+[\boldsymbol{\omega},\boldsymbol{SP}]\qquad (*)$$ Это три линейных уравнения на скорости $\dot x,\dot y,\omega_x,\omega_y,\omega_z$. Независимых среди этих трех уравнений только два.

Динамика. Уравнения движения шара следующие
$$m\boldsymbol{a}_S=m\boldsymbol{g}+\boldsymbol T,\quad J\boldsymbol{\dot\omega}=[\boldsymbol{SP},\boldsymbol{T}],\quad \boldsymbol{g}=-g\boldsymbol{e}_z.$$ Исключая отсюда силу реакции седла $\boldsymbol{T}$, находим
$$J\boldsymbol{\dot\omega}=m[\boldsymbol{SP},\boldsymbol{a}_S-\boldsymbol{g}]
\qquad (**)$$
Система (*)-(**) это и есть система уравнений движения шара, искомыми функциями времени здесь являются $x,y,\omega_x,\omega_y,\omega_z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар на седле
Сообщение30.04.2018, 12:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1308709 писал(а):
Исключая отсюда силу реакции седла $\boldsymbol{T}$
А это будет автоматически, что $\boldsymbol{T}$ перпендикулярно поверхности седла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар на седле
Сообщение30.04.2018, 12:46 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
$\boldsymbol T$ и недолжна быть перпендикулярна поверхности, проекция $\boldsymbol T$ на касательную к поверхности плоскость обеспечивает отсутствие проскальзывания

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар на седле
Сообщение30.04.2018, 12:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
Red_Herring в сообщении #1308727 писал(а):
pogulyat_vyshel в сообщении #1308709 писал(а):
Исключая отсюда силу реакции седла $\boldsymbol{T}$
А это будет автоматически, что $\boldsymbol{T}$ перпендикулярно поверхности седла?

А как же тогда шар закручивается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар на седле
Сообщение30.04.2018, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1308730 писал(а):
$\boldsymbol T$ и недолжна быть перпендикулярна поверхности, проекция $\boldsymbol T$ на касательную к поверхности плоскость обеспечивает отсутствие проскальзывания
Действительно, там же еще и трение!

(Оффтоп)

Я изучал неголономные системы в обычном курсе теормеха 50 лет назад, и с тех пор не касался их. Какой нибудь современный обзор посоветуете? Когда я гугланул, там выскочили вариационные методы. Т.е. для неголономных систем они тоже работают?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар на седле
Сообщение30.04.2018, 14:00 
Заслуженный участник


05/08/14
1564

(Оффтоп)

Не совсем современно, но тем не менее
Ф.Гриффитс. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. 1986

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар на седле
Сообщение30.04.2018, 14:05 
Заслуженный участник


02/08/11
6874

(Оффтоп)

А обобщённая гамильтонова динамика, когда связи выражаются т. н. слабыми уравнениями (её ещё использовал Дирак для для квантования систем со связями, и она кратко изложена в его лекциях по теоретической физике), как соотносится с неголономными системами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар на седле
Сообщение30.04.2018, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1308709 писал(а):
Условие непроскальзывания
Условие непроскальзывания это равенство линейных скоростей в точке контакта. Т.е. не запрещает "кружение на фиксированном месте" (пример: шар на плоскости, скользит и даже не катится, а касается своей фиксированной точкой плоскости, и кружится).

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар на седле
Сообщение30.04.2018, 18:20 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Red_Herring в сообщении #1308744 писал(а):
Какой нибудь современный обзор посоветуете?

Nonholonomic Mechanics and Control (Interdisciplinary Applied Mathematics) (Anthony Bloch, et al)
еще есть основательный текст Борисов Мамаев Неголономные динамические системы : интегрируемость хаос странные атракторы
Red_Herring в сообщении #1308744 писал(а):
Когда я гугланул, там выскочили вариационные методы. Т.е. для неголономных систем они тоже работают?

Смотря какие задачи решаются. Главное в том, что там принцип Гамильтона не работает. Экстремаль функционала $\int_{t_1}^{t_2} L(x,\dot x)dt$ в классе кривых с закрепленными концами удовлетворяющих неголономным связям $a_i^j(x)\dot x^i=0$ не является, вообще говоря, решением уравнений движения механической системы с лагранжианом $L$ и идеальными связями $a_i^j(x)\dot x^i=0$. Т е уравнения неголономной механики и уравнения экстремалей указханной вариационной задачи это разные уравнения

dsge в сообщении #1308745 писал(а):
Ф.Гриффитс. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. 1986


https://c.radikal.ru/c01/1804/d3/95b48eba2466.png
В. Козлов Симметрии топология и резонансы в гамильтоновой механике

warlock66613 в сообщении #1308747 писал(а):
А обобщённая гамильтонова динамика, когда связи выражаются т. н. слабыми уравнениями

про это не слышал

Red_Herring в сообщении #1308758 писал(а):
Условие непроскальзывания это равенство линейных скоростей в точке контакта. Т.е. не запрещает "кружение на фиксированном месте" (пример: шар на плоскости, скользит и даже не катится, а касается своей фиксированной точкой плоскости, и кружится).


все так

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар на седле
Сообщение30.04.2018, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
pogulyat_vyshel
dsge
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар на седле
Сообщение30.04.2018, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А откуда рецензия на Гриффитса?

-- 30.04.2018 20:30:00 --

    pogulyat_vyshel в сообщении #1308821 писал(а):

    reads as
      Цитата:
      В обстоятельной монографии Ф. Гриффитса [45] изложена геометрия гамильтонова формализма общей вариационной проблемы Лагранжа и решен ряд конкретных вариационных задач (однако автор неверно полагает, что при этом он решил некоторые задачи неголономной механики).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 57 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group