Одностраничное доказательство теоремы Ферма получено в 1994

[Vadim44]

Уважаемый wrest!
Уравнение (5) получается, если уравнение (3) поделить на $\pi x^{n-1}$ ,
а уравнение (4) поделить на $\pi y^{n-1}$ , затем из первого вычесть второе и
преобразовать полученное уравнение к виду уравнения (5).

[grizzly]

mihaild в сообщении #1265884 писал(а):

Там разве дифференцирование?

Имелось в виду использование правила Лопиталя при переходе к равенству (6). А тогда нужно учитывать, что $x$ зависит от $a$ (иначе мы бы не получили (5) при $a\ne 1$).

Но в самом деле достаточно красивая попытка :)

[Vadim44]

mihaild
Уравнение (5) не дифференцируется и не делится на 0, а находится предел правой части по правилу Лопиталя.
wrest
Уравнение (5) получается, если уравнение (3) поделить на $ \pi x^{n-1}$,
а уравнение (4) поделить на $ \pi y^{n-1}$ , затем из первого вычесть второе, и полученное уравнение преобразовать к виду
уравнения (5)
mihaild
При $ \ {n=1}$, частные производные принимают другой вид, и другой вид примет и уравнение (5),
в левой части переменные отсутствуют и левая часть будет равна 1, в этом случае Вы будите
делить на 0. Поясните пожалуйста в какое уравнение Вы подставляете значения переменных.
grizzly и mihaild
Читаете внимательно мое сообщение provincialka

[mihaild]

grizzly в сообщении #1265894 писал(а):

Имелось в виду использование правила Лопиталя при переходе к равенству (6).

Ага, я придумал свой вывод (5) из (3) и (4), с еще одной ошибкой. Но да, тут всё честно.

Vadim44 в сообщении #1265912 писал(а):

При $ \ {n=1}$, частные производные принимают другой вид, и другой вид примет и уравнение (5),
в левой части переменные отсутствуют и левая часть будет равна 1, в этом случае Вы будите
делить на 0.

Не очень понимаю, что это значит. Но производные будут иметь ровно такой же вид (будут $x$ и $y$ в степени $n - 1$, т.е. нулевой).
Предел вы находите у выражения, не зависящего от $n$, так что в итоге получите $\frac{x^0}{y^0} = \frac{x}{y}$.

Ну и да, вы получили, что если $x, y, a$ - точка экстремума $F$, то выполнено (5). Вы не можете в этом равенстве просто переходить к пределу по $a$.

[Vadim44]

mihaild
Предел берется не потому, что делю 0 на 0, а потому что я ищу предел функции $ \ n(a) $ .
При $ n=1 $, уравнения (3) и (4) вырождаются и поэтому уравнение (5) уже не будет зависеть от $ n $
и поэтому искать предел функции $ \ n(a) $ нельзя. Поэтому случай, когда $ n=1 $ исключается.
Поэтому $ n>1 $.
И пожалуйста не добавляйте своих ошибок, у меня своих достаточно.

[mihaild]

Vadim44 в сообщении #1266038 писал(а):

Предел берется не потому, что делю 0 на 0, а потому что я ищу предел функции $ \ n(a) $ .

Что за функция?

Пока что я понимаю, что (5) - необходимое условие экстремума $F$ в точке $n, x, y, a$. Что вы с ним делаете дальше?

Vadim44 в сообщении #1265785 писал(а):

неявная функция (5), зависящая от четырех переменных $\ x $ , $\ y $ и $\ n $ и $\ a $ , будет являться необходимым условием существования экстремума функции (2) во всех (любых) точках пространства переменных $\ x $ и $\ y $ .

Функция не может являться условием. А еще я не могу понять, как можно было бы поставить кванторы в этом предложении.

Ладно, не хотите $n = 1$ (хотя я всё еще не понимаю почему) - другой пример. Давайте все ваши рассуждения проводить для уравнения $x^n + y^n + z^n = v^n$. Условия на производные по $x$ и $y$ останутся почти теми же (под корнем добавится $z^n$, но корни всё равно сократятся). Тем самым вы доказали еще и гипотезу Эйлера для $n=4$.

[Vadim44]

mihaild
Давайте не будем усложнять задачу и сначала разберемся с теоремой Ферма.
Уравнения (3) и (4) одновременно являются и неявными функциями и уравнениями, как на это посмотреть.
Да, неявная функция (5) является необходимым условием существования экстремума
и в произвольной точке и в точке с целыми координатами $ x $ и $ y $ ,
не знаю будет Вам понятней или нет, если их мы обозначим $ x 0 $ и $ y 0 $, тогда
неявная функция (5) становит уравнением $ n ( a ) $ с коэффициентами
$ x 0 $ и $ y 0 $.

[wrest]

mihaild в сообщении #1266059 писал(а):

Давайте все ваши рассуждения проводить для уравнения $x^n + y^n + z^n = v^n$. Условия на производные по $x$ и $y$ останутся почти теми же (под корнем добавится $z^n$, но корни всё равно сократятся).

Это как? Будет функция от трех переменных $xyz$, три частных производных, система из трех уравнений - и почти ничего не поменяется?

[grizzly]

Vadim44 в сообщении #1266079 писал(а):

Давайте не будем усложнять задачу и сначала разберемся с теоремой Ферма.

Никто не усложняет задачу. Вам указали на ошибку. Затем Вам привели замечательный пример (такой красивый пример не так просто придумать!). Не спешите с ответом -- попытайтесь посмотреть и понять.

-- 17.11.2017, 15:37 --

wrest в сообщении #1266082 писал(а):

три частных производных, система из трех уравнений - и почти ничего не поменяется?

Зачем Вам три? Рассмотрите те же два. Да, ничего не поменяется -- вторая половина "доказательства" сохранится вообще без изменений.

[Vadim44]

grizzly
Уточните пожалуйста, что за ошибка в доказательстве.

[grizzly]

Vadim44 в сообщении #1266092 писал(а):

grizzly
Уточните пожалуйста, что за ошибка в доказательстве.

Нет, это Вы сами должны найти ошибку в следующем рассуждении. Это почти добуквенно Ваше рассуждение и Вам будет легче в нём сориентироваться. (Я подправил Вашу цитату, но оставил стиль и почти все буквы на месте, чтобы Вам было легче.) Ошибка там есть, поскольку имеется контрпример к утверждению.

Vadim44 в сообщении #1262720 писал(а):

$\ x^n+y^n+t^n=z^n. \ (1)$
$ F(x,y)=\sin^2(\pi\sqrt[n]{x^n+y^n+t^n})\ +\ \sin^2(\pi a x)+\sin^2(\pi a y)+\sin^2(\pi a t). \ (2)$
Очевидно, что при $ a=1 $ корни уравнения (1) обращают
функцию (2) в ноль, то есть в этих точках функция (2) имеет минимум.
Запишем [некоторые] необходимые условия существования экстремума:
$\frac{\partial F}{\partial x}=\pi x^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n+t^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x^n+y^n+t^n})+\pi a\sin(2\pi a x),\ (3)$
$\frac{\partial F}{\partial y}=\pi y^{n-1}\sqrt[n]{{(x^n+y^n+t^n)}^{1-n}}\ \sin(2 \pi\sqrt[n]{x^n+y^n+t^n})+\pi a\sin(2\pi a y) .\ (4)$
Преобразуем уравнения (3) и (4) к виду:
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{\sin(2\pi a x)}{\sin(2\pi a y)} .\ (5)$
Уравнения (3), (4) и (5) в точках минимума функции (2)
должны удовлетворяться при любых значениях $ a. $
Будем искать координаты минимума функции (2) во множестве
натуральных чисел. В этом случае отношение $ \sin(2\pi a x) \ / \sin(2\pi a y) $
при $ a=1 $ не определено, но имеет вполне определенный смысл при
значениях $ a \neq 1 $ . Следовательно может быть поставлен вопрос
о разыскании предела этого отношения при $ a \to 1 $ . Если
раскроем неопределенность по правилу Лопиталя, придем к уравнению
$\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{x}{y} .\ (6)$
При $ x $ и $ y $, равными различным натуральным числам, и
$ n \neq 2 $ ,в том числе и при $ \ n=3 $, уравнение (6) противоречиво
и поэтому функция (2) в этих точках не может иметь минимума,
а, следовательно, и нет таких натуральных чисел, которые бы
удовлетворяли уравнению (1).

-- 17.11.2017, 16:18 --

Вот пример, в котором все числа различны
$2 682 440^4 + 15 365 639^4 + 18 796 760^4 = 20 615 673^4$

[Vadim44]

grizzly
А почему Вы рассмотрели только два условия существования экстремумов функции (2)
и не рассмотрели третье -производную по $ t $ .
В этом случае у Вас будет не одно уравнение (5), а система уравнений (5) и (5').
А Вы рассматриваете только одно уравнение, когда надо решать систему.
Пока довольно, что Вы на это скажите?

[grizzly]

Vadim44
Вы задали резонный вопрос и я уже отвечал на него выше другому участнику.
Чуть подробнее. Да, мы можем выписать все 3 уравнения. Но поскольку каждое из них в отдельности является необходимым условием, мы можем для начала рассмотреть только первые 2. Из них мы получили $x=y$. Это противоречит знаменитому контрпримеру (см. выше). Следовательно, мы уже пришли к противоречию и последнее условие просто нет необходимости рассматривать (потому я его и не выписывал).

[Vadim44]

grizzly
В Вашем случае при нахождении производных по правилу Лопиталя уже нельзя
переменные $ x $ и $ y $ считать независимыми от параметра $ a $ .
Поэтому уравнение $\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}} =\frac{x}{y} .\ (6)$ Вы не получите.

[grizzly]

Vadim44
Вы верно нашли ошибочное место. В Вашем случае -- та же проблема.