Решение дифференциального уравнения

[Someone]

Как я понимаю, решение закончено, но у меня есть ряд замечаний.

Раз уж у Вас уравнение с параметром, то надо предусмотреть всевозможные значения параметра. В частности, при $a=0$ получается уравнение первого порядка. Или в условии сказано, что $a\neq 0$?

Men007 в сообщении #1271502 писал(а):

$a \frac{dp}{dx} =p+p^{3}$

$a \frac{dp}{p+p^{3}} = dx$

При делении потеряны решения уравнения $p(1+p^2)=0$ (они могут и не быть решениями, но это надо проверять). Возможно, они потом "появятся" снова в общем решении (из-за неаккуратных преобразований), но могут и не появиться.

Men007 в сообщении #1271502 писал(а):

$a \int \frac{dp}{p+p^{3}}= \int dx$

$ \frac{p}{ \sqrt{p^{2}+1} } =e^{ \frac{x+C}{a} }$

Из-за неаккуратности потеряны решения, в которых $p<0$. Может быть, в общем решении они снова "появятся" (из-за неаккуратных преобразований), но это не факт.

В результате вычисления интеграла у Вас должно было получиться

$$a(\ln\lvert p\rvert-\frac 12\ln\lvert p^2+1\rvert)=x+C,$$

откуда

$$\frac p{\sqrt{p^2+1}}=\pm e^{\frac{x+C}a}.$$

Если обозначить $C_1=\pm e^{\frac Ca}$, то получим

$$\frac p{\sqrt{p^2+1}}=C_1e^{\frac xa},$$

причём, $C_1\neq 0$, и знак $C_1$ совпадает со знаком $p$.
Из последнего уравнения можно выразить $p$:

$$p=\pm\sqrt{\frac{C_1^2e^{\frac{2x}a}}{1-C_1^2e^{\frac{2x}a}}}.$$

Учитывая, что знак $C_1$ совпадает со знаком $p=y'$, получаем

$$y'=\frac{C_1e^{\frac xa}}{\sqrt{1-C_1^2e^{\frac{2x}a}}}.$$

Для интегрирования обозначаем $C_1e^{\frac xa}=t$ и получаем общее решение в виде $y=a\arcsin(C_1e^{\frac xa})+C_2$, где $C_1\neq 0$. Вспоминая, что было ещё уравнение $p(1+p^2)=0$, решения которого имеют вид $y=C$ и получаются из нашего общего решения как раз при $C_1=0$ (и $C_2=C$), ограничение $C_1\neq 0$ снимаем и записываем ответ в виде $y=a\arcsin(C_1e^{\frac xa})+C_2$. Занятно, что при $a=0$ это решение тоже верно.

Men007 в сообщении #1271758 писал(а):

Произведем замену
$y'=p(y)=p$ и $y''=p'(y)y'=p'(y)p=p'p$

Вам уже два человека сказали, что нельзя производные по разным переменным обозначать одинаково. Штрих обозначает производную по $x$, поэтому производную по $y$ надо обозначать по-другому. Чтобы не выдумывать своих обозначений, можно использовать стандартное $\frac{dp}{dy}$. Тогда будет $y''=p\frac{dp}{dy}$.

Также нужно заметить, что, делая такую замену, мы сразу же теряем решения вида $y=C$, так как мы приняли $y$ за независимую переменную, поэтому $y$ не может быть постоянным (и, следовательно, $p\neq 0$). Здесь $C$ может быть произвольным, но может и не быть произвольным. Чтобы выяснить это и найти годные значения $C$, нужно подставить в уравнение $y=C$, $y'=y''=\ldots=0$. В данном случае такая подстановка даёт равенство $0=0$, так что $C$ произвольное.

Men007 в сообщении #1271758 писал(а):

Делим на $p$

Делить можно, так как предполагается, что $p\neq 0$.

Men007 в сообщении #1271758 писал(а):

$y=a\cdot \arcsin e^{\frac{x+C_{2}}{a}}-C$

Потеряна "половина" решений (все решения с $y'<0$ и все решения вида $y=C$). И, конечно, можно сделать переобозначения произвольных постоянных, чтобы привести решение к виду $y=a\arcsin(C_1e^{\frac xa})+C_2$.