Решение дифференциального уравнения

[Men007]

Решить дифференциальное уравнение:
$y'(1+(y')^{2})=ay''$

Решение:
Производим замену:
$y'(x)=p(x); y''(x)=p'(x)$
Решаем уравнение с разделяющимися переменными:
$p(1+p^{2})=ap'$

$a \frac{dp}{dx} =p+p^{3}$

$a \frac{dp}{p+p^{3}} = dx$

$a \int \frac{dp}{p+p^{3}}= \int dx$

$ \frac{p}{ \sqrt{p^{2}+1} } =e^{ \frac{x+C}{a} }$.

Однако, как решать дальше я не совсем понимаю. Как произвести обратную замену, и как найти $y$?

[kotenok gav]

Возведите последнее выражение в квадрат.

[Men007]

kotenok gav
$\frac{p^{2}}{p^{2}+1}=Ce^{\frac{2x}{a}}$
И получаем:
$p=\pm \sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1-Ce^{\frac{2x}{a}}}}$

или $\frac{dy}{dx}=\pm \sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1-Ce^{\frac{2x}{a}}}}$
А что с этим делать дальше я не понимаю. Как проинтегрировать полученное выражение.

[fred1996]

Men007
Нужно сделать последовательно несколько подстановок.
Первая достаточно очевидна. Вам надо избавиться от экспоненты. Экспоненты дружат с логарифмами, а производная от логарифма опять дает степень.
Это логика. А техника за вами.

[Men007]

fred1996
Очень сложные получаются выражения, которые не известно как интегрировать.
А можно в моем случае $y''= f(y')$ произвести замену $y'(x)=p(y)=p$; $y''(x)=p'(y)p=p'p$ ?
Или здесь только можно произвести замену $y'(x)=p(x)=p$; $y''(x)=p'(x)=p'$ ?

[Pphantom]

Men007 в сообщении #1271632 писал(а):

Очень сложные получаются выражения, которые не известно как интегрировать.

Ой ли? Сделайте хотя бы очевидную замену $z=C e^\frac{2x}{a}$, этого уже хватит.

[Someone]

Men007 в сообщении #1271632 писал(а):

А можно в моем случае $y''= f(y')$ произвести замену $y'(x)=p(y)=p$; $y''(x)=p'(y)p=p'p$ ?

Да кто ж Вам это может запретить? Только производные по $x$ и по $y$ нужно как-нибудь по-разному обозначать.

[Men007]

Pphantom

Я пытался заменить. В итоге вышло:

$\frac{dy}{dx}=\pm \sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1-Ce^{\frac{2x}{a}}}}$.

Возьмем положительное решение:

$\int dy=\int (\sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1-Ce^{\frac{2x}{a}}}})dx$

$Ce^{\frac{2x}{a}}=z$;
$C\frac{2}{a}e^{\frac{2x}{a}}dx=dz$;
$dx=\frac{adz}{2z}$

Тогда:
$y=\frac{a}{2}\int (\frac{1}{z}\sqrt{\frac{z}{1+z}})dz$

Решая данное выражения, используя замены, получаем:

$y=\frac{a}{2}[\ln(1+\sqrt{\frac{z}{1+z}})-\ln(1-\sqrt{\frac{z}{1+z}})]+C_{2}$.

Подставляем обратно $Ce^{\frac{2x}{a}}=z$:

$y=\frac{a}{2}[\ln(1+\sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1+Ce^{\frac{2x}{a}}}})-\ln(1-\sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1+Ce^{\frac{2x}{a}}}})]+C_{2}$.

Однако я не уверен в правильности, полученного ответа.
Если же делать другую замену: $y'(x)=p(y)$ и $y''(x)=p'(y)$, то выходит совершенно другой ответ $y=a\cdot\arcsin(e^{\frac{x+C_{2}}{a}})-C$, хотя (как мне сказали) решение не зависит от того, какую замену делать.

[Pphantom]

Men007 в сообщении #1271729 писал(а):

Однако я не уверен в правильности, полученного ответа.

Детально не проверял, но на первый взгляд похоже на правду.

Men007 в сообщении #1271729 писал(а):

Если же делать другую замену: $y'(x)=p(y)$ и $y''(x)=p'(y)$,

Вам же уже Someone сказал: Вы путаете производные по разным переменным. Если $y'(x)=p(y)$ - именно функция от $y$, то утверждение $y''(x)=p'(y)$ неверно (точнее, оно будет верным, если истолковать его как $y''(x)=\frac{dp(y)}{dx}$, но пользы от этого немного).

[Men007]

Pphantom
Я имел ввиду $y''(x)=p'(y)y'(x)=p'(y)p(y)$. При таком раскладе ответ будет отличаться от того, что я записал.

[Pphantom]

Men007 в сообщении #1271744 писал(а):

При таком раскладе ответ будет отличаться от того, что я записал.

А покажите, как Вы его получили. В таком случае решение должно было получиться в виде функции $x=x(y)$ и, кажется, где-то в этом месте Вы что-то посеяли.

[Men007]

Pphantom

$y'(1+(y')^2)=ay''$
Произведем замену
$y'=p(y)=p$ и $y''=p'(y)y'=p'(y)p=p'p$
Тогда:
$p(1+p^{2})=ap'p$
Делим на $p$ :
$a\frac{dp}{dy}=p^{2}+1$
$a\int \frac{dp}{p^{2}+1}=\int dy$
$a\cdot \arctg (p)=y+C$
$p=\tg\frac{y+C}{a}$
$\frac{dy}{dx}=\tg\frac{y+C}{a}$

Следовательно, имеем:
$\ctg(\frac{y+C}{a})dy=dx$

Интегрируя, получаем:
$a \ln|\sin(\frac{y+C}{a})|=x+C_{2}$

Откуда:
$y=a\cdot \arcsin e^{\frac{x+C_{2}}{a}}-C$

[DeBill]

Men007 в сообщении #1271729 писал(а):

Однако я не уверен в правильности, полученного ответа

И это правильно...
Откуда два слагаемых? Было - два случая - с плюсом, и минусом. Два случая и останутся.
И: под корнем, в знаменателе, плюс превратился в минус. Верните его - минус - на место.
И будет Вам арксинус вместо длинного логарифма...

-- 04.12.2017, 04:32 --

А в другом решении - оно таки лучше, потому как короче - убрали модуль за просто так....

[Pphantom]

Да, похоже, разница не настолько велика, как кажется на первый взгляд.

[Men007]

DeBill
То ест для второго решения модуль нужно раскрыть так:

$\sin(\frac{y+C}{a})=\pm e^{(\frac{x+C_{2}}{a})}$

$y=\pm a \cdot \arcsin [e^{(\frac{x+C_{2}}{a})}] - C$ ?