Уравнение xy = 0

[Red_Herring]

StaticZero в сообщении #1299659 писал(а):

Но $\delta'''(x) \sin x$ не контрпример

Это упражнение.

[vpb]

Red_Herring в сообщении #1299683 писал(а):

Это упражнение

И намёк, добру молодцу урок.
StaticZero
Вот пришла такая мысль. Скажите, а Вас что больше интересует: решить задачу с использованием теоремы об общем виде обобщенной функции, носитель которой сосредоточен в нуле, или же решить задачу "из первых принципов" ?

[StaticZero]

vpb в сообщении #1299685 писал(а):

Вас что больше интересует: решить задачу с использованием теоремы об общем виде обобщенной функции, носитель которой сосредоточен в нуле, или же решить задачу "из первых принципов" ?

Сначала первое, потом второе, потом сравнить, в чём разница между подходами.

-- 25.03.2018, 18:11 --

На самом деле, порядок не особо важен, вопрос начался просто с корявого рассуждения по первому пути, которое надо пофиксить.

Сейчас сижу, думаю над доказательством теоремы, которую предложил pogulyat_vyshel (я не подглядываю). Если использовать её, то тогда получится найти решение без теоремы об общем виде. Чем больше вариантов решений - тем лучше.

[vpb]

Ну, значит, сначала объясните, почему из $xf=0$ следует, что ${\rm Supp} f\subseteq\{0\}$; потом возьмите обобщенную функцию общего вида с ${\rm Supp} f\subseteq\{0\}$, и вычислите $xf$; потом сделайте отсюда вывод.

[StaticZero]

vpb в сообщении #1299690 писал(а):

потом возьмите обобщенную функцию общего вида с ${\rm Supp} f\subseteq\{0\}$, и вычислите $xf$

$$ x \sum_{n \geqslant 0}^N \delta^{(n)} c_n = \sum_{n > 0}^N (-1)^{n} (-1)^{n - 1} n c_n \delta^{(n - 1)} =-\sum_{n > 0}^N n c_n \delta^{(n - 1)} $$

если $f$ удовлетворяет уравнению $xf = 0$ и известно, что $f$ — линейная комбинация дельт, то $c_n = 0$ для $n > 0$, в комбинации выживает только $c_0 \delta$. Осталось показать, что любая функция, удовлетворяющая уравнению $xf = 0$, есть непременно линейная комбинация дельт. Для этого нужно

vpb в сообщении #1299690 писал(а):

сначала объясните, почему из $xf=0$ следует, что ${\rm Supp} f\subseteq\{0\}$

Ну вот не могу пока. Но я полагаю, что этот вопрос тривиален настолько, что подсказка = решение, и я пойду ещё думать.

-- 25.03.2018, 18:52 --

Пока случай $m = 1$.

Дано: $\ker g \subseteq \ker f$
Доказать: $\exists \lambda \in \mathbb R: f = \lambda g$.

По сути, доказываем, что $\forall \mathbf x \in X$ $(f, \mathbf x) = \lambda (g, \mathbf x)$.
Если $\mathbf x \in \ker g$, то очевидно $\mathbf x \in \ker f$ и $(f, \mathbf x) = 0 = \lambda (g, \mathbf x)$, откуда $\lambda$ --- любое число.
Если $\mathbf x \in (\ker f \setminus \ker g)$, то $(f, \mathbf x) = 0$ при $(g, \mathbf x) \ne 0$, откуда $\lambda = 0$.
Если $\mathbf x \in X \setminus \ker f$, то $(f, \mathbf x) \ne 0$, $(g, \mathbf x) \ne 0$, откуда $\lambda = \frac{(f, \mathbf x)}{(g, \mathbf x)}$, но это число зависит, вообще говоря, от $\mathbf x$.

Исходя из вышесказанного, нужно уточнить, что $\forall \mathbf x \in X \ \exists \lambda: \ldots$, но вроде бы всё правильно: для любого $\mathbf x$ мы предъявили $\lambda(\mathbf x)$.

[pogulyat_vyshel]

$\lambda$ от $x$ не зависит; $\lambda_i$ это константы

[StaticZero]

StaticZero в сообщении #1299698 писал(а): писал(а):

vpb в сообщении #1299698 писал(а): писал(а):

сначала объясните, почему из $xf=0$ следует, что ${\rm Supp} f\subseteq\{0\}$

Ну вот не могу пока. Но я полагаю, что этот вопрос тривиален настолько, что подсказка = решение, и я пойду ещё думать.

Пусть $\varphi \in \mathcal D$ --- любая основная функция. По условию, $0 = (xf, \varphi) = (f, x \varphi) \ \forall \varphi$. С другой стороны, если $\varphi$ --- любая функция, то $x \varphi$ исчерпывает множество основных функций таких, что они равны нулю в нуле. Таким образом, $\varphi(0) = 0 \Rightarrow (f, \varphi) = 0$.


С точки зрения носителя, $(f, \varphi) \ne 0$ возможно только в том случае, если $\operatorname{supp} \varphi$ содержит ноль. Следовательно, $\forall \mathbb I \subset (\mathbb R \setminus \{ 0 \}): \operatorname{supp} \varphi \subseteq \mathbb I \Rightarrow (f, \varphi) = 0$, отсюда по определению носителя $\operatorname{supp} f = \mathbb R \setminus (\mathbb R \setminus \{ 0 \}) = \{ 0 \}$, что и требовалось.

[vpb]

StaticZero в сообщении #1299715 писал(а):

С точки зрения носителя, $(f, \varphi) \ne 0$ возможно только в том случае, если $\operatorname{supp} \varphi$ содержит ноль

Почему?

StaticZero в сообщении #1299715 писал(а):

$x \varphi$ исчерпывает множество основных функций таких, что они равны нулю в нуле.

Так это еще не доказанный факт! Для того, чтобы доказать требуемое утверждение ( если $xf=0$, то носитель $f$ сосредоточен в нуле), он и не нужен. Вот если решать задачу из первых принципов, тогда понадобится.

Выпишите аккуратно определение носителя обобщенной функции.

[StaticZero]

vpb в сообщении #1299718 писал(а):

Выпишите аккуратно определение носителя обобщенной функции.

Я опираюсь на такое определение.

StaticZero в сообщении #1299572 писал(а):

По определению, носителем обобщённой функции $f$ называется множество $\operatorname{supp} f: \left \{ \mathbb R \setminus \mathbb I \left. \right| (f, \varphi) = 0 \ \forall \varphi \in \mathcal D: \operatorname{supp} \varphi \subseteq \mathbb I \right \}$

-- 25.03.2018, 21:17 --

Согласно этому определению, нам необходимо показать, что если $\operatorname{supp} \varphi \subset (\mathbb R \setminus \{ 0 \})$, то $(f, \varphi) = 0$, то есть доказать, что если $\varphi(0) = 0$, то $(f, \varphi) = 0$. Я предложил такую цепочку: если $\varphi(0) = 0$, то $\varphi = x \psi$, где $\psi \in \mathcal D$, ну тогда всё работает. Остаётся доказать, что $\varphi/x \in \mathcal D$. Можно было бы попробовать через разложение в окрестности нуля:

$$ \varphi(x) = \sum \limits_{k = 1}^\infty \frac{\varphi^{(k)}(0) x^k}{k!} = x \sum \limits_{k = 0}^\infty \frac{\varphi^{(k + 1)}(0)}{(k + 1)!} x^k. $$

Осталось показать, что то, что осталось под суммой, есть основная функция. Все производные там существуют и равномерно ограничены, ну и этого, наверное, достаточно...

[Red_Herring]

StaticZero в сообщении #1299722 писал(а):

Я опираюсь на такое определение.

А что такое $\mathbb{I}$? Любое множество, что выполняется указанное свойство или нет?

[vpb]

Red_Herring в сообщении #1299723 писал(а):

А что такое $\mathbb{I}$? Любое множество, что выполняется указанное свойство или нет?

Попросту говоря, StaticZero, надо писать обычным языком, а не используя символическую запись, а то непонятно получается.

[Red_Herring]

vpb в сообщении #1299726 писал(а):

адо писать обычным языком, а не используя символическую запись, а то непонятно получается.

Кому непонятно?--Похоже, что в первую очередь он запутал сам себя.

[vpb]

StaticZero в сообщении #1299722 писал(а):

Согласно этому определению, нам необходимо показать, что если $\operatorname{supp} \varphi \subset (\mathbb R \setminus \{ 0 \})$, то $(f, \varphi) = 0$

Да, верно. Дальше верно замечено, что достаточно доказать существование такого $\psi$, что $\varphi=x\psi$. Но дальше, однако, не нужно апеллировать к тому факту, что $\varphi(0)=0$, а такие функции делятся на $x$ в ${\mathcal D}$ (хоть это и верно). Тем более не надо использовать никаких разложений. Есть простое и прямое доказательство. Какое?

-- 25.03.2018, 21:31 --

Red_Herring в сообщении #1299727 писал(а):

Кому непонятно?--

Мне лично не до конца понятно, что подразумевалось под этой символической записью (и, как следствие, правильно ли понимает товарищ, что такое носитель). Приблизительно, конечно, понятно, а наверняка нет. Если бы было обычным языком написано, было бы более понятно.

-- 25.03.2018, 21:38 --

StaticZero в сообщении #1299722 писал(а):

Остаётся доказать, что $\varphi/x \in \mathcal D$. Можно было бы попробовать через разложение в окрестности нуля:

$$ \varphi(x) = \sum \limits_{k = 1}^\infty \frac{\varphi^{(k)}(0) x^k}{k!} = x \sum \limits_{k = 0}^\infty \frac{\varphi^{(k + 1)}(0)}{(k + 1)!} x^k. $$

Осталось показать, что то, что осталось под суммой, есть основная функция. Все производные там существуют и равномерно ограничены, ну и этого, наверное, достаточно...

Нет, совершенно неверно. (позже к этому еще вернемся).

[StaticZero]

Red_Herring в сообщении #1299723 писал(а):

А что такое $\mathbb{I}$? Любое множество, что выполняется указанное свойство или нет?

Там написано, что из $\mathbb R$ надо выбросить множество $\mathbb I$, на котором $f$ равна нулю. Равенство нулю на $\mathbb I$ понимается в том смысле, что $\forall \varphi: \operatorname{supp} \varphi \subseteq \mathbb I \ (f, \varphi) = 0$ (для любой основной функции $\varphi$, чей носитель лежит в $\mathbb I$, $(f, \varphi) = 0$, и если это так, то на $\mathbb I$ обобщённая функция равна нулю по определению).

[pogulyat_vyshel]

по-моему у вас там требования замкнутости не хватает в определении носителя