Шар на седле

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1310127 писал(а):

Вообще говоря, у поверхностей два радиуса кривизны, у седлообразных они разных знаков

Параболоид какая-то уникальная поверхность в этом смысле, кривизны в обе стороны у него симметричны, и более того, если шар не застрянет "в самом узком месте", то и в других не застрянет (локальное условие радиуса влечёт глобальное "незастревание"). Можно поставить задачу, какие поверхности вообще обладают такими свойствами, и это, наверное, будет довольно узкий класс. (Не то чтобы я решусь её даже поставить, не то чтобы решать. Я даже не возьмусь доказать эти свойства для параболоида.)

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring
вот кстати кое-что по поводу гамильтоновых и неголономных систем: http://elibrary.udsu.ru/xmlui/bitstream/handle/123456789/9960/Bolsinov%2C%20Borisov%2C%20Mamaev.pdf?sequence=1

[pogulyat_vyshel]

warlock66613 в сообщении #1308747 писал(а):

(Оффтоп)

А обобщённая гамильтонова динамика, когда связи выражаются т. н. слабыми уравнениями (её ещё использовал Дирак для для квантования систем со связями, и она кратко изложена в его лекциях по теоретической физике), как соотносится с неголономными системами?

по-моему то что пишет Дирак не есть уравнения классической мпханики. Хотя странно, кванты ведь должны переходить в классику в каком-то там пределе

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1311659 писал(а):

Хотя странно, кванты ведь должны переходить в классику в каком-то там пределе

В квазиклассическом, при $\hbar\to 0$. Однако, в отличие от перехода СТО в ньютонову механику при $c\to\infty$, этот переход неизмеримо сложнее, поскольку объекты разные.

Например, если квантовую частицу мы попробуем описать с $\Psi= e^{i\hbar^{-1}S(x)}A_\hbar(x)$, $A_\hbar(x)\sim\sum_{n=0}^\infty a_n(x)\hbar^n$, то для $S$ будет у-е Гамильтона-Якоби, ну и получатся классические траектории, а для $a_n(x)$ уравнения переноса вдоль них.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1311659 писал(а):

по-моему то что пишет Дирак не есть уравнения классической механики.

Мне кажется, что Вы эту часть деятельности ученого как-то упустили. У него есть несколько чисто "механико-математических" работ. В частности, работа под названием "Обобщенная Гамильтонова динамика" (опубликована в Can. J. Math., V. 2, №2 (1950), Р. 129-148.) Перевод есть в "Лекциях по теоретической физике".

[warlock66613]

pogulyat_vyshel в сообщении #1311659 писал(а):

по-моему то что пишет Дирак не есть уравнения классической мпханики. Хотя странно, кванты ведь должны переходить в классику в каком-то там пределе

Я нашёл, что тот тип систем, которые он исследует, называются гамильтоновы системы со связями, а равно лагранжевы системы с вырожденным лагранижианом, и видимо, это что-то кардинально отличное от неголономных систем общего вида, хотя третий найденный мной синоним - лагранжевы системы с неголономными связями - ясно намекает на некоторую связь.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1311679 писал(а):

В частности, работа под названием "Обобщенная Гамильтонова динамика" (опубликована в Can. J. Math., V. 2, №2 (1950), Р. 129-148.) Перевод есть в "Лекциях по теоретической физике".

Вот я как раз эти лекции и смотрел. Вы не могли бы сюда эти уравнения выписать с какими-то минимальными коментами

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1311743 писал(а):

Вы не могли бы сюда эти уравнения выписать с какими-то минимальными коментами

OK, но ближе к ночи.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1311743 писал(а):

Вы не могли бы сюда эти уравнения выписать с какими-то минимальными коментами

Попытаюсь, но много букв получается. Эта деятельность Дирака связана с квантованием электродинамики. Число уравнений Максвелла в вакууме больше числа неизвестных и часть этих уравнений хочется объявить связями. Дирак предложил регулярную процедуру, которая для Максвелла не очень нужна, но про которую вспомнили Фаддеев с Поповым когда квантовали поля Янга-Милса. Дальнейшее - парафраз из Фаддеева, в части к квантовой механике отношения не имеющей.

Пусть дана механическая система с $n$ степенями свободы и $m$ связями, $p_i,q_i$ - ее канонические переменные. Действие имеет вид

$$ \int\left[\sum_{i=1}^n p_i\dot{q}_i-H(p,q)-\sum_a\lambda_a\varphi^a(p,q)\right]dt,\;a=1\dots m,m<n $$

Дирак рассматривает вопрос о том, в каком случае такое действие определит обобщенную гамильтонову систему. В частности (Дирак и другие случаи рассматривает) это возможно, когда выполняется
\begin{align} \{H,\varphi^a\}&=\sum_b c^{ab}(p,q)\varphi^b\\ \{\varphi^a,\varphi^b\}&=\sum_d c^{abd}(p,q)\varphi^d \end{align}
(По Дираку это связь первого класса, бывают и другие) Скобки Пуассона (1,2) исчезают на поверхности связи. По Дираку эти скобки слабо равны нулю. Что бы сделать систему гамильтоновой надо добавить $m$ дополнительных связей $\chi^a(p,q)=0,$ для которых
\begin{align*} \det|\{\varphi^a,\chi^b\}|&\ne0\\ \{\chi^a,\chi^b\}&=0 \end{align*}
Доказывается, что это возможно, можно в качестве переменных $q_a$ выбрать $\chi^a(p,q),$ а соответствующие $p_a$ получатся решения $\varphi^a(p,q)=0$ относительно $p_a.$ Тогда $q=(\chi^a,q^*),\;p=(p_a,p^*)$ и переменные $q^*,p^*$ будут каноническими переменными обобщенной гамильтоновой системы.

Дирак рассматривает более общий случай, излагая это в свойственной ему манере говорить шарадами. Читать это не просто, но для любителей шарад интересно - вдруг какую еще никто не разгадал. Вон, Фейнман сообразил, что "corresponds to" по Дираковски означает "равно с точностью до множителя" и фейнмановские интегралы изобрел...

[pogulyat_vyshel]

Вы меня простите, но я к таким текстам не привык и считаю это безобразием. Обобщенная гамильтонова система это что? $\lambda$ это что? С интегралом с этим чего делать то? Варировать ? в классе каких функций? Вариационная задача то как ставится собсна? Ну и так далее. Я, в принципе, догадываюсь об ответах, но вас я попросил написать формулы именно чтобы внести определенность во все это , что бы была отправная точка для беседы. А получилось наоборот. Так что давайте будем считать начало этого разговора прискорбной ошибкой с моей стороны, как говорится, виноват, исправлюсь.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1311806 писал(а):

Я, в принципе, догадываюсь об ответах, но вас я попросил написать формулы именно чтобы внести определенность во все это , что бы была отправная точка для беседы. А получилось наоборот.

Ну, виноват. Писал второпях и по памяти в расчете на Вашу догадливость. Буду исправляться.

[pogulyat_vyshel]

Разобрался прочитав статью Борисова Мамаева в конце книжки Дирака

-- 12.05.2018, 12:11 --

вот только вот такого

$$\det\frac{\partial^2L}{\partial \dot q^2}=0$$

с лагранжианами механических систем не случается