Помогите с построением пятиугольника тип 14

[ragnarek]

Существует 15 типов пятиугольников, которыми можно без просветов замостить плоскость. 13 из них образуют семейства из бесконечного количества пятиугольников. Два последних типа состоят из уникальных пятиугольников. Тип 15 имеет целые значения углов, поэтому построить его не проблема. Во многом благодаря помощи форумчан, удалось найти общие построения для 14 типов:
http://i103.fastpic.ru/big/2018/0202/28 ... e65328.png

Самый сложный - тип 14. Его углы заданы соотношением и ни один из них не имеет точного значения. Поэтому невозможно его построить, задав один из углов. Я попытался выполнить построение следующим способом. Построил 4 пятиугольника, задав произвольно углы Е и D (любой угол можно выразить через любой) и наложив их друг на друга, чтобы проследить, не окажется ли точка C на какой-нибудь линии, которую можно задать формулой.
http://i99.fastpic.ru/big/2018/0202/59/ ... b3ba59.png

Потом я хотел построить 4 пятиугольника, задав углы D и B, также для построения кривой "движения" точки С. Затем, совместив эти две кривые, можно было бы получить точное положение точки С.
Но ничего не получилось - кривая, как мне кажется, не подчиняется какой-то формуле. Или же у меня просто не хватает подготовки. Поэтому прошу помочь!

[svv]

Углы найти не проблема, только понравятся ли Вам эти выражения?

Обозначим $\frac 1 2 C=\gamma$.
Обозначим точку пересечения $AB$ и $DC$ через $G$.
Примем $a=1$.

Из $B+\frac 1 2 C=180°$ следует, что биссектриса $C$ параллельна $AB$. Значит, острый угол при $G$ равен $\gamma$. Кроме того, $GC=BC=1$, тогда $GD=3$.
Отбросив ненужные сейчас точки $B$ и $C$, получаем картинку:

Синие цифры — длины отрезков.
Чтобы получить уравнение для $\gamma$, запишите проекции всех отрезков на прямую $AE$.

[ragnarek]

svv
Я к сожалению не понимаю, что значит записать проекции отрезков

[arseniiv]

Ортогональная (есть другие, но тут имелась в виду эта) проекция точки $A$ на прямую $\ell$ — это основание перпендикуляра к этой прямой, проходящего через $A$. Проекция отрезка — это отрезок с концами-проекциями концов исходного; тут имеется в виду его длина.

[ragnarek]

Формулы для угла В и стороны b есть в Википедии, но я не не понимаю, как это может помочь с построением:

[svv]

Способом, что я предложил, выражение получится проще. К тому же, будете понимать, откуда можно его получить.

А, нет, извиняюсь, в точности то же.

[EUgeneUS]

ragnarek
Если
$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{57}-3}{8}$
то такой угол строится легко и просто циркулем и линейкой.
Около пяти действий, которые заведомо ими выполняются.

[svv]

ragnarek, Вы смогли получить из моей картинки уравнение для угла и решить его?

[ragnarek]

Нет, я пока разбираюсь с этим... Но это явно сложно для меня.

-- 03.02.2018, 17:45 --

EUgeneUS
А не могли бы Вы показать эти 5 действий?

[svv]

Смотрите, вот это очевидно?:
$AE+ED\cos 2\gamma = GD\sin\gamma$

[EUgeneUS]

ragnarek в сообщении #1289763 писал(а):

А не могли бы Вы показать эти 5 действий?

Надеюсь не забанят меня.

1. Строим отрезок, пусть $KL$. На отрезке, как диаметре, строим полуокружность.
3. Делим отрезок $KL$ на 58 частей. Откладываем от точки $K$ одну такую часть (эту часть будем считать единичным отрезком), получаем точку $M$.
4. От точки $M$ до пересечения с окружностью в точке $N$. Длина $|MN|=\sqrt{57}$, если в единичных отрезках. Вдоль $MN$ от точки $N$ откладываем три единых отрезка получаем точку $P$. $|MP|=\sqrt{57}-3$
6. Строим прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 (восемь единичных отрезков) и катетом с длиной $|MP|$. Угол этого треугольника, противолежащий известному катету будет иметь нужный синус.

[ragnarek]

svv
Да, это понятно. Получается $AE+EM=GS$

Тут точки $M$ и $S$ на продолжении координатных осей.

[svv]

Хорошо, подставляем длины:
$1+2\cos 2\gamma=3\sin\gamma$
Используем формулу $\cos 2\gamma=1-2\sin^2\gamma$.
Получаем квадратное уравнение относительно $\sin\gamma$. Решив его, получим то, что в Википедии.

[ragnarek]

Да, у меня получилось это выражение. Правда, я использовал онлайн калькулятор
$4\sin^2\gamma+3\sin\gamma=3$

[svv]

Иными словами, $4x^2+3x-3=0$, где $x=\sin\gamma$.
Это квадратное уравнение...