Изоморфность интерпретаций

[Sinoid]

Здравствуйте! Читаю книгу Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической логики. Попалась на стр. 50 такая задача:

Доказать, что $(\mathbb{R},+)\simeq(\mathbb{R}^{2},+)$, где сложение пар действительных чисел производится покомпонентно.

Ничего более умного на ум не приходит, как использовать какое-нибудь однозначное представление действительного числа в виде суммы двух каких-нибудь чисел. Но каких? Целая и дробная части числа здесь явно не помогут. А как можно еще? Помогите, пожалуйста.

[provincialka]

Я подумала, что можно "перемешать" цифры двух чисел, например, $(15,24)\to1254$ ?

Но сумма не сохранится (за счет перехода разрядов)

[kp9r4d]

И то и другое $\mathbb{Q}$-век.спейс континуальной размерности, в частности, изоморфны как абелевы группы.

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1263490 писал(а):

Но сумма не сохранится (за счет перехода разрядов)

Дык вот и меня этот момент смущает. Плюс еще бывают дроби, непонятно, как дробную и целую части различать. А еще знак числа нужно как-то учесть.

-- 08.11.2017, 19:01 --

kp9r4d в сообщении #1263492 писал(а):

И то и другое $\mathbb{Q}$-век.спейс континуальной размерности

В той книге нет и упоминания о таком понятии, я не знаю, что это такое. И, вообще, судя по теории, предваряющей эту задачу, должно существовать решение на пальцах.

[provincialka]

kp9r4d, вы имеете в виду существование базиса Гамеля? Ну... это явно не для начинающих...
Sinoid а вы все-таки познакомьтесь с этим понятием! Хотя вместить его в голову довольно сложно...

-- 08.11.2017, 18:31 --

Получается, надо построить функцию $z=f(x,y)$, аддитивную по каждому аргументу, то есть $f(x_1+x_2,y)=f(x_1,y)+f(x_2,y)$, и так же по $y$. Для каждого аргумента получаем функциональное уравнение Коши. Из которого базис Гамеля и "вылезает".

[Sinoid]

Ясно. Спасибо большое.

provincialka в сообщении #1263504 писал(а):

Sinoid а вы все-таки познакомьтесь с этим понятием!

Я думаю, сейчас все же не время распыляться во все стороны. Сейчас гораздо важнее прочитать хотя бы эту книгу на одном дыхании, чтобы составить хоть какое-нибудь первоначальное целостное представление о матлогике.

[svv]

(Оффтоп)

А первоначальное у Вас уже есть — из конспектов Асемы.

[Sinoid]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1263636 писал(а):

А первоначальное у Вас уже есть — из конспектов Асемы.

Знаете, первоклассник умеет считать столбиком, но у него нет представления о арифметике в целом.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Но если принять без доказательства, что базис Гамеля существует в любом линейном пространстве, разобраться с решением аддитивного функционального уравнения на $\mathbb R$ за время обсуждения методологии изучения математики, в принципе, можно было бы, как по мне. (Если принять, что знание о линейных пространствах вплоть до обычного конечного базиса (и теоремы о задании линейного оператора его значениями на элементах базиса) уже есть.)

[Sinoid]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1263676 писал(а):

Но если принять без доказательства

И получить неполное представление.

arseniiv в сообщении #1263676 писал(а):

за время обсуждения методологии изучения математики

Так а я уже и не трачу на это время, начал читать дальше, про выразимость, а тут пишу по 2-3 минуты, за это время так и так ничего не освоить.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1263495 писал(а):

И, вообще, судя по теории, предваряющей эту задачу, должно существовать решение на пальцах.

Совсем на пальцах не получится, т.к. из этого изоморфизма легко изготавливается нелинейная аддитивная функция, которая без аксиомы выбора может и не существовать.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1263680 писал(а):

И получить неполное представление.

Если бы, например, у меня был такой же подход, как у вас, я бы никогда никуда вообще не пришёл, честно. Хотя люди разные.