ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Будем натуральные числа, которые удовлетворяют уравнению (1),
называть корнями уравнения Ферма и обозначать
,
,
и
.
Если искать решения уравнения (1) во множестве целых чисел,
то уравнение (1) является диофантовым уравнением Ферма,
решениями которого будут натуральными числа
,
,
и
.
Рассмотрим вещественное уравнение с вещественными переменными
,
,
и
,
где
.
Очевидно, что при
корни уравнения Ферма обращают функцию (2) в ноль, то есть
корни уравнения Ферма являются и корнями уравнения (2).
Следует заметить, что других корней уравнение (2) не имеет, то есть множества корней
уравнения Ферма и уравнения (2) совпадают, то есть уравнение (2) и уравнение Ферма эквивалентны.
Рассмотрим вещественную функцию вещественных переменных
,
,
и
(левая часть уравнения (2)).
где
;
; a
и
- достаточно малое число.
Очевидно, что при
корни уравнения Ферма обращают функцию (2) в ноль,
то есть в этих точках функция (2) имеет локальные минимумы.
Таким образом, задачу решения диофантового уравнения Ферма (1) свели
к решению тригонометрического уравнения (2) и задаче нахождения экстремумов функции (3)
при
.
Запишем необходимые условия существования экстремума функции (3):
Будем искать координаты минимума функции (3) во множестве
натуральных координат, поэтому запишем необходимые условия существования экстремума
функции (3) в точках с целыми координатами
и
для чего координаты
и
подставим в уравнения (4) и (5).
Тогда получим
где
.
Таким образом, получили два уравнения (6) и (7) с переменными
и
и
постоянными коэффициентами
и
.
В эти уравнения входит неопределенное число
неопределенное в смысле того, что неизвестно какое значение оно принимает
целое или иррациональное. Чтобы исключить это число
преобразуем уравнения (6) и (7). Обе части уравнения (6) поделим на
, а
обе части уравнения (7) поделим на
, затем из первого полученного уравнения
вычтем второе полученное уравнение, тогда получим уравнение (8)
.
Любое уравнение вида
можно считать заданием неявной функции
.
Поэтому уравнение (8) можно рассматривать как неявную функцию
переменной
от переменной
, то есть
.
Таким образом, уравнение (8) позволяет найти при
функцию
, в которой
и
постоянны и не зависят от переменной
.
Из уравнения (8) я можно выразить зависимость
в явном виде:
График функции (9) показан на рис. 1.
Функция (9) определена при
, а в точке
функция (9) не определена.
Найдем по правилу Лопиталя предел функции (9) когда
.
Этот предел равен
.
Предел функции (9)
не зависиn от значений
и
и равен 2,
то есть
при любых значениях
и
.
Мы нашли предел функции (9)
только и всего.
Функция (9) при
не позволяет определить координату экстремума функции (3),
чтобы определить эту координату надо вернуться к эквивалентному диофантовому уравнению Ферма.
Если есть решение диофантового уравнения Ферма, то координаты точки экстремума при
будут равны
,
,
и
.
На Рис. 1. точка
соответствует точке
, точке
соответствует выколотая точка
.
Следует заметить, что если
, то функция координат точек экстремумов будет иметь разрыв,
а если
, то функция координат точек экстремумов будет непрерывной.
Если функция координат точек экстремумов имеет разрыв в точке
, то это свидетельствует о том,
что не существует решений диофантового уравнения Ферма при
,
а если функция координат точек экстремумов непрерывна, то это свидетельствует о том,
что при данном
решения диофантового уравнения Ферма существуют.
Поскольку функция координат точек экстремумов при
и
имеет разрывы,
поэтому при
диофантовое уравнение Ферма не имеет решение.
Функция координат точек экстремумов только при
будет непрерывной, поэтому
диофантовое уравнение Ферма имеет решения только при
.
Графики функции при фиксированных х0 , у0 и n=3 показаны на Рис. 2.
Таким образом, теорема Ферма доказана.
Следует заметить, что доказательство теоремы Ферма выполнено методом, основанном
на сведении решения диофантового уравнения Ферма к решению
эквивалентного тригонометрического уравнения и нахождению минимумов функции,
получаемой из тригонометрического уравнения.
-- 26.11.2017, 18:58 --Коровьев !
У Вас уравнение
,
соответствующее функции (2) не эквивалентно уравнению (1).
-- 26.11.2017, 18:59 --Коровьев !
У Вас уравнение
,
соответствующее функции (2) не эквивалентно уравнению (1).