2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Помогите с построением пятиугольника тип 14
Сообщение02.02.2018, 13:27 


13/07/17
179
Существует 15 типов пятиугольников, которыми можно без просветов замостить плоскость. 13 из них образуют семейства из бесконечного количества пятиугольников. Два последних типа состоят из уникальных пятиугольников. Тип 15 имеет целые значения углов, поэтому построить его не проблема. Во многом благодаря помощи форумчан, удалось найти общие построения для 14 типов:
http://i103.fastpic.ru/big/2018/0202/28 ... e65328.png

Самый сложный - тип 14. Его углы заданы соотношением и ни один из них не имеет точного значения. Поэтому невозможно его построить, задав один из углов. Я попытался выполнить построение следующим способом. Построил 4 пятиугольника, задав произвольно углы Е и D (любой угол можно выразить через любой) и наложив их друг на друга, чтобы проследить, не окажется ли точка C на какой-нибудь линии, которую можно задать формулой.
http://i99.fastpic.ru/big/2018/0202/59/ ... b3ba59.png

Потом я хотел построить 4 пятиугольника, задав углы D и B, также для построения кривой "движения" точки С. Затем, совместив эти две кривые, можно было бы получить точное положение точки С.
Но ничего не получилось - кривая, как мне кажется, не подчиняется какой-то формуле. Или же у меня просто не хватает подготовки. Поэтому прошу помочь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с построением пятиугольника тип 14
Сообщение02.02.2018, 20:36 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Углы найти не проблема, только понравятся ли Вам эти выражения?

Обозначим $\frac 1 2 C=\gamma$.
Обозначим точку пересечения $AB$ и $DC$ через $G$.
Примем $a=1$.

Из $B+\frac 1 2 C=180°$ следует, что биссектриса $C$ параллельна $AB$. Значит, острый угол при $G$ равен $\gamma$. Кроме того, $GC=BC=1$, тогда $GD=3$.
Отбросив ненужные сейчас точки $B$ и $C$, получаем картинку:
Изображение
Синие цифры — длины отрезков.
Чтобы получить уравнение для $\gamma$, запишите проекции всех отрезков на прямую $AE$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с построением пятиугольника тип 14
Сообщение02.02.2018, 21:06 


13/07/17
179
svv
Я к сожалению не понимаю, что значит записать проекции отрезков :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с построением пятиугольника тип 14
Сообщение02.02.2018, 21:10 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ортогональная (есть другие, но тут имелась в виду эта) проекция точки $A$ на прямую $\ell$ — это основание перпендикуляра к этой прямой, проходящего через $A$. Проекция отрезка — это отрезок с концами-проекциями концов исходного; тут имеется в виду его длина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с построением пятиугольника тип 14
Сообщение02.02.2018, 21:20 


13/07/17
179
Формулы для угла В и стороны b есть в Википедии, но я не не понимаю, как это может помочь с построением:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с построением пятиугольника тип 14
Сообщение02.02.2018, 21:22 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Способом, что я предложил, выражение получится проще. К тому же, будете понимать, откуда можно его получить.

А, нет, извиняюсь, в точности то же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с построением пятиугольника тип 14
Сообщение03.02.2018, 15:33 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
ragnarek
Если
$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{57}-3}{8}$
то такой угол строится легко и просто циркулем и линейкой.
Около пяти действий, которые заведомо ими выполняются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с построением пятиугольника тип 14
Сообщение03.02.2018, 15:59 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
ragnarek, Вы смогли получить из моей картинки уравнение для угла и решить его?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с построением пятиугольника тип 14
Сообщение03.02.2018, 16:45 


13/07/17
179
Нет, я пока разбираюсь с этим... Но это явно сложно для меня.

-- 03.02.2018, 17:45 --

EUgeneUS
А не могли бы Вы показать эти 5 действий?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с построением пятиугольника тип 14
Сообщение03.02.2018, 16:47 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Смотрите, вот это очевидно?:
$AE+ED\cos 2\gamma = GD\sin\gamma$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с построением пятиугольника тип 14
Сообщение03.02.2018, 16:58 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
ragnarek в сообщении #1289763 писал(а):
А не могли бы Вы показать эти 5 действий?


Надеюсь не забанят меня.

1. Строим отрезок, пусть $KL$. На отрезке, как диаметре, строим полуокружность.
3. Делим отрезок $KL$ на 58 частей. Откладываем от точки $K$ одну такую часть (эту часть будем считать единичным отрезком), получаем точку $M$.
4. От точки $M$ до пересечения с окружностью в точке $N$. Длина $|MN|=\sqrt{57}$, если в единичных отрезках. Вдоль $MN$ от точки $N$ откладываем три единых отрезка получаем точку $P$. $|MP|=\sqrt{57}-3$
6. Строим прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 (восемь единичных отрезков) и катетом с длиной $|MP|$. Угол этого треугольника, противолежащий известному катету будет иметь нужный синус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с построением пятиугольника тип 14
Сообщение03.02.2018, 17:05 


13/07/17
179
svv
Да, это понятно. Получается $AE+EM=GS$

Тут точки $M$ и $S$ на продолжении координатных осей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с построением пятиугольника тип 14
Сообщение03.02.2018, 17:10 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Хорошо, подставляем длины:
$1+2\cos 2\gamma=3\sin\gamma$
Используем формулу $\cos 2\gamma=1-2\sin^2\gamma$.
Получаем квадратное уравнение относительно $\sin\gamma$. Решив его, получим то, что в Википедии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с построением пятиугольника тип 14
Сообщение03.02.2018, 17:19 


13/07/17
179
Да, у меня получилось это выражение. Правда, я использовал онлайн калькулятор :oops:
$4\sin^2\gamma+3\sin\gamma=3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с построением пятиугольника тип 14
Сообщение03.02.2018, 17:21 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Иными словами, $4x^2+3x-3=0$, где $x=\sin\gamma$.
Это квадратное уравнение...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group