2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Изоморфность интерпретаций
Сообщение08.11.2017, 17:27 


03/06/12
2745
Здравствуйте! Читаю книгу Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической логики. Попалась на стр. 50 такая задача:

Доказать, что $(\mathbb{R},+)\simeq(\mathbb{R}^{2},+)$, где сложение пар действительных чисел производится покомпонентно.

Ничего более умного на ум не приходит, как использовать какое-нибудь однозначное представление действительного числа в виде суммы двух каких-нибудь чисел. Но каких? Целая и дробная части числа здесь явно не помогут. А как можно еще? Помогите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение08.11.2017, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Я подумала, что можно "перемешать" цифры двух чисел, например, $(15,24)\to1254$ ?

Но сумма не сохранится (за счет перехода разрядов)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение08.11.2017, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
И то и другое $\mathbb{Q}$-век.спейс континуальной размерности, в частности, изоморфны как абелевы группы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение08.11.2017, 17:52 


03/06/12
2745
provincialka в сообщении #1263490 писал(а):
Но сумма не сохранится (за счет перехода разрядов)

Дык вот и меня этот момент смущает. Плюс еще бывают дроби, непонятно, как дробную и целую части различать. А еще знак числа нужно как-то учесть.

-- 08.11.2017, 19:01 --

kp9r4d в сообщении #1263492 писал(а):
И то и другое $\mathbb{Q}$-век.спейс континуальной размерности

В той книге нет и упоминания о таком понятии, я не знаю, что это такое. И, вообще, судя по теории, предваряющей эту задачу, должно существовать решение на пальцах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение08.11.2017, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
kp9r4d, вы имеете в виду существование базиса Гамеля? Ну... это явно не для начинающих...
Sinoid а вы все-таки познакомьтесь с этим понятием! Хотя вместить его в голову довольно сложно...

-- 08.11.2017, 18:31 --

Получается, надо построить функцию $z=f(x,y)$, аддитивную по каждому аргументу, то есть $f(x_1+x_2,y)=f(x_1,y)+f(x_2,y)$, и так же по $y$. Для каждого аргумента получаем функциональное уравнение Коши. Из которого базис Гамеля и "вылезает".

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение08.11.2017, 23:07 


03/06/12
2745
Ясно. Спасибо большое.
provincialka в сообщении #1263504 писал(а):
Sinoid а вы все-таки познакомьтесь с этим понятием!

Я думаю, сейчас все же не время распыляться во все стороны. Сейчас гораздо важнее прочитать хотя бы эту книгу на одном дыхании, чтобы составить хоть какое-нибудь первоначальное целостное представление о матлогике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение08.11.2017, 23:20 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora

(Оффтоп)

А первоначальное у Вас уже есть — из конспектов Асемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение09.11.2017, 00:15 


03/06/12
2745

(Оффтоп)

svv в сообщении #1263636 писал(а):
А первоначальное у Вас уже есть — из конспектов Асемы.


Знаете, первоклассник умеет считать столбиком, но у него нет представления о арифметике в целом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение09.11.2017, 00:34 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Но если принять без доказательства, что базис Гамеля существует в любом линейном пространстве, разобраться с решением аддитивного функционального уравнения на $\mathbb R$ за время обсуждения методологии изучения математики, в принципе, можно было бы, как по мне. :wink: (Если принять, что знание о линейных пространствах вплоть до обычного конечного базиса (и теоремы о задании линейного оператора его значениями на элементах базиса) уже есть.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение09.11.2017, 01:00 


03/06/12
2745

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1263676 писал(а):
Но если принять без доказательства

И получить неполное представление.
arseniiv в сообщении #1263676 писал(а):
за время обсуждения методологии изучения математики

Так а я уже и не трачу на это время, начал читать дальше, про выразимость, а тут пишу по 2-3 минуты, за это время так и так ничего не освоить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение09.11.2017, 01:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Sinoid в сообщении #1263495 писал(а):
И, вообще, судя по теории, предваряющей эту задачу, должно существовать решение на пальцах.

Совсем на пальцах не получится, т.к. из этого изоморфизма легко изготавливается нелинейная аддитивная функция, которая без аксиомы выбора может и не существовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфность интерпретаций
Сообщение09.11.2017, 03:17 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1263680 писал(а):
И получить неполное представление.
Если бы, например, у меня был такой же подход, как у вас, я бы никогда никуда вообще не пришёл, честно. :D Хотя люди разные.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: vacsol


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group