2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15767
Новомосковск
Как я понимаю, решение закончено, но у меня есть ряд замечаний.

Раз уж у Вас уравнение с параметром, то надо предусмотреть всевозможные значения параметра. В частности, при $a=0$ получается уравнение первого порядка. Или в условии сказано, что $a\neq 0$?

Men007 в сообщении #1271502 писал(а):
$a \frac{dp}{dx} =p+p^{3}$

$a \frac{dp}{p+p^{3}} = dx$
При делении потеряны решения уравнения $p(1+p^2)=0$ (они могут и не быть решениями, но это надо проверять). Возможно, они потом "появятся" снова в общем решении (из-за неаккуратных преобразований), но могут и не появиться.

Men007 в сообщении #1271502 писал(а):
$a \int \frac{dp}{p+p^{3}}= \int dx$

$ \frac{p}{ \sqrt{p^{2}+1} } =e^{ \frac{x+C}{a} }$
Из-за неаккуратности потеряны решения, в которых $p<0$. Может быть, в общем решении они снова "появятся" (из-за неаккуратных преобразований), но это не факт.

В результате вычисления интеграла у Вас должно было получиться $$a(\ln\lvert p\rvert-\frac 12\ln\lvert p^2+1\rvert)=x+C,$$ откуда $$\frac p{\sqrt{p^2+1}}=\pm e^{\frac{x+C}a}.$$ Если обозначить $C_1=\pm e^{\frac Ca}$, то получим $$\frac p{\sqrt{p^2+1}}=C_1e^{\frac xa},$$ причём, $C_1\neq 0$, и знак $C_1$ совпадает со знаком $p$.
Из последнего уравнения можно выразить $p$: $$p=\pm\sqrt{\frac{C_1^2e^{\frac{2x}a}}{1-C_1^2e^{\frac{2x}a}}}.$$ Учитывая, что знак $C_1$ совпадает со знаком $p=y'$, получаем $$y'=\frac{C_1e^{\frac xa}}{\sqrt{1-C_1^2e^{\frac{2x}a}}}.$$ Для интегрирования обозначаем $C_1e^{\frac xa}=t$ и получаем общее решение в виде $y=a\arcsin(C_1e^{\frac xa})+C_2$, где $C_1\neq 0$. Вспоминая, что было ещё уравнение $p(1+p^2)=0$, решения которого имеют вид $y=C$ и получаются из нашего общего решения как раз при $C_1=0$$C_2=C$), ограничение $C_1\neq 0$ снимаем и записываем ответ в виде $y=a\arcsin(C_1e^{\frac xa})+C_2$. Занятно, что при $a=0$ это решение тоже верно.

Men007 в сообщении #1271758 писал(а):
Произведем замену
$y'=p(y)=p$ и $y''=p'(y)y'=p'(y)p=p'p$
Вам уже два человека сказали, что нельзя производные по разным переменным обозначать одинаково. Штрих обозначает производную по $x$, поэтому производную по $y$ надо обозначать по-другому. Чтобы не выдумывать своих обозначений, можно использовать стандартное $\frac{dp}{dy}$. Тогда будет $y''=p\frac{dp}{dy}$.

Также нужно заметить, что, делая такую замену, мы сразу же теряем решения вида $y=C$, так как мы приняли $y$ за независимую переменную, поэтому $y$ не может быть постоянным (и, следовательно, $p\neq 0$). Здесь $C$ может быть произвольным, но может и не быть произвольным. Чтобы выяснить это и найти годные значения $C$, нужно подставить в уравнение $y=C$, $y'=y''=\ldots=0$. В данном случае такая подстановка даёт равенство $0=0$, так что $C$ произвольное.

Men007 в сообщении #1271758 писал(а):
Делим на $p$
Делить можно, так как предполагается, что $p\neq 0$.

Men007 в сообщении #1271758 писал(а):
$y=a\cdot \arcsin e^{\frac{x+C_{2}}{a}}-C$
Потеряна "половина" решений (все решения с $y'<0$ и все решения вида $y=C$). И, конечно, можно сделать переобозначения произвольных постоянных, чтобы привести решение к виду $y=a\arcsin(C_1e^{\frac xa})+C_2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group