Шар на седле

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1308635 писал(а):

шар катается без проскальзывания по седлу это и есть неголономная механика

Разумеется, там должна быть неголономная механика. Я имел в виду, что ее там нет.

pogulyat_vyshel в сообщении #1308635 писал(а):

а это что

Я имел в виду что ни гамильтониана, ни лагранжиана они не писали.

pogulyat_vyshel в сообщении #1308635 писал(а):

спасибо посмотрю

Более интересна http://msc.tsinghua.edu.cn:8090/lunwen/1546.pdf (указанная Vince Diesel). Могу и ее кинуть на свой сервер

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1308637 писал(а):

Более интересна http://msc.tsinghua.edu.cn:8090/lunwen/1546.pdf
(указанная Vince Diesel)

В этой статье сделана классическая ошибка: на стр 17 неголономную систему "описали" уравнениями Эйлера-Лагранжа

Vince Diesel в сообщении #1308558 писал(а):

Легко находится статья R I Thompson, T J Harmon, and M G Ball The rotating-saddle trap: a mechanical analogy to RF-electric-quadrupole ion trapping?
с аннотацией

тут тоже уравнений движения шара по седлу не содержится, ну что-то поэкспериментировали, помахали руками, ни чего серьезного не вижу

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1308641 писал(а):

тут тоже уравнений движения шара по седлу не содержится, ну что-то поэкспериментировали, помахали руками, ни чего серьезного не вижу

R I Thompson, T J Harmon, and M G Ball The rotating-saddle trap: a mechanical analogy to RF-electric-quadrupole ion trapping
С нее то и началось, и она вообще на теоретическом уровне примитивна: нет никакого шара

pogulyat_vyshel писал(а):

В этой статье сделана классическая ошибка: на стр 17 неголономную систему "описали" уравнениями Эйлера-Лагранжа

http://msc.tsinghua.edu.cn:8090/lunwen/1546.pdf

Т.е. реально эта задача не сделана? Забавно...

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1308663 писал(а):

Т.е. реально эта задача не сделана?

Даже уравнеия не выписаны. Что неудивительно, правильные уравнения получаюдся адские :)

[pogulyat_vyshel]

Кое-что я про уравнения движения сейчас напишу, просто чтобы эти спекуляции в статьях не вводили в заблуждение.
Свяжем с седлом декартову систему координат $OXYZ$ так, что уравнение седла будет $f(x,y,z)=z-(ax^2-by^2)/2=0,\quad a,b>0.$

Кинематика.
Через $\boldsymbol{\Omega}=\Omega \boldsymbol e_z$ обозначим угловую скорость седла.

$$\nabla f=\boldsymbol{e}_z-ax\boldsymbol{e}_x+by\boldsymbol{e}_y,\quad \boldsymbol n=\frac{\nabla f}{|\nabla f|}.$$

Пусть $P$ -- точка контакта седла и шара: $\boldsymbol{OP}=x\boldsymbol{e}_x+y\boldsymbol{e}_y+(ax^2-by^2)\boldsymbol{e}_z/2.$ Через $S$ обозначим центр шара $\boldsymbol{PS}=r\boldsymbol n,\quad \boldsymbol{OS}=\boldsymbol{OP}+\boldsymbol{PS}.$
Скорость центра шара $\boldsymbol{v}_S=\boldsymbol{\dot {OS}};$
ускорение центра шара $\boldsymbol{a}_S=\boldsymbol{\ddot{OS}}$. Дифференцировать используя формулы $\boldsymbol{\dot e}_x =[\boldsymbol{\Omega},\boldsymbol e_x]=\Omega\boldsymbol e_y,\quad \boldsymbol{\dot e}_y =[\boldsymbol{\Omega},\boldsymbol e_y]=-\Omega\boldsymbol e_x,\quad \boldsymbol{\dot e}_z =0.$

Пусть $\boldsymbol{\omega}=\omega_x\boldsymbol{e}_x+\omega_y\boldsymbol{e}_y+\omega_z\boldsymbol{e}_z$ -- угловая скорость шара .

Условие непроскальзывания

$$[\boldsymbol{\Omega},\boldsymbol{OP}]=\boldsymbol{v}_S+[\boldsymbol{\omega},\boldsymbol{SP}]\qquad (*)$$

Это три линейных уравнения на скорости $\dot x,\dot y,\omega_x,\omega_y,\omega_z$. Независимых среди этих трех уравнений только два.

Динамика. Уравнения движения шара следующие

$$m\boldsymbol{a}_S=m\boldsymbol{g}+\boldsymbol T,\quad J\boldsymbol{\dot\omega}=[\boldsymbol{SP},\boldsymbol{T}],\quad \boldsymbol{g}=-g\boldsymbol{e}_z.$$

Исключая отсюда силу реакции седла $\boldsymbol{T}$, находим

$$J\boldsymbol{\dot\omega}=m[\boldsymbol{SP},\boldsymbol{a}_S-\boldsymbol{g}] \qquad (**)$$

Система (*)-(**) это и есть система уравнений движения шара, искомыми функциями времени здесь являются $x,y,\omega_x,\omega_y,\omega_z$.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1308709 писал(а):

Исключая отсюда силу реакции седла $\boldsymbol{T}$

А это будет автоматически, что $\boldsymbol{T}$ перпендикулярно поверхности седла?

[pogulyat_vyshel]

$\boldsymbol T$ и недолжна быть перпендикулярна поверхности, проекция $\boldsymbol T$ на касательную к поверхности плоскость обеспечивает отсутствие проскальзывания

[Geen]

Red_Herring в сообщении #1308727 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1308709 писал(а):

Исключая отсюда силу реакции седла $\boldsymbol{T}$

А это будет автоматически, что $\boldsymbol{T}$ перпендикулярно поверхности седла?

А как же тогда шар закручивается?

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1308730 писал(а):

$\boldsymbol T$ и недолжна быть перпендикулярна поверхности, проекция $\boldsymbol T$ на касательную к поверхности плоскость обеспечивает отсутствие проскальзывания

Действительно, там же еще и трение!

(Оффтоп)

Я изучал неголономные системы в обычном курсе теормеха 50 лет назад, и с тех пор не касался их. Какой нибудь современный обзор посоветуете? Когда я гугланул, там выскочили вариационные методы. Т.е. для неголономных систем они тоже работают?

[dsge]

(Оффтоп)

Не совсем современно, но тем не менее
Ф.Гриффитс. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. 1986

[warlock66613]

(Оффтоп)

А обобщённая гамильтонова динамика, когда связи выражаются т. н. слабыми уравнениями (её ещё использовал Дирак для для квантования систем со связями, и она кратко изложена в его лекциях по теоретической физике), как соотносится с неголономными системами?

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1308709 писал(а):

Условие непроскальзывания

Условие непроскальзывания это равенство линейных скоростей в точке контакта. Т.е. не запрещает "кружение на фиксированном месте" (пример: шар на плоскости, скользит и даже не катится, а касается своей фиксированной точкой плоскости, и кружится).

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1308744 писал(а):

Какой нибудь современный обзор посоветуете?

Nonholonomic Mechanics and Control (Interdisciplinary Applied Mathematics) (Anthony Bloch, et al)
еще есть основательный текст Борисов Мамаев Неголономные динамические системы : интегрируемость хаос странные атракторы

Red_Herring в сообщении #1308744 писал(а):

Когда я гугланул, там выскочили вариационные методы. Т.е. для неголономных систем они тоже работают?

Смотря какие задачи решаются. Главное в том, что там принцип Гамильтона не работает. Экстремаль функционала $\int_{t_1}^{t_2} L(x,\dot x)dt$ в классе кривых с закрепленными концами удовлетворяющих неголономным связям $a_i^j(x)\dot x^i=0$ не является, вообще говоря, решением уравнений движения механической системы с лагранжианом $L$ и идеальными связями $a_i^j(x)\dot x^i=0$. Т е уравнения неголономной механики и уравнения экстремалей указханной вариационной задачи это разные уравнения

dsge в сообщении #1308745 писал(а):

Ф.Гриффитс. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. 1986

https://c.radikal.ru/c01/1804/d3/95b48eba2466.png
В. Козлов Симметрии топология и резонансы в гамильтоновой механике

warlock66613 в сообщении #1308747 писал(а):

А обобщённая гамильтонова динамика, когда связи выражаются т. н. слабыми уравнениями

про это не слышал

Red_Herring в сообщении #1308758 писал(а):

Условие непроскальзывания это равенство линейных скоростей в точке контакта. Т.е. не запрещает "кружение на фиксированном месте" (пример: шар на плоскости, скользит и даже не катится, а касается своей фиксированной точкой плоскости, и кружится).

все так

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel
dsge
Спасибо

[Munin]

А откуда рецензия на Гриффитса?

-- 30.04.2018 20:30:00 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1308821 писал(а):

https://c.radikal.ru/c01/1804/d3/95b48eba2466.png


reads as

Цитата:

В обстоятельной монографии Ф. Гриффитса [45] изложена геометрия гамильтонова формализма общей вариационной проблемы Лагранжа и решен ряд конкретных вариационных задач (однако автор неверно полагает, что при этом он решил некоторые задачи неголономной механики).