Векторное усреднение

[diakin]

Есть гармонический сигнал частоты $f$, с некоторыми значениями амплитуды и фазы.
Он суммируется с [белым] шумом.
Над суммарным сигналом делается преобразование Фурье.
Если бы шума не было, то мы могли бы точно определить амплитуду и фазу гармонического сигнала.
Если будет только шум, то в спектре будет присутствовать гармоника частотой $f$ с какой-то случайной амплитудой и фазой.

Требуется вычислить значения амплитуды и фазы гармонического сигнала на фоне шума с заданной точностью.
Для скалярных сигналов можно было бы сделать $N$ измерений и вычислить среднее.
А как быть в данном случае? Просто вычислять среднее для $N$ значений амплитуды и среднее из $N$ значений фазы вроде бы некорректно. Надо усреднять векторно, с учетом направления.

[Andrey_Kireew]

Преобразование Фурье и так уже делает что вы хотите. На амплитудном спектре будет максимум, и тем больше, чем больше длинна сигнала, высота случайных максимумом, связанных с шумом, при этом не увеличивается. Если сигнал узкополосный, с постоянной частотой, то это самый лучший способ его обнаружить. Просто находите максимум на амплитудном спектре, определяете соответствующую ему частоту и фазу.

Для каждого отсчёта частоты,преобразование Фурье, пусть и неявно, выполняет операции:

$$ \begin{array}{rcl} &ReF(\omega)=\sum\limits_{i=1}^{N} x[i]\cdot \cos[\omega i],& \\ &ImF(\omega)=\sum\limits_{i=1}^{N} x[i]\cdot \sin[\omega i],& \\ \end{array} $$

где $N$ - число отсчётов сигнала.
Это и есть интересующее Вас векторное усреднение, разумеется - усреднять корректно только в комплексной форме, а не фазы и амплитуды.

[diakin]

Цитата:

На амплитудном спектре будет максимум, и тем больше, чем больше длинна сигнала, высота случайных максимумом, связанных с шумом, при этом не увеличивается.

Спасибо за ответ.
Как я понял, чем больше длительность сигнала, тем выше разрешение по частоте в спектре и у́же полосы "бинов". При этом шум "размазывается" по большему числу бинов и его величина, приходящаяся на каждый бин, уменьшается. А амплитуда гармонического сигнала не изменяется, просто он локализуется в более узком бине.
В таком случае синхронное накопление, когда суммируется $N$ выборок (с длительностью $T$) с учетом частоты и фазы полезного периодического сигнала, видимо можно заменить увеличением длительности выборки до $N \cdot T$? И отношение сигнал шум вырастет в обоих случаях одинаково?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Механика и Техника» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы и отдельные обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Механика и Техника»

[Andrey_Kireew]

В случае гармонического сигнала и можно, и нужно. Так как это будет лучше. Когерентное накопление применяется для периодических сигналов сложной формы, когда даже их форма неизвестна, а известен только период повторения. Здесь тоже вычисляется взаимная корреляция сигнала, но самого с собой, сдвинутого во времени на целое число периодов. Но в этом случае - оба сигнала зашумленные, а в преобразовании Фурье неявно вычисляется взаимная корреляция сигнала с аналитическим эталоном, который абсолютно не зашумлён. Отношение сигнал/шум получится лучше при использовании преобразования Фурье. И это достигается за счёт использования априорной информации о форме сигнала.

[diakin]

Andrey_Kireew в сообщении #1308482 писал(а):

... Отношение сигнал/шум получится лучше при использовании преобразования Фурье. ...

Спасибо! Надо будет попробовать. )

[Andrey_Kireew]

Пожалуйста!

[realeugene]

diakin в сообщении #1302646 писал(а):

и среднее из $N$ значений фазы

Что такое у вас "значение фазы"?
Вы знаете, что при сдвиге начала отсчёта времени фаза сигнала поворачивается, причём, по-разному для различных частот?

[diakin]

Да, конечно. В моём случае имеется опорный сигнал относительно которого необходимо синхронизировать выборку (начало измерения).

[realeugene]

Что такое у вас "N значений фазы"?

[diakin]

realeugene в сообщении #1308617 писал(а):

Что такое у вас "N значений фазы"?

Прошу прощения, уезжал.

Делаем измерение зашумленного гармонического сигнала, вычисляем амплитуду и фазу (относительно опорного сигнала) и так $N$ раз. Получаем $N$ значений амплитуды и фазы. Амплитуду можно арифметически усреднить, а с фазой так делать напрямую нельзя ) Можно усреднить вещественную и мнимую части, а потом уже вычислять амплитуду и фазу.
Можно вместо $N$ выборок длительностью $T$взять одну длительностью $N$$\times$$T$. Результат по идее будет аналогичный, в смысле вычисления амплитуды и фазы сигнала.

[realeugene]

diakin в сообщении #1313613 писал(а):

а с фазой так делать напрямую нельзя

Можно, если фазовый шум небольшой. Только требуется аккуратность с переходом через 180 градусов.

diakin в сообщении #1313613 писал(а):

Можно усреднить вещественную и мнимую части, а потом уже вычислять амплитуду и фазу.

Так будет правильнее, если шум некоррелирован с сигналом. Но если шум небольшой, то тогда всё равно. В некоторых случаях амплитудный и фазовый шумы разные, и тогда усреднение их по отдельности может быть более информативно

Только учтите, что при всех этих вычислениях подразумевается, что фазовый сдвиг вашего сигнала относительно опорного стабилен. И если он и уплывает за полное время измерения, то не очень сильно.

[diakin]

realeugene в сообщении #1313679 писал(а):

[...]
Только учтите, что при всех этих вычислениях подразумевается, что фазовый сдвиг вашего сигнала относительно опорного стабилен. И если он и уплывает за полное время измерения, то не очень сильно.

Сигнал жестко привязан к опорному. Это сигнал вибрации на частоте вращения ротора. Опорный сигнал формируется метками (импульсами) оборота.

[realeugene]

Тогда усредняйте комплексно максимально доступной длиной.