Переход к метрике Крускала-Секереша

[realeugene]

arbuz в сообщении #1153385 писал(а):

На горизонте событий сингулярность есть, но она не настоящая... тряпошная. Такие сингулярнрсти называют координатными. Их можно устранить более удачным выбором координат, например, перейти от метрики Шварцшильда к метрике Крускала-Шекерса.

Кстати, а я вот не понимаю, куда же в новых координатах переходят точки из координат Шварцшильда $r=r_s, t<\infty$? В координатах Шварцшильда они не принадлежат ни одной из двух карт. Они сами по себе не могут образовать ещё одну карту. Как же они становятся точками многообразия после "устранения сингулярности"?

Pphantom:

Выделено из «Вопросы по ОТО.»

[Someone]

realeugene в сообщении #1153408 писал(а):

Как же они становятся точками многообразия после "устранения сингулярности"?

А где они в координатах Крускала — Шекереса? Вот пространственно-временная диаграмма "вечной" чёрной дыры (взято из МТУ, том 3).

Вложение:

MTU1.gif [ 56.3 Кб | Просмотров: 0 ]

[realeugene]

Someone в сообщении #1153419 писал(а):

А где они в координатах Крускала — Шекереса? Вот пространственно-временная диаграмма "вечной" чёрной дыры (взято из МТУ, том 3).

Думаю, что на этой диаграмме они все вместе отображены в одно событие - начало координат. В котором сходятся чёрная и белая дыры. А у Леметра они удалены бесконечно.
Это одно событие для одних угловых координат, кажется, но для всех конечных $t$ все эти различные в координатах Шварцшильда точки с одинаковыми угловыми параметрами отображаются в одну точку в координатах Крускала-Шекерса.
А точки горизонтов в координатах Крускала — Шекереса, кроме $u=0, v=0$, отображаются в бесконечно удалённые точки в Шварцшильде. Значит, хоть и можно рассуждать об устранении сингулярности метрики на горизонте как координатной особенности, но для такого рассуждения переход в другие координаты из Шварцшильда обязателен. И говорить про горизонт в координатах Шварцшильда иначе, как про несуществующий предел, бессмысленно, равно, как и пытаться продолжать в Шварцшильде $t=\operatorname{const}$ на или под горизонт. Верно?

[Someone]

realeugene в сообщении #1153792 писал(а):

Значит, хоть и можно рассуждать об устранении сингулярности метрики на горизонте как координатной особенности, но для такого рассуждения переход в другие координаты из Шварцшильда обязателен. И говорить про горизонт в координатах Шварцшильда иначе, как про несуществующий предел, бессмысленно, равно, как и пытаться продолжать в Шварцшильде $t=\operatorname{const}$ на или под горизонт. Верно?

Да. Посмотрите учебник Мизнера, Торна, Уилера "Гравитация", том 3, §§ 31.3, 31.5, рисунки 31.1, 31.4.

[realeugene]

Someone в сообщении #1153827 писал(а):

Да. Посмотрите учебник Мизнера, Торна, Уилера "Гравитация", том 3, §§ 31.3, 31.5, рисунки 31.1, 31.4.

Спасибо. Значит, когда пишут про устранение особенности при $r=r_s$, строго говоря, имеют в виду $r$ из иных координат, а не координат Шварцшильда. Но какой тогда имеют смысл рассуждения (по вашей ссылке тоже присутствующие), что раз в координатах Шварцшильда при $r\to r_s$ детерминант метрики остаётся конечным, значит, особенность устранима? Все устранения горизонта всё равно проходят через бесконечное время в Шварцшильде.

[Someone]

realeugene в сообщении #1153902 писал(а):

имеют в виду $r$ из иных координат

В координатах Крускала — Шекереса нет координаты $r$. Но то самое $r$, которое есть в координатах Шварцшильда, выражается через координаты Крускала — Шекереса.

realeugene в сообщении #1153902 писал(а):

Все устранения горизонта всё равно проходят через бесконечное время в Шварцшильде.

Начхать. Координата — это всего лишь ярлычок, приписанный данной точке, для того, чтобы отличать эту точку от других и уметь её находить. Этот ярлычок не является физическим объектом и на физические явления не влияет. Но на точках горизонта нет ярлычка, соответствующего шварцшильдовской координате $t$.

[realeugene]

Someone в сообщении #1153914 писал(а):

Но на точках горизонта нет ярлычка, соответствующего шварцшильдовской координате $t$.

Это понятно. Не до конца были понятны рассуждения про то, что раз детерминант метрики остаётся конечным, значит, особенность устранима.

Но, давайте, продвинемся чуть дальше. Псевдометрическое пространство является топологическим пространством, по определению. Не изменяется ли топология при подобном "устранении сингулярности", когда все точки $r=r_s$ из Шварцшильда стягиваются в одну точку в Крускала-Шекерса?

Наверное, не изменяется, как и в центре полярных координат.

[Someone]

realeugene в сообщении #1153925 писал(а):

Не изменяется ли топология при подобном "устранении сингулярности", когда все точки $r=r_s$ из Шварцшильда стягиваются в одну точку в Крускала-Шекерса?

В карте Шварцшильда нет точек горизонта, так что ничто там не "стягивается".

Обратите внимание на полярные координаты. Там в полюсе тоже координатная сингулярность. И если нарисовать полярные координаты как декартовы, то там тоже будет неоднозначность.

На той картинке, которую я показывал, хорошо видно, как выглядят координаты Шварцшильда на пространственно-временной диаграмме. Там тоже получается что-то похожее на полярные координаты.

[Munin]

Секереша звали Секереш. Прошу всех участников темы принять это к сведению.

В МТУ ошибочно написано "Шекерес". Это невнимательность переводчиков (технических, а не научных).
Но "Шекерс" не написано вообще нигде и никогда!!!

-- 23.09.2016 15:48:14 --

realeugene в сообщении #1153925 писал(а):

Не изменяется ли топология при подобном "устранении сингулярности"

Да, изменяется, но другим образом.

В координатах Шварцшильда точки $r=2M$ вообще не принадлежат многообразию. Таким образом, эти координаты покрывают "многообразие", состоящее из двух разорванных кусков: внешнего и внутреннего.

Прежде всего, надо их как-то склеить. Это делается в координатах Эддингтона-Финкельштейна или Леметра. Но уже это - не однозначная операция. Два основных варианта называются "чёрная дыра" и "белая дыра" - и поэтому координаты Шварцшильда, строго говоря, ни то ни другое.

Но этим дело не заканчивается. Оказывается, то, что получилось, это ещё не полное многообразие. А полное достигается операцией максимального продолжения. И вот тут возникает то, что покрывается координатами Крускала-Секереша: с чёрной дырой, белой дырой и "зеркальной вселенной".

Кроме того, существуют и другие варианты склейки, например, внешняя часть Шварцшильда с другой такой внешней частью - "червоточина", "кротовая нора".

[realeugene]

Но эти все склейки карт проходят только в том случае, когда метрика Шварцшильда, на самом деле, стационарна и живёт вечно. Если же ЧД рождается при коллапсе звезды и через некоторое время исчезает из-за испарения, значит, продолжить через бесконечность ничего не получится ни в ту, ни в другую сторону, правильно? Значит, в многообразии просто нет внутренней области ЧД. Какой тогда смысл для физики в этих чисто математических упражнениях с продолжениями полностью стационарной метрики Шварцшильда через бесконечное время?

[Munin]

Это более продвинутые вопросы. Они называются "коллапсар" и "испаряющаяся чёрная дыра". Конечно, это не Крускал-Секереш в чистом виде, но это те или иные метрики на его основе.

Коллапсар - решение Оппенгеймера-Снайдера, и описано во всех базовых учебниках ОТО.

А вот испаряющаяся чёрная дыра - штука более сложная, поскольку привлекает квантовые соображения. Есть, например, в книге Новикова-Фролова. Но предварительно рекомендуется хотя бы "Структура пространства-времени" Пенроуза и Хокинг-Эллис.

В обоих случаях, внутренняя область есть.

Насчёт "ни в ту ни в другую сторону" - сторон на самом деле намного больше. Есть, например, конформная бесконечность. А вообще, рисуют диаграммы Пенроуза.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1153964 писал(а):

Секереша звали Секереш. Прошу всех участников темы принять это к сведению.

Логично. Что-то я механически скопировал название, не подумав о том, что это. Название изменено.

[realeugene]

Munin в сообщении #1153964 писал(а):

Насчёт "ни в ту ни в другую сторону" - сторон на самом деле намного больше. Есть, например, конформная бесконечность. А вообще, рисуют диаграммы Пенроуза.

Можете привести пример, как эти "иные стороны" могут выглядеть в сферически-симметричном случае? Сферически-симметричное решение для произвольного движения дано в ЛЛ2 параграф 100. Не понимаю, как из него могут вылезти какие-то ещё стороны? Это решение неполное?

[Munin]

См.

Munin в сообщении #1153964 писал(а):

Есть, например, в книге Новикова-Фролова. Но предварительно рекомендуется хотя бы "Структура пространства-времени" Пенроуза и Хокинг-Эллис.

[Утундрий]

realeugene
Давайте я объясню, как я понимаю ситуацию. Munin не в состоянии ответить на этот вопрос. Вам, поэтому, придётся спрашивать у Новикова, Фролова, Хокинга или Эллиса.