2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Изоморфность интерпретаций
Сообщение08.11.2017, 17:27 


03/06/12
1720
Здравствуйте! Читаю книгу Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической логики. Попалась на стр. 50 такая задача:

Доказать, что $(\mathbb{R},+)\simeq(\mathbb{R}^{2},+)$, где сложение пар действительных чисел производится покомпонентно.

Ничего более умного на ум не приходит, как использовать какое-нибудь однозначное представление действительного числа в виде суммы двух каких-нибудь чисел. Но каких? Целая и дробная части числа здесь явно не помогут. А как можно еще? Помогите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение08.11.2017, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11962
Казань
Я подумала, что можно "перемешать" цифры двух чисел, например, $(15,24)\to1254$ ?

Но сумма не сохранится (за счет перехода разрядов)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение08.11.2017, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
И то и другое $\mathbb{Q}$-век.спейс континуальной размерности, в частности, изоморфны как абелевы группы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение08.11.2017, 17:52 


03/06/12
1720
provincialka в сообщении #1263490 писал(а):
Но сумма не сохранится (за счет перехода разрядов)

Дык вот и меня этот момент смущает. Плюс еще бывают дроби, непонятно, как дробную и целую части различать. А еще знак числа нужно как-то учесть.

-- 08.11.2017, 19:01 --

kp9r4d в сообщении #1263492 писал(а):
И то и другое $\mathbb{Q}$-век.спейс континуальной размерности

В той книге нет и упоминания о таком понятии, я не знаю, что это такое. И, вообще, судя по теории, предваряющей эту задачу, должно существовать решение на пальцах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение08.11.2017, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11962
Казань
kp9r4d, вы имеете в виду существование базиса Гамеля? Ну... это явно не для начинающих...
Sinoid а вы все-таки познакомьтесь с этим понятием! Хотя вместить его в голову довольно сложно...

-- 08.11.2017, 18:31 --

Получается, надо построить функцию $z=f(x,y)$, аддитивную по каждому аргументу, то есть $f(x_1+x_2,y)=f(x_1,y)+f(x_2,y)$, и так же по $y$. Для каждого аргумента получаем функциональное уравнение Коши. Из которого базис Гамеля и "вылезает".

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение08.11.2017, 23:07 


03/06/12
1720
Ясно. Спасибо большое.
provincialka в сообщении #1263504 писал(а):
Sinoid а вы все-таки познакомьтесь с этим понятием!

Я думаю, сейчас все же не время распыляться во все стороны. Сейчас гораздо важнее прочитать хотя бы эту книгу на одном дыхании, чтобы составить хоть какое-нибудь первоначальное целостное представление о матлогике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение08.11.2017, 23:20 
Заслуженный участник


23/07/08
8162
Харьков

(Оффтоп)

А первоначальное у Вас уже есть — из конспектов Асемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение09.11.2017, 00:15 


03/06/12
1720

(Оффтоп)

svv в сообщении #1263636 писал(а):
А первоначальное у Вас уже есть — из конспектов Асемы.


Знаете, первоклассник умеет считать столбиком, но у него нет представления о арифметике в целом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение09.11.2017, 00:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145

(Оффтоп)

Но если принять без доказательства, что базис Гамеля существует в любом линейном пространстве, разобраться с решением аддитивного функционального уравнения на $\mathbb R$ за время обсуждения методологии изучения математики, в принципе, можно было бы, как по мне. :wink: (Если принять, что знание о линейных пространствах вплоть до обычного конечного базиса (и теоремы о задании линейного оператора его значениями на элементах базиса) уже есть.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение09.11.2017, 01:00 


03/06/12
1720

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1263676 писал(а):
Но если принять без доказательства

И получить неполное представление.
arseniiv в сообщении #1263676 писал(а):
за время обсуждения методологии изучения математики

Так а я уже и не трачу на это время, начал читать дальше, про выразимость, а тут пишу по 2-3 минуты, за это время так и так ничего не освоить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение09.11.2017, 01:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
4017
Москва
Sinoid в сообщении #1263495 писал(а):
И, вообще, судя по теории, предваряющей эту задачу, должно существовать решение на пальцах.

Совсем на пальцах не получится, т.к. из этого изоморфизма легко изготавливается нелинейная аддитивная функция, которая без аксиомы выбора может и не существовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение09.11.2017, 03:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1263680 писал(а):
И получить неполное представление.
Если бы, например, у меня был такой же подход, как у вас, я бы никогда никуда вообще не пришёл, честно. :D Хотя люди разные.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group