2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Решение дифференциального уравнения
Сообщение03.12.2017, 18:44 


22/11/16
61
Решить дифференциальное уравнение:
$y'(1+(y')^{2})=ay''$

Решение:
Производим замену:
$y'(x)=p(x); y''(x)=p'(x)$
Решаем уравнение с разделяющимися переменными:
$p(1+p^{2})=ap'$

$a \frac{dp}{dx} =p+p^{3}$

$a \frac{dp}{p+p^{3}} = dx$

$a \int \frac{dp}{p+p^{3}}= \int dx$

$ \frac{p}{ \sqrt{p^{2}+1} } =e^{ \frac{x+C}{a} }$.

Однако, как решать дальше я не совсем понимаю. Как произвести обратную замену, и как найти $y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение03.12.2017, 18:48 


21/05/16
1044
Аделаида
Возведите последнее выражение в квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение03.12.2017, 19:01 


22/11/16
61
kotenok gav
$\frac{p^{2}}{p^{2}+1}=Ce^{\frac{2x}{a}}$
И получаем:
$p=\pm \sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1-Ce^{\frac{2x}{a}}}}$

или $\frac{dy}{dx}=\pm \sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1-Ce^{\frac{2x}{a}}}}$
А что с этим делать дальше я не понимаю. Как проинтегрировать полученное выражение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение03.12.2017, 19:14 
Аватара пользователя


09/10/15
2430
San Jose, USA
Men007
Нужно сделать последовательно несколько подстановок.
Первая достаточно очевидна. Вам надо избавиться от экспоненты. Экспоненты дружат с логарифмами, а производная от логарифма опять дает степень.
Это логика. А техника за вами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение03.12.2017, 22:14 


22/11/16
61
fred1996
Очень сложные получаются выражения, которые не известно как интегрировать.
А можно в моем случае $y''= f(y')$ произвести замену $y'(x)=p(y)=p$; $y''(x)=p'(y)p=p'p$ ?
Или здесь только можно произвести замену $y'(x)=p(x)=p$; $y''(x)=p'(x)=p'$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение03.12.2017, 23:12 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
12605
Кронштадт
Men007 в сообщении #1271632 писал(а):
Очень сложные получаются выражения, которые не известно как интегрировать.
Ой ли? Сделайте хотя бы очевидную замену $z=C e^\frac{2x}{a}$, этого уже хватит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение03.12.2017, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15162
Новомосковск
Men007 в сообщении #1271632 писал(а):
А можно в моем случае $y''= f(y')$ произвести замену $y'(x)=p(y)=p$; $y''(x)=p'(y)p=p'p$ ?
Да кто ж Вам это может запретить? Только производные по $x$ и по $y$ нужно как-нибудь по-разному обозначать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 00:39 


22/11/16
61
Pphantom

Я пытался заменить. В итоге вышло:

$\frac{dy}{dx}=\pm \sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1-Ce^{\frac{2x}{a}}}}$.

Возьмем положительное решение:

$\int dy=\int (\sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1-Ce^{\frac{2x}{a}}}})dx$

$Ce^{\frac{2x}{a}}=z$;
$C\frac{2}{a}e^{\frac{2x}{a}}dx=dz$;
$dx=\frac{adz}{2z}$

Тогда:
$y=\frac{a}{2}\int (\frac{1}{z}\sqrt{\frac{z}{1+z}})dz$

Решая данное выражения, используя замены, получаем:

$y=\frac{a}{2}[\ln(1+\sqrt{\frac{z}{1+z}})-\ln(1-\sqrt{\frac{z}{1+z}})]+C_{2}$.

Подставляем обратно $Ce^{\frac{2x}{a}}=z$:

$y=\frac{a}{2}[\ln(1+\sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1+Ce^{\frac{2x}{a}}}})-\ln(1-\sqrt{\frac{Ce^{\frac{2x}{a}}}{1+Ce^{\frac{2x}{a}}}})]+C_{2}$.

Однако я не уверен в правильности, полученного ответа.
Если же делать другую замену: $y'(x)=p(y)$ и $y''(x)=p'(y)$, то выходит совершенно другой ответ $y=a\cdot\arcsin(e^{\frac{x+C_{2}}{a}})-C$, хотя (как мне сказали) решение не зависит от того, какую замену делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 00:54 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
12605
Кронштадт
Men007 в сообщении #1271729 писал(а):
Однако я не уверен в правильности, полученного ответа.
Детально не проверял, но на первый взгляд похоже на правду.
Men007 в сообщении #1271729 писал(а):
Если же делать другую замену: $y'(x)=p(y)$ и $y''(x)=p'(y)$,
Вам же уже Someone сказал: Вы путаете производные по разным переменным. Если $y'(x)=p(y)$ - именно функция от $y$, то утверждение $y''(x)=p'(y)$ неверно (точнее, оно будет верным, если истолковать его как $y''(x)=\frac{dp(y)}{dx}$, но пользы от этого немного).

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 00:59 


22/11/16
61
Pphantom
Я имел ввиду $y''(x)=p'(y)y'(x)=p'(y)p(y)$. При таком раскладе ответ будет отличаться от того, что я записал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 01:06 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
12605
Кронштадт
Men007 в сообщении #1271744 писал(а):
При таком раскладе ответ будет отличаться от того, что я записал.
А покажите, как Вы его получили. В таком случае решение должно было получиться в виде функции $x=x(y)$ и, кажется, где-то в этом месте Вы что-то посеяли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 01:34 


22/11/16
61
Pphantom

$y'(1+(y')^2)=ay''$
Произведем замену
$y'=p(y)=p$ и $y''=p'(y)y'=p'(y)p=p'p$
Тогда:
$p(1+p^{2})=ap'p$
Делим на $p$ :
$a\frac{dp}{dy}=p^{2}+1$
$a\int \frac{dp}{p^{2}+1}=\int dy$
$a\cdot \arctg (p)=y+C$
$p=\tg\frac{y+C}{a}$
$\frac{dy}{dx}=\tg\frac{y+C}{a}$

Следовательно, имеем:
$\ctg(\frac{y+C}{a})dy=dx$

Интегрируя, получаем:
$a \ln|\sin(\frac{y+C}{a})|=x+C_{2}$

Откуда:
$y=a\cdot \arcsin e^{\frac{x+C_{2}}{a}}-C$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 02:29 
Заслуженный участник


10/01/16
1442
Men007 в сообщении #1271729 писал(а):
Однако я не уверен в правильности, полученного ответа

И это правильно...
Откуда два слагаемых? Было - два случая - с плюсом, и минусом. Два случая и останутся.
И: под корнем, в знаменателе, плюс превратился в минус. Верните его - минус - на место.
И будет Вам арксинус вместо длинного логарифма...

-- 04.12.2017, 04:32 --

А в другом решении - оно таки лучше, потому как короче - убрали модуль за просто так....

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 11:26 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
12605
Кронштадт
Да, похоже, разница не настолько велика, как кажется на первый взгляд. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение дифференциального уравнения
Сообщение04.12.2017, 15:14 


22/11/16
61
DeBill
То ест для второго решения модуль нужно раскрыть так:

$\sin(\frac{y+C}{a})=\pm e^{(\frac{x+C_{2}}{a})}$

$y=\pm a \cdot \arcsin [e^{(\frac{x+C_{2}}{a})}] - C$ ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group