2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Решение дифференциального уравнения
Сообщение03.12.2017, 18:44 


22/11/16
109
Решить дифференциальное уравнение:
$y'(1+(y')^{2})=ay''$

Решение:
Производим замену:
$y'(x)=p(x); y''(x)=p'(x)$
Решаем уравнение с разделяющимися переменными:
$p(1+p^{2})=ap'$

$a \frac{dp}{dx} =p+p^{3}$

$a \frac{dp}{p+p^{3}} = dx$

$a \int \frac{dp}{p+p^{3}}= \int dx$

$ \frac{p}{ \sqrt{p^{2}+1} } =e^{ \frac{x+C}{a} }$.

Однако, как решать дальше я не совсем понимаю. Как произвести обратную замену, и как найти $y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение03.12.2017, 18:48 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
Возведите последнее выражение в квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение03.12.2017, 19:01 


22/11/16
109
kotenok gav
$\frac{p^{2}}{p^{2}+1}=Ce^{\frac{2x}{a}}$
И получаем:
$p=\pm \sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1-Ce^{\frac{2x}{a}}}}$

или $\frac{dy}{dx}=\pm \sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1-Ce^{\frac{2x}{a}}}}$
А что с этим делать дальше я не понимаю. Как проинтегрировать полученное выражение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение03.12.2017, 19:14 
Аватара пользователя


09/10/15
2811
Columbia, Missouri, USA
Men007
Нужно сделать последовательно несколько подстановок.
Первая достаточно очевидна. Вам надо избавиться от экспоненты. Экспоненты дружат с логарифмами, а производная от логарифма опять дает степень.
Это логика. А техника за вами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение03.12.2017, 22:14 


22/11/16
109
fred1996
Очень сложные получаются выражения, которые не известно как интегрировать.
А можно в моем случае $y''= f(y')$ произвести замену $y'(x)=p(y)=p$; $y''(x)=p'(y)p=p'p$ ?
Или здесь только можно произвести замену $y'(x)=p(x)=p$; $y''(x)=p'(x)=p'$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение03.12.2017, 23:12 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14537
Кронштадт
Men007 в сообщении #1271632 писал(а):
Очень сложные получаются выражения, которые не известно как интегрировать.
Ой ли? Сделайте хотя бы очевидную замену $z=C e^\frac{2x}{a}$, этого уже хватит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение03.12.2017, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15788
Новомосковск
Men007 в сообщении #1271632 писал(а):
А можно в моем случае $y''= f(y')$ произвести замену $y'(x)=p(y)=p$; $y''(x)=p'(y)p=p'p$ ?
Да кто ж Вам это может запретить? Только производные по $x$ и по $y$ нужно как-нибудь по-разному обозначать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 00:39 


22/11/16
109
Pphantom

Я пытался заменить. В итоге вышло:

$\frac{dy}{dx}=\pm \sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1-Ce^{\frac{2x}{a}}}}$.

Возьмем положительное решение:

$\int dy=\int (\sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1-Ce^{\frac{2x}{a}}}})dx$

$Ce^{\frac{2x}{a}}=z$;
$C\frac{2}{a}e^{\frac{2x}{a}}dx=dz$;
$dx=\frac{adz}{2z}$

Тогда:
$y=\frac{a}{2}\int (\frac{1}{z}\sqrt{\frac{z}{1+z}})dz$

Решая данное выражения, используя замены, получаем:

$y=\frac{a}{2}[\ln(1+\sqrt{\frac{z}{1+z}})-\ln(1-\sqrt{\frac{z}{1+z}})]+C_{2}$.

Подставляем обратно $Ce^{\frac{2x}{a}}=z$:

$y=\frac{a}{2}[\ln(1+\sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1+Ce^{\frac{2x}{a}}}})-\ln(1-\sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1+Ce^{\frac{2x}{a}}}})]+C_{2}$.

Однако я не уверен в правильности, полученного ответа.
Если же делать другую замену: $y'(x)=p(y)$ и $y''(x)=p'(y)$, то выходит совершенно другой ответ $y=a\cdot\arcsin(e^{\frac{x+C_{2}}{a}})-C$, хотя (как мне сказали) решение не зависит от того, какую замену делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 00:54 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14537
Кронштадт
Men007 в сообщении #1271729 писал(а):
Однако я не уверен в правильности, полученного ответа.
Детально не проверял, но на первый взгляд похоже на правду.
Men007 в сообщении #1271729 писал(а):
Если же делать другую замену: $y'(x)=p(y)$ и $y''(x)=p'(y)$,
Вам же уже Someone сказал: Вы путаете производные по разным переменным. Если $y'(x)=p(y)$ - именно функция от $y$, то утверждение $y''(x)=p'(y)$ неверно (точнее, оно будет верным, если истолковать его как $y''(x)=\frac{dp(y)}{dx}$, но пользы от этого немного).

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 00:59 


22/11/16
109
Pphantom
Я имел ввиду $y''(x)=p'(y)y'(x)=p'(y)p(y)$. При таком раскладе ответ будет отличаться от того, что я записал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 01:06 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14537
Кронштадт
Men007 в сообщении #1271744 писал(а):
При таком раскладе ответ будет отличаться от того, что я записал.
А покажите, как Вы его получили. В таком случае решение должно было получиться в виде функции $x=x(y)$ и, кажется, где-то в этом месте Вы что-то посеяли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 01:34 


22/11/16
109
Pphantom

$y'(1+(y')^2)=ay''$
Произведем замену
$y'=p(y)=p$ и $y''=p'(y)y'=p'(y)p=p'p$
Тогда:
$p(1+p^{2})=ap'p$
Делим на $p$ :
$a\frac{dp}{dy}=p^{2}+1$
$a\int \frac{dp}{p^{2}+1}=\int dy$
$a\cdot \arctg (p)=y+C$
$p=\tg\frac{y+C}{a}$
$\frac{dy}{dx}=\tg\frac{y+C}{a}$

Следовательно, имеем:
$\ctg(\frac{y+C}{a})dy=dx$

Интегрируя, получаем:
$a \ln|\sin(\frac{y+C}{a})|=x+C_{2}$

Откуда:
$y=a\cdot \arcsin e^{\frac{x+C_{2}}{a}}-C$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 02:29 
Заслуженный участник


10/01/16
1689
Men007 в сообщении #1271729 писал(а):
Однако я не уверен в правильности, полученного ответа

И это правильно...
Откуда два слагаемых? Было - два случая - с плюсом, и минусом. Два случая и останутся.
И: под корнем, в знаменателе, плюс превратился в минус. Верните его - минус - на место.
И будет Вам арксинус вместо длинного логарифма...

-- 04.12.2017, 04:32 --

А в другом решении - оно таки лучше, потому как короче - убрали модуль за просто так....

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 11:26 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14537
Кронштадт
Да, похоже, разница не настолько велика, как кажется на первый взгляд. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 15:14 


22/11/16
109
DeBill
То ест для второго решения модуль нужно раскрыть так:

$\sin(\frac{y+C}{a})=\pm e^{(\frac{x+C_{2}}{a})}$

$y=\pm a \cdot \arcsin [e^{(\frac{x+C_{2}}{a})}] - C$ ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Someone


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group