Червоточины в координатах Крускала

[pashan]

В ряде учебников и статей можно встретить так называемые диаграммы погружения для моста Эйнштейна-Розена, которые имеют, например, вид, как показано на рисунке.

(Thorne, "The Resistance of Magnetic Flux to Gravitational Collapse")
При этом ни в одном из многих просмотренных источников не удалось найти никакого явного описания механизма построения таких сечений (правый столбец из мостов ЭР). Как видно на рисунке, каждое сечение, мост ЭР соответствует некоторой линии на диаграмме Крускала. Можно догадаться, что на самом деле эти "шпульки" должны быть расположены горизонтально, а не как они изображены на рисунке. То есть, эти мосты, вообще-то, соединяют две области пространства Крускала – I (правый квадрант) и III (левый квадрант). Но это мелочи. Главное в ином. Каждый мост ЭР (шпулька) является параболоидом Фламма. Уравнение параболоида обычно приводится, например, $z=[8m(r-2m)]^{1/2}$. Однако связи между координатами Крускала-Секереша и толщиной "талии" этих параболоидов не видно. Поэтому возник ряд вопросов:
Как связаны сечения (здесь – волнистые линии) на диаграмме Крускала с формой параболоидов – мостов Эйнштейна-Розена (правая колонка)?
Верно ли изображены на рисунке координатные оси? Обычно горизонтальная ось обозначается как $t=0$, здесь же она обозначена как $U$.
У параболоидов оси приводятся по-разному. Например, это могут быть оси $XYZ$ и одна вращательная координата для гравитационного радиуса. В контексте координат Крускала как должны быть изображены оси на параболоидах в правой колонке на рисунке?
Как вывести уравнение (формулу) параболоида Фламма $z=z(r)$, исходя только из координат Крускала? Кстати, получить доступ к статье Фламма непросто – стоимость заоблачная.
К сожалению, похожая тема https://dxdy.ru/topic111618.html закрыта, поэтому пришлось открыть новую.

[photon]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[photon]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: возвращено.

[Erleker]

Параболоид Фламма есть поверхность в $R^3$, на которой индуцируется метрика пространственного сечения 1+2- мерной (без одного угла) метрики Шварцшильда (Крускала описывают все ПВ, но прямо они с этим понятием не связаны) в момент максимального расширения нашей непроходимой кротовины (то есть, когла "талия" становится $r_{g}$, точек с меньшим $r$ в этом сечении нет).
В $R^3$ метрика:

$$dl^2=dy^2+dr^2+r^2d\varphi^2$$

Если мы при этом симметрично помещаем какую-то поверхность, задающуюся $y(r)$, для точек на ней будет:

$$dl^2=dy(r)^2+dr^2+r^2d\varphi^2=(1+\frac{dy^2(r)}{dr^2})dr^2+r^2d\varphi^2$$

Сравнивая это с пространственным сечением в метрике Шварцшильда:

$$dl^2=\frac{dr^2}{(1-r_{g}/r)}+r^2d\varphi^2$$

Получаем, что это соответствует ( если нет $r<r_{g}$):

$$1+\frac{dy^2(r)}{dr^2}=(1-r_{g}/r)^{-1}$$

$$y(r)=\int\frac{dr}{\sqrt{r/r_{g}-1}}=2r_{g}\sqrt{r/r_{g}-1}+\operatorname{const}$$

Фигура:

$$\frac{r}{r_{g}}=1+(\frac{y}{2r_{g}})^2$$

[pashan]

Erleker в сообщении #1283677 писал(а):

Параболоид Фламма есть поверхность в $R^3$

Прошу прощения - просмотрел. Не могу привыкнуть к оповещениям здесь на форуме. Обычно об ответах приходит сообщение по e-mail, а здесь эту функцию активировать не удаётся.

Спасибо за сообщение. С приведенными выкладками я знаком, они встречаются в литературе, хотя описание чаще всего крайне скудное. Конечно, кое-какие вопросы остаются, к ним можно вернуться позднее. Но мне все-таки очень хотелось бы ознакомиться с первоисточником - статьёй Фламма:
Flamm, L. Beitrage zur Einsteinschen Gravitationstheorie. Phys. Z., 17: 448-454, 1916

По поводу червоточин вопрос более широкий. Я приглашаю всех разбирающихся в общей теории относительности к обсуждению. Когда-то, достаточно давно (в этом году) я скачал статью Collas P. "Embeddings and time evolution of the Schwarzschild wormhole" (https://arxiv.org/abs/1107.4871v2), но не совсем вник в детали.
Приглашаю специалистов в области общей теории относительности принять участие в обсуждении этой статьи. Есть детали, которые выглядят довольно странно, например, скорость схлопывания червоточины. В рассуждениях авторов эта скорость просматривается несколько невнятно.

[Cos(x-pi/2)]

(pashan)

pashan в сообщении #1292449 писал(а):

Но мне все-таки очень хотелось бы ознакомиться с первоисточником - статьёй Фламма:
Flamm, L. Beitrage zur Einsteinschen Gravitationstheorie. Phys. Z., 17: 448-454, 1916

pashan, если Вас устроит перепечатка в переводе с немецкого на английский

Gen Relativ Gravit (2015) 47:72 DOI 10.1007/s10714-015-1908-2 писал(а):

Original paper: Ludwig Flamm, Beiträge zur Einsteinschen Gravitationstheorie, Physikalische Zeitschrift XVII (1916), pp. 448–454. Reprinted with the kind permission of Maria Zöllner (Ludwig Flamm’s daughter and heir) and Deutscher Apotheker Verlag. © Deutscher Apotheker Verlag 1916. Translated by Jörg Frauendiener, [e-mail].

то введите DOI 10.1007/s10714-015-1908-2 в поисковую строку Sci-Hub, нажмите "открыть" и получите pdf с этой статьёй.

[pashan]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1292468 писал(а):

pashan, если Вас устроит перепечатка в переводе с немецкого на английский

Спасибо! Это то, что надо!