Доказать, что последовательность имеет предел

[Ktina]

Доказать, что последовательность

$$x_n=\sqrt{1!\sqrt{2!\sqrt{3!\dots\sqrt{n!}}}}$$

имеет предел.

Как решать задачи такого типа? С чего начать?

[thething]

Попробуйте постепенно возводить в квадрат и увидеть закономерность

[mihaild]

Альтернативный вариант - посмотрите, в какой степени в $x_n$ входит $2$ из факториалов, в какой $3$, в какой $4$ и т.д.

[ShMaxG]

Ktina
А еще можно логарифмировать выражение и доказать, что $\ln{x_n}$ имеет предел. Все стандартно.

[StaticZero]

Монотонность очевидна, докажите ограниченность.

[pcyanide]

mihaild в сообщении #1280955 писал(а):

Альтернативный вариант - посмотрите, в какой степени в $x_n$ входит $2$ из факториалов, в какой $3$, в какой $4$ и т.д.

У меня была такая же идея. Надеюсь, не открою большой секрет, если напишу результат:

$$ x_n=\prod_{k=1}^{n}{(k!)^\frac{1}{2^k}} $$

Таким образом,

$$ x_{n+1}=x_n\;((n+1)!)^\frac{1}{2^{n+1}} $$

или

$$ \ln(x_{n+1})=\ln(x_n) + \frac{1}{2^{n+1}}\ln((n+1)!) = \ln(x_n) + \frac{1}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^{n+1}{\ln(k)} $$

Для ограниченности $x_n$ необходимо $\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{2^n}\ln(n!)} =0$... Продолжение следует.

[StaticZero]

pcyanide в сообщении #1281097 писал(а):

Продолжение следует.

$n!\sim n^n \sqrt n$

[provincialka]

pcyanide в сообщении #1281097 писал(а):

$$ x_n=\prod_{k=1}^{n}{(k!)^\frac{1}{2^k}} $$

Ну, у mihaild была другая идея, как мне кажется. Факториалов в ней не остается!

[Otta]

StaticZero

StaticZero в сообщении #1281111 писал(а):

$n!\sim n^n \sqrt n$

неправда Ваша, хоть и к делу не относится.

[StaticZero]

Otta в сообщении #1281136 писал(а):

StaticZero

StaticZero в сообщении #1281111 писал(а):

$n!\sim n^n \sqrt n$

неправда Ваша, хоть и к делу не относится.

Пардон. $n! \sim \sqrt n (n/e)^n$

[thething]

StaticZero в сообщении #1281208 писал(а):

Пардон. $n! \sim \sqrt n (n/e)^n$

Все равно не так

[ewert]

pcyanide в сообщении #1281097 писал(а):

Для ограниченности $x_n$ необходимо $\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{2^n}\ln(n!)} =0$...

Необходимо, но не достаточно. На самом деле всё очень грубо: логарифмы факториалов растут много медленнее геометрической прогрессии -- настолько медленнее, что и их сумма тоже.

[mihaild]

provincialka в сообщении #1281112 писал(а):

Ну, у mihaild была другая идея, как мне кажется. Факториалов в ней не остается!

Да, я предлагал написать $x_n = \prod_{k=1}^n k^{y_{n,k}}$, где $y_{n, k}$ легко выписывается.

[RIP]

А зачем избавляться от факториалов? Из банального неравенства $n!\leqslant n^{n}$ сходимость же моментально следует.

[StaticZero]

thething в сообщении #1281220 писал(а):

Все равно не так

С точностью до константы.