Доказать равномощность множеств

[eugensk]

Вот еще способ, о котором, по-моему, забыли: отдельно установить биекцию для границы и для внутренних точек.

Для границы масштабировать длину пути от отмеченной вершины до данной точки,
для внутренних точек масштабировать расстояние до левого и нижнего края.
Из координат треугольника и квадрата несложно получить явное выражение.

Конечно, предложенное выше отображение квадрата в треугольник нагляднее, для него проще формула, и оно непрерывное.

[INGELRII]

Разбиваем квадрат диагональю на два треугольника $T_1, T_2$, разделяющую их диагональ обзовем $L$. Разбиваем треугольник, куда хотим отобразить квадрат, отрезком на два треугольника $t_1, t_2$, отрезок назовем $l$; например, высотой из какой-нибудь вершины. После чего любыми удовлетворяющими нас способами биективно отображаем треугольник $T_1$ на $t_1$, $T_2$ на $t_2$, и так, чтобы каждое отображало $L$ в $l$, не переворачивая его. Получаем кусочно заданное отображение квадрата в треугольник.

Годится и для любого выпуклого многоугольника, просто разбиваем его диагоналями из одной вершины на треугольнички, и в целевом треугольнике из одной вершины проводим столько же отрезков.

-- 14.12.2017, 11:08 --

Upd: годится вообще для любой области, ограниченной отрезками, лишь бы только односвязной.

[Sdy]

INGELRII
Попытаюсь повторить ваше рассуждение, как я его вижу.
Разрезали квадрат на два треугольника по диагонали. Обозвали отрезок, по которому режем D. Взяли треугольник, порезали по высоте, которая идет по одной из вершин, назвали ее H. H равномощно D, это я могу показать, скрутив оба отрезка в окружности и перейдя в полярные координаты, дальше как уже делал.
Далее нужно доказать, что есть биекция между любыми двумя прямоугольными треугольниками. В лекции нет строгих доказательств таких фактов. Просто говорится, что любые подобные фигуры равномощны. Здесь два произвольных прямоугольных треугольника.
Я бы рад сказать, что придадим первому треугольнику форму второго и получим биекцию (так в лекции она устанавливается между окружностью и треугольником), но я не могу считать это строгим доказательством.
Как такие рисунки и интиутивно понятные вещи перевести в строгое, но не мерее чистое доказательство? Вот здесь затык.
То что можно отрезать, получить нужную фигуру как часть первоначальной, мне ясно.

-- 18.12.2017, 02:48 --

arseniiv в сообщении #1274664 писал(а):

Да. Только если «координаты», это о декартовых координатах, и про полярные вообще можно было не говорить, а только о том, что центры кругов совпадают с началом координат; если же о полярных, умножается только $r$. И ещё условие

Sdy в сообщении #1274662 писал(а):

a < b

лишнее, как и условие

Sdy в сообщении #1274662 писал(а):

a, b - real numbers

раз уж $r$ вещественная и мы, к тому же, с ней сравниваем — на комплексные числа этот порядок не переносится.

Понял упущения, спасибо.

-- 18.12.2017, 02:50 --

Dan B-Yallay в сообщении #1274668 писал(а):

Sdy в сообщении #1274123 писал(а):

Да мне главное "увидеть", то есть полностью понять. Обычно без биекции не вижу.

Ну, если Вам нужно обязательно видеть, то графическая подсказка под оффтопом. Биекцию между полученным треугольником и произвольным предлагается построить самостоятельно.

(Оффтоп)

Вложение:

rect4886.jpg

Спасибо за рисунки, они мне понятны. Неясно лишь то что указал выше, то есть самая суть.

-- 18.12.2017, 02:54 --

arseniiv в сообщении #1274109 писал(а):

Имеется в виду, равномощность квадрата и круга и равномощность круга и треугольника? Тогда в чём проблема взять композицию двух соответствующих биекций?
UPD. Хотя, жаждая формул, можно ещё вот так делать.

Вы предлагаете установить биекцию квадрат -> круг, треугольник -> круг и далее воспользоваться транзитивностью?
Для меня пока не доходит, с чего начинать.
А вот с произвольными кругами, благо, разбрались.

[arseniiv]

Sdy в сообщении #1275824 писал(а):

Вы предлагаете установить биекцию квадрат -> круг, треугольник -> круг и далее воспользоваться транзитивностью?

Или так, или как на картинке напрямую.

[INGELRII]

Sdy
Так аффинное преобразование же. Тот факт, что оно суть биекция, доказать элементарно. Им можно перевести любой отрезок в любой отрезок, и любой треугольник в любой треугольник. Правда, треугольник в квадрат уже нельзя, именно поэтому я и предложил разрезание на два треугольника и конструирование отображения для каждого из них в отдельности. И да, важно, чтобы оба отображения переводили при этом именно отрезок $D$ в отрезок $H$, в ваших обозначениях. А иначе никакой биекции как раз не будет.

Зачем тут надо приплетать полярные координаты. Просто это с давних пор мой жизненный девиз: если задачу можно решить самыми примитивными методами, не прибегая к заоблачным вещам, то ее именно так и нужно решать.

[Someone]

INGELRII в сообщении #1275952 писал(а):

Зачем тут надо приплетать полярные координаты.

Да и вообще никакие координаты не нужны, а биекцию можно описать словами.

Someone в сообщении #1274693 писал(а):

построение биекции между двумя ограниченными замкнутыми выпуклыми множествами, имеющими внутренние точки — задача совсем пустяковая.

Dan B-Yallay в сообщении #1274700 писал(а):

Наверное, можно даже усилить: между замкнутыми звёздными областями.

[Sdy]

INGELRII в сообщении #1275952 писал(а):

Sdy
Так аффинное преобразование же. Тот факт, что оно суть биекция, доказать элементарно. Им можно перевести любой отрезок в любой отрезок, и любой треугольник в любой треугольник. Правда, треугольник в квадрат уже нельзя, именно поэтому я и предложил разрезание на два треугольника и конструирование отображения для каждого из них в отдельности. И да, важно, чтобы оба отображения переводили при этом именно отрезок $D$ в отрезок $H$, в ваших обозначениях. А иначе никакой биекции как раз не будет.

Зачем тут надо приплетать полярные координаты. Просто это с давних пор мой жизненный девиз: если задачу можно решить самыми примитивными методами, не прибегая к заоблачным вещам, то ее именно так и нужно решать.

Вроде бы ясно.
То есть беру два треугольника и просто говорю, что так как растяжение (сжатие) относительно прямой - биекция, значит мои T1 и t1, T2 и t2 равномощны, L и l равномощны как отрезки, а значит и изначальные фигуры равномощны?
Я даже не знал о том, что такое афинное преоборазование. Сейчас становится понятнее, почему все кричат, что это - элементарно.