сколькими способами можно переставить буквы в слове...

[PAV]

Подумайте еще лучше с утра на свежую голову. Самое важное в подобных задачах - не посчитать один и тот же вариант несколько раз.

[Mr.Cherry]

Хорошо.
Ну а вариант с двумя "м" после "а" правильный?

[Архипов]

(Оффтоп)

Mr.Cherry писал(а):

Сколькими способами можно переставить буквы слова "диаграмма", чтобы "м" шла непосредственно после "а"?

А теперь вопрос: что нужно искать?
1. Количество перестановок ? (в задаче есть слово "переставить).
2. Количество сочетаний? (заданы сочетания "ам" (одно или два?)).
3. Количество размещений? ( заданы размещения ("м" после "а").

[bot]

Архипов писал(а):

А теперь вопрос: что нужно искать?

Мне кажется всем, кроме Вас ясно, что искать, за исключением нюанса - одна или обе М идут сразу после А.
Имеется алфавит {А, Г, Д, И, М, Р}. Составляются слова, в которые
буквы Г, Д, И, Р входят по разу, буква М дважды, а буква А - трижды. Требуется определить, сколько из этих слов удовлетворяет условию
а) одна буква М следует сразу после А
б) обе М следуют после А

Случай б) вот здесь (склоняюсь к тому, что он и имелся в виду):

Mr.Cherry писал(а):

8*7*6*5*4*3=2880

Добавлено после написания следующего абзаца: Хотя нет - не совсем, пусть Mr.Cherry сам поправит.

Ну и в самом деле, если обе М следуют после А, то мы имеем дело с алфавитом {АМ, А, Г, Д, И, Р} и составляем слова, в котором буква АМ присутствует дважды, остальные по разу - это перестановки с повторениями.

Случай а) нуждается в уточнении:
а1) ровно одна буква М следует сразу после А
а2) хотя бы одна М следует сразу после А.

[Профессор Снэйп]

bot писал(а):

Ну и в самом деле, если обе М следуют после А, то мы имеем дело с алфавитом {АМ, А, Г, Д, И, Р} и составляем слова, в котором буква АМ присутствует дважды, остальные по разу - это перестановки с повторениями.

Случай а) нуждается в уточнении:
а1) ровно одна буква М следует сразу после А
а2) хотя бы одна М следует сразу после А.

Э-э-э... Тут всё не так просто. И условие задачи недостаточно ясно сформулировано. Позволю себе его напомнить.

Mr.Cherry писал(а):

Сколькими способами можно переставить буквы слова "диаграмма", чтобы "м" шла непосредственно после "а"?

Спрашивается, сколькими способами можно переставить буквы. А вот если мы переставляем местами 2 одинаковые буквы, не трогая остальные --- это считается за "перестановку"? По-видимому да, хотя, конечно, слово при этом не меняется. Мне ситуация представляется следующим образом: есть девять фишек с буквами, на двух из них нарисованы одна и та же буква "М", а на трёх других --- одна и та же буква "А", но несмотря на это все девять фишек различны. Есть также девять идущих друг за другом клеточек. Требуется выяснить, сколькими способами можно расставить фишки по клеточкам, соблюдая определённое условие ("М" должна располагаться после "А")

В таком понимании неопределённости выбора между a1 и a2 вроде как нет, да и сами альтернативы как-то не так сформулированы. Я понимаю задачу так, что при любой допустимой расстановке каждая фишка, на которой нарисована буква "М" должна располагаться на клетке, следующей за клеткой, в которой располагается одна из букв "А". Ответ получается такой:

$$ \frac{7!}{2!} \cdot 3! \cdot 2! = 30240 $$

Первый множитель $7! / 2!$ --- это количество способов, которыми можно составить такое слово в алфавите

$$ \{ \text{Д}, \text{И}, \text{А}, \text{Г}, \text{Р}, (\text{АМ})_1, (\text{АМ})_2 \} $$

в котором каждая буква встречается ровно по одному разу и порядок следования двух "одинаковых" букв $(\text{АМ})_1, (\text{АМ})_2$ фиксирован. Далее множители $3!$ и $2!$ --- это количества способов переставить буквы "А" и "М" в полученном слове соответственно.

Хотя, возможно, я неправильно понимаю условие задачи. Должен сказать, что Архипов иногда всё же бывает прав, говоря о некорректности формулировки некоторых комбинаторных задач (см. тему), хотя, конечно, как правило он пишет совершенную чепуху, выискивая сложности там, где их нет.

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

Спрашивается, сколькими способами можно переставить буквы. А вот если мы переставляем местами 2 одинаковые буквы, не трогая остальные --- это считается за "перестановку"? По-видимому да, хотя, конечно, слово при этом не меняется.

Конечно же - нет! На трезвую голову становится ясно, что неразличимые варианты не следует различать насильно.

[Архипов]

Профессор Снэйп писал(а):

Хотя, возможно, я неправильно понимаю условие задачи. Должен сказать, что Архипов иногда всё же бывает прав, говоря о некорректности формулировки некоторых комбинаторных задач (см. тему), хотя, конечно, как правило он пишет совершенную чепуху, выискивая сложности там, где их нет.

Да, не всегда я прав. Когда сомневаюсь - так и говорю, что сомневаюсь. В комбинаторике, как и в теории вероятностей, свойства объектов, события, процедура в эксперименте должны описываться четко и однозначно. Иначе каждый, решающий задачу, волен трактовать условия как ему угодно. Что и делается по поводу обсуждаемой задачи.
Автор задачи взял "три арии из разных опер" и пытается ответить на вопрос о количестве "способов".

Архипов писал(а):

А теперь вопрос: что нужно искать?
1. Количество перестановок ? (в задаче есть слово "переставить).
2. Количество сочетаний? (заданы сочетания "ам" (одно или два?)).
3. Количество размещений? ( заданы размещения ("м" после "а").

Будем дальше гадать или признаем, что задача бестолковая?

[Brukvalub]

Архипов писал(а):

Будем дальше гадать или признаем, что задача бестолковая?

Нет, просто Архипов перестанет дурочку валять и поймет, что требуется найти число различных записей из всех букв исходного слова с предписанным в условии свойством, при этом одинаковые по написанию буквы следует считать неразличимыми. Надеюсь, мне не потребуется дополнительно разъяснять, что такое запись, и какие записи нужно считать различными?

[Архипов]

Brukvalub писал(а):

Нет, просто Архипов перестанет дурочку валять и поймет, что требуется найти число различных записей из всех букв исходного слова с предписанным в условии свойством, при этом одинаковые по написанию буквы следует считать неразличимыми. Надеюсь, мне не потребуется дополнительно разъяснять, что такое запись, и какие записи нужно считать различными?

Ну раз Вы такой умный, ответьте на вопрос: Что нужно найти ?
Количество (или перестановок, или сочетаний, или размещений)?
Что-то одно, а не все в одном числе. Что такое записи я знаю.

[нг]

Brukvalub,
Архипов
Не увлекайтесь, пожалуйста.


Архипов, Ваше вторжение в каждую тему (с теорией, что все задачи в комбинаторике и теории вероятностей некорректны) мешает и тем, кто пришёл за помощью, и тем, кто пытается помочь. Я предупреждаю Вас: последующие выступления такого рода вне явно заявленной темы будут рассматриваться как злостный намеренный оффтоп (I.1и) со всеми вытекающими последствиями.

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

...что требуется найти число различных записей из всех букв исходного слова с предписанным в условии свойством, при этом одинаковые по написанию буквы следует считать неразличимыми.

Не знаю, мне это не показалось очевидным.

Возьмём какую-нибудь фигуру, например куб. Все преобразования движения, переводящие его в себя, образуют группу симметрии куба, и эта группа отлична от единичной. Можно по аналогии рассмотреть какое-нибудь слово и описывать все перестановки букв в этом слове, после которых слово не изменяется. И если в слове встречаются одинаковые буквы, то такая "группа симметрии слова" тоже будет отлична от единичной.

В конце-концов, в задаче требуется считать именно "количество перестановок", а не "количество записей".

Встретившись на практике с такой задачей, я бы либо уточнил у преподавателя, какой смысл он вкладывает в условие, либо (если задача из задачника и к ней нет никаких указаний) посмотрел бы ответ и по ответу восстановил бы правильный способ понимания условия.

[bot]

Brukvalub писал(а):

Надеюсь, мне не потребуется дополнительно разъяснять, что такое запись, и какие записи нужно считать различными?

Профессор Снэйп писал(а):

В конце-концов, в задаче требуется считать именно "количество перестановок", а не "количество записей".

Задача ведь комбинаторная. Наиболее часто встречающиеся объекты в этом разделе имеют специальные названия. В других разделах (для примера в теории вероятностей) эти же объекты имеют другие названия.
Термин перестановка может быть не очень удачен из-за того, что образован от глагола переставлять, отсюда и непонятки.
Не надо ничего переставлять. Что есть термин перестановка в комбинаторике? Если без повторений, то биекция, с повторениями - суръекция.
Вот Brukvalub говорит запись и мне понятно без лишних разъяснений о чём речь - об упорядоченной конечной последовательности, это и есть суръекция множества номеров мест на соответствующие члены записи.
Другой эквивалент - это слово (с кратными или простыми вхождениями букв) в некоммутативной полугруппе слов. Вот на этом языке, не допускающем разночтений, я сейчас и переформулирую задачу.
Берём свободную полугруппу со свободными образующими Д, И, А, Г, Р, М и рассмотрим её гомоморфизм на свободную коммутативную полугруппу с теми же образующими, при которых образующие переходят сами в себя, образуем фактор по ядерной конгруенции и спросим:
1) Сколько элементов полугруппы окажется в смежном классе, содержащем элемент (слово) ДИАГРАММА?
2) Сколько среди них имеет двойное вхождение подслова АМ?

Что, каждую задачу по комбинаторике или по теории вероятностей прикажете оформлять этим или подобным способом?

[PAV]

PAV:

bot, просьба обращаться к участникам форума по никам, а не реальным именам

[Профессор Снэйп]

bot писал(а):

Что, каждую задачу по комбинаторике или по теории вероятностей прикажете оформлять этим или подобным способом?

Да нет конечно, подобным образом не надо. Но всё равно над формулировками можно и нужно работать. К примеру,спросили бы не "сколькими способами можно переставить буквы", а "сколькими способами можно записать слово из данных букв",все недоразумения сразу бы исчезли.

Давайте, кстати, спросим у автора темы, какой ответ в итоге оказался правильным. Он же наверняка уже сдал задачу своему преподавателю.

[PAV]

Профессор Снэйп писал(а):

Но всё равно над формулировками можно и нужно работать.

Это верно. Данная формулировка - на "троечку с минусом"