Уравнение xy = 0

[StaticZero]

vpb

Будем дифференцировать формулу $g(x) = f(x)/x$. Имеем

$$ \begin{align*} g^{(\ell)}(x) = \frac{\ell !}{x^{\ell+1}} (-1)^\ell \sum \limits_{k=0}^\ell \frac{(-1)^k}{k!} f^{(k)}(x) \cdot x^k. \end{align*} $$

Засунем сюда тейлоровское разложение

$$ f^{(k)}(x) = \sum \limits_{s = k}^n a_s \frac{x^{s-k}}{(s-k)!} + o(x^{n-k}), \quad a_s = f^{(s)}(0), \ a_0 = 0 $$

после подстановки

$$ \begin{align*} g^{(\ell)}(x) &= \frac{\ell !}{x^{\ell+1}} (-1)^\ell \sum \limits_{k=0}^\ell \frac{(-1)^k}{k!} \sum \limits_{s=k}^n a_s \frac{x^s}{(s-k)!} = \\ &=\frac{\ell !}{x^{\ell+1}} (-1)^\ell \left \{\sum \limits_{s = 0}^\ell \frac{x^s a_s}{s!} \sum \limits_{k=0}^s \frac{(-1)^k s!}{k! (s-k)!} + \sum \limits_{s = \ell+1}^n \frac{x^s a_s}{s!} \sum \limits_{k=0}^\ell \frac{(-1)^k s!}{k! (s-k)!} \right \}= \\ &= \frac{\ell !}{x^{\ell+1}} (-1)^\ell \left \{\sum \limits_{s = 0}^\ell \frac{x^s a_s}{s!} \sum \limits_{k=0}^s (-1)^k \binom{s}{k} + \sum \limits_{s = \ell+1}^n \frac{x^s a_s}{s!} \sum \limits_{k=0}^\ell (-1)^k \binom{s}{k} \right \} =\\ &= \frac{\ell !}{x^{\ell+1}} (-1)^\ell \sum \limits_{s = 0}^{n-\ell-1} \frac{x^{s+\ell+1} a_{s+\ell+1}}{(s+\ell+1)!} \sum \limits_{k=0}^\ell (-1)^k \binom{s+\ell+1}{k} = \\ &= \ell ! (-1)^\ell \sum \limits_{s = 0}^{n-\ell-1} \frac{x^{s} a_{s+\ell+1}}{(s+\ell+1)!} \sum \limits_{k=0}^\ell (-1)^k \binom{s+\ell+1}{k}. \end{align*} $$

Всё это хозяйство с точностью до $o(x^{n - \ell - 1})$. Нас интересует коэффициент при $x^0$ и при $x^1$. Они равны соответственно

$$ \frac{ (-1)^\ell a_{\ell + 1}}{\ell + 1} \sum_{0\leqslant k \leqslant \ell} \binom{\ell + 1}{k} = \frac{ (-1)^\ell a_{\ell + 1}}{\ell + 1} (-1) \cdot (-1)^{\ell+1} \binom{\ell+1}{\ell+1} = \frac{a_{\ell+1}}{\ell+1}, $$

$$ (-1)^\ell \frac{a_{\ell+2}}{(\ell+1)(\ell+2)} (-1)\cdot \left( (-1)^{\ell+2} \binom{\ell+2}{\ell+2} + (-1)^{\ell+1} \binom{\ell+2}{\ell+1}\right) = \frac{a_{\ell+2}}{(\ell+1)(\ell+2)} (\ell+2-1) = \frac{a_{\ell+2}}{\ell+2}. $$

Коэффициент при $x^0$ есть предел $\lim \limits_{x \to 0} g^{(\ell)}(x)$. Нужно теперь по определению вычислить $g^{(\ell)}(0)$ и сравнить значения. Воспользуемся матиндукцией. Пусть известно, что $g^{(\ell-1)}$ непрерывна. Ещё тогда мы знаем, что в нуле она равна $a_\ell/\ell$, а коэффициент при $x$ в разложении у неё равен $a_{\ell+1}/(\ell+1)$. Тогда

$$ g^{(\ell)}(0) = \lim \limits_{x \to 0} \frac{g^{(\ell-1)}(x) - g^{(\ell-1)}(0)}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{a_{\ell}}{\ell} + \dfrac{a_{\ell+1}}{\ell+1}x + o(x) - \dfrac{a_{\ell}}{\ell}}{x} = \frac{a_{\ell+1}}{\ell+1}, $$

что и требовалось доказать. База индукции тривиальна.

Финальный шаг 7) состоит в том, что используя формулы выше мы легко покажем, что гладкость производной сохраняется при любом $\ell$ той же матиндукцией (ровно так, как она была применена здесь, но здесь было ограничение $\ell < n$).

Уф, вроде всё.